陳林華2422切線長定理資料講解

陳林華2422切線長定理切線長概念經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長。OPAB

切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；

切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。切線和切線長OPABOPAB∟∟M根據(jù)你的直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB？∠1與∠2又有什么關(guān)系？⌒⌒12證明：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2證明猜想關(guān)鍵是作輔助線~

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。OPAB已知：⊙O的半徑為3厘米，點P和圓心O的距離為6厘米，經(jīng)過點P和⊙O的兩條切線，求這兩條切線的夾角及切線長．練習(xí)一OFPE⌒12⌒切線長定理的拓展

BOPAHDC想一想：根據(jù)圖形，你還可以得到什么結(jié)論？PABCO如AC為直徑，觀察OP與BC的位置關(guān)系，并給予證明。鞏固練習(xí)：（1）已知OA=3cm,OP=6cm，則PA=

，∠APB=

。

3√360°（2）OP交⊙O于M，則

，ＡＢ與ＯＰ有何關(guān)系？ＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M已知：如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12CM，∠P=70

求：△PEF的周長。EAQPFBO小結(jié)（1）切線長定理。（2）連接圓心和切點是我們解決切線長定理相關(guān)問題時常用的輔助線。P·OA切線長：

經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長，叫做這點到圓的切線長.

如圖紙上有一⊙O，PA為⊙O的切線，沿著直線PO將紙對折，設(shè)圓上與點A重合的點為B，這時，OB是⊙O的一條半徑嗎？探究利用圖形的軸對稱性，說明圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO的關(guān)系？PB·OAPA，PB是⊙O的兩條切線,∴OA⊥AP

OB⊥BP.又

OA=OB，OP=OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP.∴PA=PB∠OPA=∠OPB.

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.切線長定理：PB·OA

下圖是一張三角形的鐵皮，如何在它的上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？?思考·CABlCAB

假設(shè)符合條件的圓已經(jīng)作出，那么它應(yīng)當與三角形的三邊都相切，這個圓的圓心到三角形三條邊的距離都等于半徑，如何找到圓心？CAB三角形的三條角平分線交于一點，并且這個點到三條邊的距離相等，因此，如圖，分別作出∠B、∠C的平分線BM和CN，設(shè)他們相交于點I，那么點I到AB、BC、CA的距離都相等，以點I為圓心，點I到BC的距離ID為半徑做圓，則⊙I與△ABC的三條邊都相切.內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心.CABIDMNr與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，．o外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。外接圓的半徑：交點到三角形任意一個定點的距離。三角形外接圓三角形內(nèi)切圓．o內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。內(nèi)切圓的半徑：交點到三角形任意一邊的垂直距離。AABBCC例2如圖△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長.解:

設(shè)AF=x（cm），則AE=x，CD=CE=AC－AE=13－x，BD=BF=AB－AF=9－x，由BD+CD=BC可得（13－x）+（9－x）=14.解得x=4cm.因此AF=4（cm），BD=5（cm），CE=9（cm）.·CABEFOD1.如圖，△ABC中，∠ABC=50°∠ACB=75°，點O是內(nèi)心，求∠BOC的讀數(shù).練習(xí)``解：∠BOC=180°－（∠ABC+∠ACB）

=117.5°

=180°－（50°+75°）A·CBO2.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.（提示：設(shè)內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC.）解：

設(shè):AB=c

BC=a

AC=b則CAB·ODMNrrrP1016切線長定理：6.解：因為PA，PB是?O的切線，所以PA=PB，∠PAB=∠PBA.又由題意知OA⊥PA，∠OAB=25?,所以∠PAB=90?-25?=65?所以∠P=180?-2∠PAB=180?-65?×2=50?P1017：7.解：半徑為4cm的圓可以做兩個，半徑為3cm的圓只能作一個，不能作出同時經(jīng)過A,B兩點，且半徑為2cm的圓.

P1018：8.提示：銳角三角形的外心在這個三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心在這個直角三角形的斜邊的中點；鈍角三角形的外心在這個三角形的外部.

P1019：9.提示：可以在車輪上任意連接兩點，作出它的中垂線，重復(fù)一次，則這兩條中垂線的交點即為圓心，從而可確定它的半徑.

