第2章 穩(wěn)定電場(chǎng)

第二章穩(wěn)定電場(chǎng)

1電荷守恒定律宏觀實(shí)驗(yàn)表明：一個(gè)孤立系統(tǒng)的電荷總量是保持不變的，即在任何時(shí)刻，系統(tǒng)中的正電荷與負(fù)電荷的代數(shù)和保持不變。稱(chēng)之為電荷守恒定律。電荷守恒定律表明，如果孤立系統(tǒng)中某處在一個(gè)物理過(guò)程中產(chǎn)生（或消失）了某種符號(hào)的電荷，那么必有相等量的異號(hào)電荷伴隨產(chǎn)生（或消失）；如果孤立系統(tǒng)中總的電荷量增加（或減小），必有等量的電荷進(jìn)入（或離開(kāi)）該孤立系統(tǒng)?！?.1電荷與電流§2.1電荷與電流單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)界面進(jìn)入V內(nèi)部的電荷量為：該電荷量等于V內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)的電荷增加量，即：

VsnJ孤立系統(tǒng)§2.2Coulomb定律與靜電場(chǎng)

1Coulomb定律

真空中任意兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷q1和q2之間作用力的大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引?！?.2Coulomb定律與靜電場(chǎng)

實(shí)驗(yàn)還證明，真空中多個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成的電荷體系，兩兩間的作用力，不受其它電荷存在與否的影響。多個(gè)電荷體系中某個(gè)電荷受到的作用力是其余電荷與該電荷單獨(dú)存在時(shí)作用力之矢量代數(shù)和，滿(mǎn)足線性疊加原理。qi§2.2Coulomb定律與靜電場(chǎng)2電場(chǎng)強(qiáng)度

實(shí)驗(yàn)證明，任何電荷在其所在空間激發(fā)出對(duì)置于其中的電荷有力的作用的物理量，稱(chēng)為電場(chǎng)。由靜止電荷激發(fā)的電場(chǎng)稱(chēng)為靜電場(chǎng)。人們正是通過(guò)對(duì)電磁中電荷受力的特性認(rèn)識(shí)來(lái)研究電場(chǎng)的。電荷之間的作用力是通過(guò)電場(chǎng)來(lái)傳遞的。因此電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力可以用于定義電場(chǎng)?！?.2Coulomb定律與靜電場(chǎng)空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為置于該點(diǎn)的單位點(diǎn)電荷（又稱(chēng)試驗(yàn)電荷）受到的作用力：根據(jù)上述定義很容易得到真空中靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)為：§2.2Coulomb定律與靜電場(chǎng)如果電荷是連續(xù)分布，密度為。它在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：

小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)體電荷密度面電荷密度線電荷密度§2.2Coulomb定律與靜電場(chǎng)3電荷密度P、Q兩點(diǎn)間的電位差，與P點(diǎn)和Q點(diǎn)的位置有關(guān)，與所取路徑無(wú)關(guān)?！?.3電位將q0從P點(diǎn)移到Q點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的總功為APQ與q0的比值為沿某一路徑由P點(diǎn)到Q點(diǎn)的電位差1電位差如果取Q點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則P點(diǎn)的電位定義為參考點(diǎn)Q點(diǎn)的電位為0選取無(wú)限遠(yuǎn)處作為參考點(diǎn)，任意點(diǎn)P的電位為§2.3電位2電位①靜電場(chǎng)中電位差與電位②電位是點(diǎn)函數(shù)，“對(duì)一點(diǎn)談電位，對(duì)兩點(diǎn)談電壓”。③靜電場(chǎng)力所做的功與路徑無(wú)關(guān)，但每點(diǎn)的電位則還與參考點(diǎn)的位置有關(guān)。§2.3電位§2.4靜電場(chǎng)的性質(zhì)3靜電場(chǎng)的性質(zhì)

性質(zhì)1靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)，。電荷是靜電場(chǎng)的通量源。利用Gauss定理得到稱(chēng)為靜電場(chǎng)的Gauss定律。靜電場(chǎng)的Gauss定律表明靜電場(chǎng)的力線發(fā)源于正電荷，終止于負(fù)電荷。在沒(méi)有電荷的空間中，靜電場(chǎng)的力線是連續(xù)的。§2.4靜電場(chǎng)的性質(zhì)§2.4靜電場(chǎng)的性質(zhì)性質(zhì)2靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)

