新高考二輪復(fù)習(xí)真題源導(dǎo)數(shù)專題講義第41講 三角函數(shù)之分段分析法（解析版）

第41講三角函數(shù)之分段分析法1．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解答】證明：（1）的定義域?yàn)?，，，令，則在恒成立，在上為減函數(shù)，又，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增；由于在，上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減．當(dāng)，時(shí)，，，于是，單調(diào)遞減，其中，．于是可得下表：000單調(diào)遞減0單調(diào)遞增大于0單調(diào)遞減大于0單調(diào)遞減小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在，上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，，則恒成立，因此函數(shù)在，上無(wú)零點(diǎn)．綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．2．已知函數(shù)，證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解答】證明：（1）函數(shù)，，，令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，而，存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且，，又當(dāng)時(shí)，；，在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間，上存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，②時(shí)，，又，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．3．已知函數(shù)．求證：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解答】證明：（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，所以即在上遞減．又，且是連續(xù)函數(shù)，故在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)遞增，在上遞減，故在上存在唯一極大值點(diǎn)．（2）因?yàn)椋?，設(shè)，則，則當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．由（1）知，在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，又，所以，又的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)內(nèi)時(shí)，，在內(nèi)遞減，又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，所以存在，使得；當(dāng)時(shí)，，，所以，從而在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．4．已知函數(shù)（1）證明：，（2）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明過(guò)程．【解答】解：（1）證明：因?yàn)?，，，所以為偶函?shù)，不妨設(shè)，，，所以，，，所以，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，，所以，即在，為減函數(shù)，故，即，故當(dāng)，時(shí)，；（2）①由（1）得：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)為，②當(dāng)，時(shí)，，即在，為增函數(shù)，即（3），即函數(shù)在，無(wú)零點(diǎn)，③當(dāng)，時(shí)，，即函數(shù)為增函數(shù)，又，（3），即存在使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，又，（3），即函數(shù)在，只有1個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)在為偶函數(shù)，綜合①②③可得：函數(shù)在，有1個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，在，無(wú)零點(diǎn)，故函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)．5．已知函數(shù)．（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若在上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．【解答】解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，令，，則，在上單調(diào)遞減，故（1），所以；（2）解：由題知，，．①當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)，時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)單調(diào)遞增；又（1），，存在唯一的，滿足，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故，故，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；③當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；綜合①②③知在，上無(wú)極值點(diǎn)．又在上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，只能在，上有唯一極值點(diǎn)．令．函數(shù)與函數(shù)，，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，，即，所以的取值范圍為．6．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（1），其定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令得．令得．所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減．所以，斤以在上無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且．所以存在，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，又因?yàn)?，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上無(wú)零點(diǎn)．綜上所述，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．7．（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）證明函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，且．【解答】解：（1）求導(dǎo)，，，因?yàn)椋?，，故，函?shù)在定義區(qū)間遞增；（2）由，令，當(dāng)，由（1）得，遞減，由，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在唯一零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)，時(shí)，，遞減，當(dāng)，時(shí)，，所以遞減，故在，為減函數(shù)，所以有唯一的極大值點(diǎn)，由在，遞減，得，又，當(dāng)時(shí)，，，故，綜上，命題成立．8．已知函數(shù)，，．（1）證明：關(guān)于的方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的最大值．【解答】解：（1）證明：令，則，所以因此當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)樗栽跓o(wú)零點(diǎn)，在只有一個(gè)零點(diǎn)，因此方程有且僅有一個(gè)根（2）方法一：令，則，①若，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立；②當(dāng)，則，因?yàn)?，所以，從而因此?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，因此，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，在恒成立③當(dāng)時(shí)令，因?yàn)楸赜幸唤?，記為，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以在恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以與題意矛盾，綜上，所以的最大值為3．方法二：令，則，令，則，設(shè)，，令，，則，對(duì)稱軸，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，恒成立，故的最大值為3．9．已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）討論函數(shù)在，上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）時(shí)，，，，，，，故切線方程是：；（2），設(shè)，，故遞減，，又時(shí)，，①若，即時(shí)，使，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)，時(shí)，，遞減，在處取極大值，不存在極小值，②若，即，，在，遞增，此時(shí)無(wú)極值，（3）由（2）可知：若時(shí)，由上問(wèn)可知：，即時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，若時(shí)，，時(shí)，遞增，，時(shí)，遞減，由得，從而，再設(shè)，則從而關(guān)于遞增，①若，，此時(shí)，，若得或，時(shí)無(wú)零點(diǎn)，得，時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，有1個(gè)零點(diǎn)，因此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；②，，此時(shí)，，，，，設(shè)，則，故，若即，即時(shí)無(wú)零點(diǎn)，若即，即時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，，，時(shí)無(wú)零點(diǎn)，，時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)．10．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)，時(shí)，求極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：（1）由題意，，，由于，，又，，在，上單調(diào)遞增，，，函數(shù)在，上有唯一零點(diǎn)；（2）由題意，，，則，令，，①當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)在，上無(wú)極值點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，在，上遞增，，即，當(dāng)時(shí)，，，在，遞增，即，是在，上的極小值點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，，則，無(wú)極值點(diǎn)，④當(dāng)時(shí)，，，，在，上遞減，且，，在，上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，綜上，函數(shù)存在2個(gè)極值點(diǎn)．11．已知函數(shù)，，，．（1）若函數(shù)在處的切線斜率為，求的值；（2）若任意，，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1），，函數(shù)在處的切線斜率為，，解得：；（2）由（1）得：，，，令，解得：或，①當(dāng)時(shí)，，在，上，，故，遞減，在，上，，故，遞增，要使任意，，恒成立，即有，解得：