第2章 穩(wěn)定電場

第二章穩(wěn)定電場

1電荷守恒定律宏觀實驗表明：一個孤立系統(tǒng)的電荷總量是保持不變的，即在任何時刻，系統(tǒng)中的正電荷與負電荷的代數(shù)和保持不變。稱之為電荷守恒定律。電荷守恒定律表明，如果孤立系統(tǒng)中某處在一個物理過程中產生（或消失）了某種符號的電荷，那么必有相等量的異號電荷伴隨產生（或消失）；如果孤立系統(tǒng)中總的電荷量增加（或減?。?，必有等量的電荷進入（或離開）該孤立系統(tǒng)?！?.1電荷與電流§2.1電荷與電流單位時間內，通過界面進入V內部的電荷量為：該電荷量等于V內單位時間內的電荷增加量，即：

VsnJ孤立系統(tǒng)§2.2Coulomb定律與靜電場

1Coulomb定律

真空中任意兩個靜止點電荷q1和q2之間作用力的大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引?！?.2Coulomb定律與靜電場

實驗還證明，真空中多個點電荷構成的電荷體系，兩兩間的作用力，不受其它電荷存在與否的影響。多個電荷體系中某個電荷受到的作用力是其余電荷與該電荷單獨存在時作用力之矢量代數(shù)和，滿足線性疊加原理。qi§2.2Coulomb定律與靜電場2電場強度

實驗證明，任何電荷在其所在空間激發(fā)出對置于其中的電荷有力的作用的物理量，稱為電場。由靜止電荷激發(fā)的電場稱為靜電場。人們正是通過對電磁中電荷受力的特性認識來研究電場的。電荷之間的作用力是通過電場來傳遞的。因此電場對電荷的作用力可以用于定義電場?！?.2Coulomb定律與靜電場空間某點的電場強度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力：根據(jù)上述定義很容易得到真空中靜止點電荷q激發(fā)的電場為：§2.2Coulomb定律與靜電場如果電荷是連續(xù)分布，密度為。它在空間任意一點產生的電場為：

小體積元中的電荷產生的電場體電荷密度面電荷密度線電荷密度§2.2Coulomb定律與靜電場3電荷密度P、Q兩點間的電位差，與P點和Q點的位置有關，與所取路徑無關?！?.3電位將q0從P點移到Q點，電場力所做的總功為APQ與q0的比值為沿某一路徑由P點到Q點的電位差1電位差如果取Q點為電位參考點，則P點的電位定義為參考點Q點的電位為0選取無限遠處作為參考點，任意點P的電位為§2.3電位2電位①靜電場中電位差與電位②電位是點函數(shù)，“對一點談電位，對兩點談電壓”。③靜電場力所做的功與路徑無關，但每點的電位則還與參考點的位置有關?！?.3電位§2.4靜電場的性質3靜電場的性質

性質1靜電場是有源場，。電荷是靜電場的通量源。利用Gauss定理得到稱為靜電場的Gauss定律。靜電場的Gauss定律表明靜電場的力線發(fā)源于正電荷，終止于負電荷。在沒有電荷的空間中，靜電場的力線是連續(xù)的?！?.4靜電場的性質§2.4靜電場的性質性質2靜電場是無旋場