由于標(biāo)量場(chǎng)的梯度是無(wú)旋場(chǎng)，所以靜電場(chǎng)又可以表示為某個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度。真空中xy平面上一半徑為a的圓形線電荷（線密度為），軸線上離圓心z處的P點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度。zxyaαPodqzR電荷面密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。在圓盤(pán)上取一半徑為r寬為dr的圓環(huán)，則dq為P圓電荷在軸線上P點(diǎn)產(chǎn)生的電位整個(gè)圓盤(pán)上的電荷在場(chǎng)點(diǎn)P引起的電位為由于電場(chǎng)強(qiáng)度只有沿Z軸方向有分量，可得電場(chǎng)強(qiáng)度為如果圓盤(pán)的半徑趨向無(wú)限大（），即成一無(wú)限大帶電平面，則它所引起的電場(chǎng)強(qiáng)度為P電荷面密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度?！?.5電力線的性質(zhì)PS性質(zhì)2：電力線不構(gòu)成閉合曲線。性質(zhì)1：電力線發(fā)自正電荷，終于負(fù)電荷。任意兩條電力線不會(huì)相交。電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。等位線（等位面和紙平面相交而得）由電位相等的點(diǎn)形成的曲面，稱(chēng)為等位面，等位面的方程為：等位線的疏密反映場(chǎng)強(qiáng)的大小。等位線的性質(zhì)：等位線處處與電力線垂直。等位線的切線等位線PαEP‘dl§2.5電力線的性質(zhì)正點(diǎn)電荷兩個(gè)等量正點(diǎn)電荷有限長(zhǎng)線電荷無(wú)限長(zhǎng)線電荷帶電金屬球和一個(gè)不帶電金屬球?qū)щ婓w（即導(dǎo)體）絕緣體（電介質(zhì)）靜電場(chǎng)中導(dǎo)體性質(zhì)①導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為零。②導(dǎo)體是一個(gè)等位體。③在導(dǎo)體表面上任何一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向一定要與導(dǎo)體表面垂直。④導(dǎo)體如果帶電，電荷只能分布于表面。§2.6導(dǎo)體和電介質(zhì)電偶極子電偶極子：指相距很近的兩個(gè)符號(hào)相反而量值相等的電荷。l遠(yuǎn)小于觀測(cè)距離r。+-qqlr1r2rP常用電偶極矩p來(lái)表征其特性：其中l(wèi)的方向是由負(fù)電荷指向正電荷§2.6導(dǎo)體和電介質(zhì)真空中置于z軸上兩個(gè)點(diǎn)電荷形成的電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)。+q和-q分別在場(chǎng)點(diǎn)P引起的電位為根據(jù)迭加原理，由電偶極子在P點(diǎn)引起的總電位為當(dāng)r很大時(shí)(即r>>d)，r1、r2和r三者近乎平行，有真空中置于z軸上兩個(gè)點(diǎn)電荷形成的電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)。電偶極子的場(chǎng)圖均勻媒質(zhì)媒質(zhì)的特性不因空間坐標(biāo)（x,y,z）而變。各向同性媒質(zhì)媒質(zhì)的特性不因場(chǎng)量的方向而變。線性媒質(zhì)媒質(zhì)的參數(shù)不隨場(chǎng)量的量值而變?！?.7均勻各向同性線性煤質(zhì)極性分子：取向極化極化結(jié)果：束縛電荷的分布發(fā)生變化，在電介質(zhì)內(nèi)部或表面形成極化電荷。非極性分子：位移極化§2.8電介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度P：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的等效偶極矩（該體積內(nèi)各電偶極子偶極矩的矢量和）。在各向同性的線性介質(zhì)中有為介質(zhì)的極化率。§2.8電介質(zhì)的極化極化電荷的體密度極化電荷的面密度極化電荷引起的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度介質(zhì)內(nèi)部同時(shí)有自由電荷和電介質(zhì)存在1）真空中①無(wú)限大真空中的點(diǎn)電荷q，作一任意半徑r的球面包圍該點(diǎn)電荷，則由該球面穿出的E通量應(yīng)為：如果包圍點(diǎn)電荷的是一個(gè)任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出的E通量仍然等于②閉合面內(nèi)包圍了n個(gè)點(diǎn)電荷，則§2.9高斯通量定理§2.9高斯通量定理③閉合面內(nèi)是連續(xù)分布電荷的情況，則結(jié)論：在真空電場(chǎng)中，由任意閉合面穿出的E通量等于該閉合面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和除以真空的介電常數(shù)。2）電介質(zhì)中自由電荷為極化電荷量為§2.9高斯通量定理電位移則§2.9高斯通量定理令高斯通量定理：在靜電場(chǎng)（無(wú)論是在真空還是介質(zhì)中，也無(wú)論介質(zhì)均勻與否）中，由任意閉合面穿出的D通量等于該面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和。一般情況各向同性的線性電介質(zhì)：介電常數(shù)

