《合情推理與演繹推理》試卷市賽獲獎(jiǎng) 省賽一等獎(jiǎng)

《合情推理與演繹推理》試卷一、選擇題1．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．① B．②C．③ D．①和②解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論．故選B.答案：B2．(2022河南焦作二模)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③若“a，b∈R，則a－b＞0?a＞b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②正確，③錯(cuò)誤，因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不是實(shí)數(shù)，不能比較大?。蔬xC.答案：C3．(2022上海閘北二模)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()A．n＋1 B．2nC．eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1解析：1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個(gè)區(qū)域，選C.答案：C4．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)圖中的(1)(2)(3)(4)，那么如圖中(a)，(b)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：觀察圖形及對(duì)應(yīng)運(yùn)算分析可知，基本元素為A→|，B→□，C→—，D→，從而可知圖(a)對(duì)應(yīng)B*D，圖(b)對(duì)應(yīng)A*C.故選B.答案：B5．已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A．(7,5) B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析：依題意，由和相同的整數(shù)對(duì)分為一組不難得知，第n組整數(shù)對(duì)的和為n＋1，且有n個(gè)整數(shù)對(duì)．這樣前n組一共有eq\f(nn＋1,2)個(gè)整數(shù)對(duì)．注意到eq\f(1010＋1,2)<60<eq\f(1111＋1,2).因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組的第5個(gè)位置，可得為(5,7)．故選B.答案：B6．對(duì)于a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2eq\r(ab)(大前提)，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))(小前提)，所以x＋eq\f(1,x)≥2(結(jié)論)．以上推理過(guò)程中的錯(cuò)誤為()A．小前提 B．大前提C．結(jié)論 D．無(wú)錯(cuò)誤解析：大前提是a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2eq\r(ab)，要求a、b都是正數(shù)；x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))是小前提，沒(méi)寫出x的取值范圍，因此本題中的小前提有錯(cuò)誤．故選A.答案：A二、填空題7．(2022山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)以下是對(duì)命題“若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，則a1＋a2≤eq\r(2)”的證明過(guò)程：證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1時(shí)，你能得到的結(jié)論為_(kāi)_______．(不必證明)解析：由題意可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，因?qū)σ磺袑?shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，即a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n).答案：a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)8．(2022山東萊蕪模擬)容易計(jì)算2×5＝10,22×55＝1210,222×555＝123210,2222×5555＝12343210.根據(jù)此規(guī)律猜想22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為_(kāi)_______．解析：由2×5,22×55,222×555的結(jié)果可知22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))的結(jié)果共18位，個(gè)位為0，其他數(shù)位從左向右為連續(xù)的自然數(shù)且左右對(duì)稱，即22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))＝123456789876543210，所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為898.答案：8989．(2022江西師大附中模擬)若數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)A，B分別與實(shí)數(shù)x1，x2對(duì)應(yīng)，則線段AB的中點(diǎn)M與實(shí)數(shù)eq\f(x1＋x2,2)對(duì)應(yīng)，由此結(jié)論類比到平面得，若平面上不共線的三點(diǎn)A，B，C分別與二元實(shí)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)對(duì)應(yīng)，則△ABC的重心G與________對(duì)應(yīng)．解析：由類比推理得，若平面上不共線的三點(diǎn)A，B，C分別與二元實(shí)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)對(duì)應(yīng)，則△ABC的重心G與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))對(duì)應(yīng)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))10．觀察下列幾個(gè)三角恒等式①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為_(kāi)___________________________________________________________________．解析：所給三角恒等式都為tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1的結(jié)構(gòu)形式，且α、β、γ之間滿足α＋β＋γ＝90°，所以可猜想當(dāng)α＋β＋γ＝90°時(shí)，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.答案：當(dāng)α＋β＋γ＝90°時(shí)，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1三、解答題11．在銳角三角形ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.證明：∵△ABC為銳角三角形，∴A＋B>eq\f(π,2)，∴A>eq\f(π,2)－B，∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.12．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…由上式規(guī)律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因?yàn)閒(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1滿足上式，所以f(n)＝2n2－2n＋1.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)