由于標量場的梯度是無旋場，所以靜電場又可以表示為某個標量場的梯度。真空中xy平面上一半徑為a的圓形線電荷（線密度為），軸線上離圓心z處的P點的電位及電場強度。zxyaαPodqzR電荷面密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度。在圓盤上取一半徑為r寬為dr的圓環(huán)，則dq為P圓電荷在軸線上P點產生的電位整個圓盤上的電荷在場點P引起的電位為由于電場強度只有沿Z軸方向有分量，可得電場強度為如果圓盤的半徑趨向無限大（），即成一無限大帶電平面，則它所引起的電場強度為P電荷面密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度?！?.5電力線的性質PS性質2：電力線不構成閉合曲線。性質1：電力線發(fā)自正電荷，終于負電荷。任意兩條電力線不會相交。電場是無旋場。等位線（等位面和紙平面相交而得）由電位相等的點形成的曲面，稱為等位面，等位面的方程為：等位線的疏密反映場強的大小。等位線的性質：等位線處處與電力線垂直。等位線的切線等位線PαEP‘dl§2.5電力線的性質正點電荷兩個等量正點電荷有限長線電荷無限長線電荷帶電金屬球和一個不帶電金屬球導電體（即導體）絕緣體（電介質）靜電場中導體性質①導體內的電場強度應為零。②導體是一個等位體。③在導體表面上任何一點的電場強度方向一定要與導體表面垂直。④導體如果帶電，電荷只能分布于表面?！?.6導體和電介質電偶極子電偶極子：指相距很近的兩個符號相反而量值相等的電荷。l遠小于觀測距離r。+-qqlr1r2rP常用電偶極矩p來表征其特性：其中l(wèi)的方向是由負電荷指向正電荷§2.6導體和電介質真空中置于z軸上兩個點電荷形成的電偶極子產生的電場。+q和-q分別在場點P引起的電位為根據(jù)迭加原理，由電偶極子在P點引起的總電位為當r很大時(即r>>d)，r1、r2和r三者近乎平行，有真空中置于z軸上兩個點電荷形成的電偶極子產生的電場。電偶極子的場圖均勻媒質媒質的特性不因空間坐標（x,y,z）而變。各向同性媒質媒質的特性不因場量的方向而變。線性媒質媒質的參數(shù)不隨場量的量值而變?！?.7均勻各向同性線性煤質極性分子：取向極化極化結果：束縛電荷的分布發(fā)生變化，在電介質內部或表面形成極化電荷。非極性分子：位移極化§2.8電介質的極化極化強度P：單位體積內的等效偶極矩（該體積內各電偶極子偶極矩的矢量和）。在各向同性的線性介質中有為介質的極化率?！?.8電介質的極化極化電荷的體密度極化電荷的面密度極化電荷引起的電位和電場強度介質內部同時有自由電荷和電介質存在1）真空中①無限大真空中的點電荷q，作一任意半徑r的球面包圍該點電荷，則由該球面穿出的E通量應為：如果包圍點電荷的是一個任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出的E通量仍然等于②閉合面內包圍了n個點電荷，則§2.9高斯通量定理§2.9高斯通量定理③閉合面內是連續(xù)分布電荷的情況，則結論：在真空電場中，由任意閉合面穿出的E通量等于該閉合面內所有電荷的代數(shù)和除以真空的介電常數(shù)。2）電介質中自由電荷為極化電荷量為§2.9高斯通量定理電位移則§2.9高斯通量定理令高斯通量定理：在靜電場（無論是在真空還是介質中，也無論介質均勻與否）中，由任意閉合面穿出的D通量等于該面內自由電荷的代數(shù)和。一般情況各向同性的線性電介質：介電常數(shù)

：相對介電常數(shù)§2.10電位移無限大均勻介質中則結論：當場源的自由電荷分布相同時，無限大均勻介質中的電場較無限大真空中相應的電場要小倍。無限大均勻介質中點電荷引起的電場強度和電位§2.10電位移D線和P線D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷。P線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷?！?.10電位移介質中的D與空氣中的相同介質中的E小于空氣中的電場強度極化電荷在介質中所引起的P線埋在介電常數(shù)為ε的均勻無限電介質中的金屬球的場強E。r以半徑r作球面S（高斯面），S上各點的D大小相等。真空中兩個同心帶電金屬球殼產生的電場強度及電位。q1-q1q1+q2電場強度①故②故③故q1-q1q1+q2④真空中兩個同心帶點金屬球殼產生的電場強度及電位。q1-q1q1+q2真空中兩個同心帶點金屬球殼產生的電場強度及電位。電位選取無窮遠處為參考點①外球殼外表面的電位為：真空中兩個同心帶點金屬球殼產生的電場強度及電位。q1-q1q1+q2②外球殼內表面的電位為：真空中兩個同心帶點金屬球殼產生的電場強度及電位。③內球殼的電位為：q1-q1q1+q2真空中兩個同心帶點金屬球殼產生的電場強度及電位。q1-q1q1+q2④電位電場強度真空中體密度為ρ、半徑為R的均勻帶電球體，球內、外的電場強度及電位。

