輸油管的布置-(2010c題評閱材料)word版本

輸油管的布置-(2010C題評閱材料)

2.設(shè)計院目前須對一更為復(fù)雜的情形進行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示。其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域）。圖中各字母表示的距離（單位：㎞）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。

若管線鋪設(shè)的費用均為每千米7.2萬元。管線經(jīng)過城區(qū)還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司A具有甲級資質(zhì)，公司B和C具有乙級資質(zhì)）進行了估算。估算結(jié)果由下表所示：工程咨詢公司ABC附加費用（萬元/千米）212420

3.在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，公用管線費用仍為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。請給出管線最佳布置方案。二問題的數(shù)學(xué)背景

Fermat(Steiner)點：到三角形三個頂點距離之和最小的點。

到兩定點和一條定直線距離之和最小的點。（可以稱之為擬Fermat點）三模型與求解—問題一模型一基于幾何方法的解析模型假設(shè)鐵路線近似為一條直線。兩家煉油廠到鐵路線的距離分別為a和b(不妨假設(shè))，兩垂足的距離為l。添加點P作為兩家煉油廠成品油的集運點。容易見到，P到鐵路線的一段管道(共用管道)必然與鐵路線垂直(垂線最短)，AP與BP兩部分管道必然關(guān)于該條垂線對稱(直線上取點，到兩定點距離之和最小)?？紤]共用管道和非公用管道費用相同時，問題就是前述的擬Fermat點問題。

根據(jù)擬Fermat點的性質(zhì)，只要從A、B兩點分別向鐵路線引傾角為的直線，其交點就是所求的P；

從作圖過程可以看到，可能出現(xiàn)兩種例外情況：(1)當(dāng)時，A點將位于B點所引直線下方。最佳方案就是把車站建在C點，將管道直接鋪設(shè)在AB和AC連線上；(見下圖(a))

(2)當(dāng)時，所引直線將交于鐵路線下方。最佳方案是將管道交匯點放在鐵路線上。根據(jù)直線上取點到兩定點距離之和最小的反射原理，可以確定P點的位置。(上圖(b))

如果考慮共用和非共用管道費用不同(假定非共用管道費用是共用管道的k倍),上述純幾何的方法不再適用。但是，PA與PB的對稱性以及PH垂直于鐵路線的性質(zhì)并未改變，因此可以用幾何結(jié)合解析的方法建模。

設(shè)PH長度為y.根據(jù)對稱原理，PA加PB的最小值可以表示成y的函數(shù)原問題的數(shù)學(xué)模型成為：

根據(jù)k的不同取值，可分為以下兩種情況：(1)k=1即共用非共用管道費用相同。容易解得當(dāng)且僅當(dāng)時，()取最小值：以上又因為已知參數(shù)的不同，會有兩種例外：1a),這時應(yīng)取，相應(yīng)的有，；1b)即,這時應(yīng)取相應(yīng)的，；(2)1<k<2

即費用不同。同樣可以利用一元函數(shù)求極值的方法得，當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值：同樣，根據(jù)參數(shù)的不同取值也有兩種例外：2a)當(dāng)時，應(yīng)取，相應(yīng)的有，2b)當(dāng)時，應(yīng)取，相應(yīng)的有，模型二——解析模型以A廠到鐵路線的垂線AC為x軸，以鐵路線CD為y軸，C為原點，建立坐標(biāo)系。

設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y)(),非共用管道的費用單價為p,共用管道費用為非共用管道的k倍，則管道總費用為原問題可歸結(jié)為：

為求解該模型，可作如下分析：一旦y固定，上述模型退化成為x的一元函數(shù)優(yōu)化問題

容易驗證當(dāng)且僅當(dāng)即時，有最小值

于是，原問題仍轉(zhuǎn)化成四模型與求解——問題二(1)首先考慮城區(qū)拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用根據(jù)三家咨詢公司的資質(zhì)，對他們的結(jié)果進行加權(quán)平均，得到最終估計值。計算公式其中為賦予三家公司的權(quán)，它們應(yīng)滿足一種可以考慮的方法是將按從1.0到分別計算w的值以及相關(guān)的結(jié)果。例如：常用的權(quán)值取法有0.4:0.3:0.3；0.5:0.25:0.25等等，相應(yīng)的附加費用值w分別為21.5、21.6萬元。

(2)由于城區(qū)油管鋪設(shè)費用大大高于郊區(qū)，因此不用考慮將共用管道（如果需要）建在城區(qū)；(3)假設(shè)輸油管在城鄉(xiāng)結(jié)合處Q點的坐標(biāo)為共用管道在郊區(qū)鋪設(shè)，則總費用的數(shù)學(xué)模型為記，上式等價于討論該問題的解析解：先對函數(shù)求導(dǎo)：當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值相應(yīng)的，P點坐標(biāo)為，數(shù)值解（略）注：真正意義上的解析解還需考慮z在邊界上的情況。五模型與求解—問題三

考慮各部分管道費率不等的情況。分別用記AP、PQ、PH、BQ段管道的費率，并設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為、則總費用的表達(dá)式為

其中均為已知。這是一個三元函數(shù)，問題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為求該函數(shù)的最小值。

由于管道費率不同，AP、PQ關(guān)于垂線PH的對稱性將不復(fù)存在。利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識求極值：求函數(shù)的駐點，令。這是一個三元的根式方程，直接求解較為繁瑣。這里利用幾個方位角(見下頁圖)的三角函數(shù)：將方程改寫為：

(1)(2)