P10110：

P10110：10.解：設(shè)圓心為O，如圖48所示，連OW,OX,因為YW,YX均是?O的切線，W,X均為切點，所以O(shè)W⊥WY,OX⊥XY.又因為XY⊥WY,所以∠OWY=∠OXY=∠WYX=90?,所以四邊形OXYW是矩形.又因為OW=OX,所以四邊形OXYW是正方形，所以O(shè)W=WY=0.65m.答：這個油桶的底面半徑是哦0.65m.

11.解：連接OE,OG,則OE⊥AB,OG⊥CD,又因為AB//CD,所以點E,O,G在同一直線上.由AB,CD,BC均是?O的切線，可得∠BOC=90?.在Rt△BOC中，OB=6cm，CO=8cm，所以BC=√(OB2+OC2)=√(62+82)=10(cm).答：BC的長是10cm.

P10112：12.證明：連接OC,∵CD為?O的切線，C為切點，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD∴AD//OC,∴∠DAC=∠OCA.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.

P10113：13.解：連接O?B，O?O?，O?A，O?B.∵兩個圓是等圓，而?O?經(jīng)過O?，故?O?過O?,∴O?A=O?A=O?B=O?B=O?O?，∴四邊形AO?BO?是菱形，又O?O?=O?A，∴△O?AO?是等邊三角形，∴∠O?AO?=60?.∵AB是菱形AO?BO?的對角線，∴∠O?AB=1/2∠O?AO?=1/2×60?=30?.

P10114：

14.解：如圖49所示，連接OA,OB,OC,設(shè)?O與AB,BC,CA的切點分別為D,E,F，連接OD,OE,OF，則OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2AB?OD+1/2BC?OE+1/2AC?OF=1/2AB?r+1/2BC?r+1/2AC?r=1/2r(AB+BC+AC)=1/2r(a+b+c),又∵S△ABC=1/2AC?BC=1/2ab,∴1/2r(a+b+c)=1/2ab,∴r=ab/(a+b+c).

24.2.2直線與圓的位置關(guān)系(3)在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長·OPAB定理形成切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：（1）切線是一條與圓相切的直線；（2）切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長。

若從⊙O外的一點引兩條切線PA，PB，切點分別是A、B，連結(jié)OA、OB、OP，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論··oo′p1.連結(jié)OP2.以O(shè)P為直徑作⊙O′，與⊙O交于A、B兩點。AB即直線PA、PB為⊙O的切線

如圖，已知⊙O外一點P，你能用尺規(guī)過點P作⊙O的切線嗎？通過作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？觀察實驗1.過圓外一點作圓的切線可以作兩條2.點A和點B關(guān)于直線OP對稱說明經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線長是一條線段·opAB如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點。如果連結(jié)OA、OB、OP，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？探究∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO結(jié)論切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角?！pAB符號語言∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如圖，若連接AB，則OP與AB有什么關(guān)系？分析∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD歸納從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線垂直平分切點所成的弦；平分切點所成的弧。AD與BD相等嗎？⌒⌒我們學(xué)過的切線，常有五個性質(zhì)：1、切線和圓只有一個公共點；2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3、切線垂直于過切點的半徑；4、經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個思考

如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積盡可能大呢?ID內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義:與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內(nèi)心.已知：△ABC是⊙O外切三角形，切點為D，E，F(xiàn)。若BC＝14cm，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。

ABCDEFxxyyOzz解:設(shè)AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm則AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依題意得方程組x+y=13y+z=14x+z=9解得:X=4Y=9Z=5例1已知，如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點.直線OP交⊙O于點D、E，交AB于C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)設(shè)OA=xcm,則PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半徑OA的長為3cm.利用切線長定理進行計算·P·OABc如圖，P為⊙O

外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角。解：連接OA、AC，則OA⊥AP在Rt△AOP中，設(shè)OA＝x則OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切線∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半徑為2，兩切線的夾角為60°利用切線長定理進行證明·ABCDEO21例2如圖，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交AB于點E，交AC與點D。求證：DE∥OC證明：連接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