Rρ帶電球電場強度和電位

高斯通量定理①②電場強度電位

電位函數(shù)及其滿足的方程靜電場滿足方程為引入電位函數(shù)，滿足的方程如果Poisson方程變?yōu)長aplace方程εVS§2.11靜電場方程（Poisson方程）

Poisson方程或Laplace方程的求解，必需知道位函數(shù)所在區(qū)域邊界上的狀態(tài)，即邊界條件。所謂邊界條件即電場在介質交界面兩側所滿足的方程?？芍苯訌撵o電場滿足的方程（積分）導出?！?.11靜電場邊界條件§2.12導體的邊界條件導體內存在大量可自由移動的電子；宏觀上呈現(xiàn)電中性E+++++達到靜電平衡狀態(tài)導體內部電場為零附加場沒有外加電場§2.12導體的邊界條件電場中的導體：導體內部電場為零；導體邊界面上電場的切向分量為零；導體為等勢體；電荷只分布在導體的表面均勻介質空間Ω中的靜電場為確定邊界條件下Poisson方程的解，即§2.13靜電場的定解問題

根據(jù)能量守恒原理，靜電場的能量等于產生電荷靜電場體在建立過程中，外力克服靜電力做功的總和。

第一個小電荷元自從無窮遠處移到點，外界克服電場力做功為零

第二個小電荷元自從無窮遠處移到r2點時，外力克服電場力所作的功是§2.14靜電場的能量和能量密度利用關系式和靜電場能量既可以通過電荷的分布計算，也可以通過電場計算，但能量密度函數(shù)只能表示為電場的函數(shù)。能量密度函數(shù)兩者都可作為靜電場能量計算公式將靜電場能量公式應用到導體系，由于導體的電位為常數(shù)，從而得到導體系的能量為

導體系相對于同一參考點的電位導體系的電荷量§2.14靜電場的能量和能量密度定義：空間分布的電荷在電場作用下做定向運動形成電流，隨時間恒定的電流稱為恒定電流，該空間中存在的電場就是恒定電場。內容：①基本矢量②場方程③場的性質§3.1穩(wěn)定電場§3.2電流與電流密度

1）電流電荷的定向運動形成電流。習慣把正電荷運動的方向規(guī)定為電流的方向。電流方向2）電流強度單位時間內通過某一橫截面的電量，叫做該截面的電流強度。簡稱為電流。（3）恒定電場的基本物理量——電流密度定義：設通過ΔS的電流為ΔI，則該點處的電流密度為：方向：正電荷運動的方向電流密度

（4）歐姆定律的微分形式在各向同性的導電媒質中，電流密度與電場強度間的關系為：或傳導電流密度電導率電阻率歐姆定律的微分形式

幾種材料在常溫下的電阻率和電導率§2-2導電媒質中恒定電場的基本方程①電荷守恒定律（1）導電媒質中恒定電場基本方程的積分形式恒定電場中的傳導電流連續(xù)性方程②電場強度向量的環(huán)路線積分如果所取積分路線經(jīng)過電源：如果所取積分路線不經(jīng)過電源：③導電媒質中恒定電場（電源外）積分形式的基本方程④E與δC的關系在各向同性媒質中，對于電源以外的區(qū)域有：在各向同性媒質中，對于電源以內的區(qū)域有：（2）導電媒質中恒定電場基本方程的微分形式①由散度定理得散度定理結論：恒定電場是無散（源）場，因此電流線是連續(xù)的，既無始端也無終端。②由斯托克斯定理得斯托克斯定理結論：恒定電場是無旋場。③導電媒質中恒定電場（電源外）微分形式的基本方程恒定電場是無源無旋場。（3）恒定電場中的拉普拉斯方程在恒定電場中有∵有和∴均勻媒質：即：恒定電場的拉普拉斯方程§2-3分界面上的邊界條件（1）討論兩種導電媒質分界面上必須滿足的邊界條件①恒定電場中E必須滿足的邊界條件結論：恒定電場中，兩種導電媒質分界面上