：相對(duì)介電常數(shù)§2.10電位移無(wú)限大均勻介質(zhì)中則結(jié)論：當(dāng)場(chǎng)源的自由電荷分布相同時(shí)，無(wú)限大均勻介質(zhì)中的電場(chǎng)較無(wú)限大真空中相應(yīng)的電場(chǎng)要小倍。無(wú)限大均勻介質(zhì)中點(diǎn)電荷引起的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位§2.10電位移D線和P線D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷。P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷?！?.10電位移介質(zhì)中的D與空氣中的相同介質(zhì)中的E小于空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度極化電荷在介質(zhì)中所引起的P線埋在介電常數(shù)為ε的均勻無(wú)限電介質(zhì)中的金屬球的場(chǎng)強(qiáng)E。r以半徑r作球面S（高斯面），S上各點(diǎn)的D大小相等。真空中兩個(gè)同心帶電金屬球殼產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。q1-q1q1+q2電場(chǎng)強(qiáng)度①故②故③故q1-q1q1+q2④真空中兩個(gè)同心帶點(diǎn)金屬球殼產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。q1-q1q1+q2真空中兩個(gè)同心帶點(diǎn)金屬球殼產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。電位選取無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)①外球殼外表面的電位為：真空中兩個(gè)同心帶點(diǎn)金屬球殼產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。q1-q1q1+q2②外球殼內(nèi)表面的電位為：真空中兩個(gè)同心帶點(diǎn)金屬球殼產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。③內(nèi)球殼的電位為：q1-q1q1+q2真空中兩個(gè)同心帶點(diǎn)金屬球殼產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。q1-q1q1+q2④電位電場(chǎng)強(qiáng)度真空中體密度為ρ、半徑為R的均勻帶電球體，球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位。

Rρ帶電球電場(chǎng)強(qiáng)度和電位

高斯通量定理①②電場(chǎng)強(qiáng)度電位

電位函數(shù)及其滿(mǎn)足的方程靜電場(chǎng)滿(mǎn)足方程為引入電位函數(shù)，滿(mǎn)足的方程如果Poisson方程變?yōu)長(zhǎng)aplace方程εVS§2.11靜電場(chǎng)方程（Poisson方程）

Poisson方程或Laplace方程的求解，必需知道位函數(shù)所在區(qū)域邊界上的狀態(tài)，即邊界條件。所謂邊界條件即電場(chǎng)在介質(zhì)交界面兩側(cè)所滿(mǎn)足的方程。可直接從靜電場(chǎng)滿(mǎn)足的方程（積分）導(dǎo)出。§2.11靜電場(chǎng)邊界條件§2.12導(dǎo)體的邊界條件導(dǎo)體內(nèi)存在大量可自由移動(dòng)的電子；宏觀上呈現(xiàn)電中性E+++++達(dá)到靜電平衡狀態(tài)導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零附加場(chǎng)沒(méi)有外加電場(chǎng)§2.12導(dǎo)體的邊界條件電場(chǎng)中的導(dǎo)體：導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；導(dǎo)體邊界面上電場(chǎng)的切向分量為零；導(dǎo)體為等勢(shì)體；電荷只分布在導(dǎo)體的表面均勻介質(zhì)空間Ω中的靜電場(chǎng)為確定邊界條件下Poisson方程的解，即§2.13靜電場(chǎng)的定解問(wèn)題

根據(jù)能量守恒原理，靜電場(chǎng)的能量等于產(chǎn)生電荷靜電場(chǎng)體在建立過(guò)程中，外力克服靜電力做功的總和。

第一個(gè)小電荷元自從無(wú)窮遠(yuǎn)處移到點(diǎn)，外界克服電場(chǎng)力做功為零

第二個(gè)小電荷元自從無(wú)窮遠(yuǎn)處移到r2點(diǎn)時(shí)，外力克服電場(chǎng)力所作的功是§2.14靜電場(chǎng)的能量和能量密度利用關(guān)系式和靜電場(chǎng)能量既可以通過(guò)電荷的分布計(jì)算，也可以通過(guò)電場(chǎng)計(jì)算，但能量密度函數(shù)只能表示為電場(chǎng)的函數(shù)。能量密度函數(shù)兩者都可作為靜電場(chǎng)能量計(jì)算公式將靜電場(chǎng)能量公式應(yīng)用到導(dǎo)體系，由于導(dǎo)體的電位為常數(shù)，從而得到導(dǎo)體系的能量為

導(dǎo)體系相對(duì)于同一參考點(diǎn)的電位導(dǎo)體系的電荷量§2.14靜電場(chǎng)的能量和能量密度定義：空間分布的電荷在電場(chǎng)作用下做定向運(yùn)動(dòng)形成電流，隨時(shí)間恒定的電流稱(chēng)為恒定電流，該空間中存在的電場(chǎng)就是恒定電場(chǎng)。內(nèi)容：①基本矢量②場(chǎng)方程③場(chǎng)的性質(zhì)§3.1穩(wěn)定電場(chǎng)§3.2電流與電流密度

1）電流電荷的定向運(yùn)動(dòng)形成電流。習(xí)慣把正電荷運(yùn)動(dòng)的方向規(guī)定為電流的方向。電流方向2）電流強(qiáng)度單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一橫截面的電量，叫做該截面的電流強(qiáng)度。簡(jiǎn)稱(chēng)為電流。（3）恒定電場(chǎng)的基本物理量——電流密度定義：設(shè)通過(guò)ΔS的電流為ΔI，則該點(diǎn)處的電流密度為：方向：正電荷運(yùn)動(dòng)的方向電流密度

（4）歐姆定律的微分形式在各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度間的關(guān)系為：或傳導(dǎo)電流密度電導(dǎo)率電阻率歐姆定律的微分形式

幾種材料在常溫下的電阻率和電導(dǎo)率§2-2導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)的基本方程①電荷守恒定律（1）導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)基本方程的積分形式恒定電場(chǎng)中的傳導(dǎo)電流連續(xù)性方程②電場(chǎng)強(qiáng)度向量的環(huán)路線積分如果所取積分路線經(jīng)過(guò)電源：如果所取積分路線不經(jīng)過(guò)電源：③導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）積分形式的基本方程④E與δC的關(guān)系在各向同性媒質(zhì)中，對(duì)于電源以外的區(qū)域有：在各向同性媒質(zhì)中，對(duì)于電源以?xún)?nèi)的區(qū)域有：（2）導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)基本方程的微分形式①由散度定理得散度定理結(jié)論：恒定電場(chǎng)是無(wú)散（源）場(chǎng)，因此電流線是連續(xù)的，既無(wú)始端也無(wú)終端。②由斯托克斯定理得斯托克斯定理結(jié)論：恒定電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)。③導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場(chǎng)（電源外）微分形式的基本方程恒定電場(chǎng)是無(wú)源無(wú)旋場(chǎng)。（3）恒定電場(chǎng)中的拉普拉斯方程在恒定電場(chǎng)中有∵有和∴均勻媒質(zhì)：即：恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程§2-3分界面上的邊界條件（1）討論兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上必須滿(mǎn)足的邊界條件①恒定電場(chǎng)中E必須滿(mǎn)足的邊界條件結(jié)論：恒定電場(chǎng)中，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上