2021～2022高中數(shù)學第二章數(shù)列1數(shù)列的概念與簡單表示法2作業(yè)【含答案】新人教版必修5

數(shù)列的概念與簡單表示法一、選擇題1．下面四個結(jié)論：①數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函數(shù)；②數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；③數(shù)列的項數(shù)是無限的；④數(shù)列通項的表示式是唯一的．其中正確的是()A．①② B．①②③C．②③ D．①②③④A[解析]數(shù)列的項數(shù)可以是有限的也可以是無限的．數(shù)列通項的表示式可以不唯一．例如數(shù)列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通項可以是an＝sineq\f(nπ,2)，也可以是an＝coseq\f(n＋3π,2)等等．2．數(shù)列2,0,4,0,6,0，…的一個通項公式是()A．a(chǎn)n＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n] B．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n＋1]C．a(chǎn)n＝eq\f(n,2)[1＋(－1)n＋1] D．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2)[1＋(－1)n]B[解析]經(jīng)驗證可知選項B符合要求．3．已知an＝n(n＋1)，以下四個數(shù)中，哪個是數(shù)列{an}中的一項()A．18 B．21C．25 D．30D[解析]依次令n(n＋1)＝18、21、25和30檢驗．有正整數(shù)解的便是，知選D．[點評]由n(n＋1)＝a可知a應(yīng)能分解為相鄰兩整數(shù)之積．顯然A、B、C不滿足，∴選D．4．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么這個數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列A[解析]an＝eq\f(n－1,n＋1)＝1－eq\f(2,n＋1)，隨著n的增大而增大．5．數(shù)列1，－3,5，－7,9，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝(－1)n(1－2n)C．a(chǎn)n＝(－1)n(2n－1) D．a(chǎn)n＝(－1)n(2n＋1)B[解析]當n＝1時，a1＝1排除C、D；當n＝2時，a2＝－3排除A，故選B．6．數(shù)列1,3,7,15，…的通項公式an＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1C[解析]∵a1＝1，排除A，B；又a2＝3，排除D，故選C．二、填空題7．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(1,nn＋2)(n∈N*)，則eq\f(1,120)是這個數(shù)列的第________項．10[解析]令an＝eq\f(1,120)，即eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,120)，解得n＝10或n＝－12(舍去)．8．數(shù)列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一個通項公式為________．a(chǎn)n＝(－1)neq\f(n·n＋2,2n＋1)[解析]奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，調(diào)整其各項為－eq\f(1×3,3)，eq\f(2×4,5)，－eq\f(3×5,7)，eq\f(4×6,9)，∴an＝(－1)neq\f(n·n＋2,2n＋1).三、解答題9．數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？[解析](1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是這個數(shù)列的第16項．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴從第7項起各項都是正數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,xx＋1)，構(gòu)造數(shù)列an＝f(n)(n∈N＋)，試判斷{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？[解析]∵an＝eq\f(1,nn＋1)，則an＋1＝eq\f(1,n＋1n＋2).對任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，∴eq\f(1,n＋1n＋2)<eq\f(1,nn＋1)，于是an＋1－an＝eq\f(1,n＋1n＋2)－eq\f(1,nn＋1)<0.∴{an}是遞減數(shù)列．一、選擇題1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－8n＋15，則3()A．不是數(shù)列{an}中的項B．只是數(shù)列{an}的第2項C．只是數(shù)列{an}的第6項D．是數(shù)列{an}的第2項或第6項D[解析]令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是該數(shù)列的第2項，也可以是該數(shù)列的第6項．2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，eq\f(an,an＋1)＝2，則此數(shù)列是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．擺動數(shù)列 D．常數(shù)列B[解析]由eq\f(an,an＋1)＝2可知該數(shù)列的前一項是后一項的2倍，而a1＝1>0，所以數(shù)列{an}的項依次減小為其前一項的一半，故為遞減數(shù)列．3．對任意的a1∈(0,1)，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列滿足an＋1>an(n∈N*)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()A[解析]據(jù)題意，由關(guān)系式an＋1＝f(an)得到的數(shù)列{an}，滿足an＋1>an，即該函數(shù)y＝f(x)的圖象上任一點(x，y)都滿足y>x，結(jié)合圖象，只有A滿足，故選A．4．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(n,n2＋156)(n∈N＋)，則數(shù)列的最大項是()A．第12項 B．第13項C．第12項或第13項 D．不存在C[解析]an＝eq\f(1,n＋\f(156,n），n＋eq\f(156,n)≥2eq\r(156)，但由于n∈N＋取不到等號，而a12＝a13，∴第12項和第13項都是最大項．二、填空題5．根據(jù)圖中的5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖中有________個點．n2－n＋1[解析]序號n決定了每圖的分支數(shù)，而每分支有(n－1)個點，中心再加一點，故有n·(n－1)＋1＝n2－n＋1個點．6．已知{an}是遞增數(shù)列，且對任意的自然數(shù)n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為________．λ>－3[解析]由{an}為遞增數(shù)列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n－1在n≥1時恒成立，令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.只需λ>f(n)max＝－3即可．三、解答題7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)？(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值．[解析](1)令n2－5n＋4<0，得1<n<4，∵n∈N*，∴n＝2或3.故數(shù)列中有兩項是負數(shù)．即a2、a3為負數(shù)．(2)an＝n2－5n＋4＝(n－eq\f(5,2))2－eq\f(9,4).∵n∈N*，∴當n＝2或3時，an最小，最小值為－2.8．已知數(shù)列1,2，eq\f(7,3)，eq\f(5,2)，eq\f(13,5)，….(1)寫出這個數(shù)列的一個通項公式an；(2)判斷數(shù)列{an}的增減性．[解析](1)數(shù)列1,2，eq\f(7,3)，eq\f(5,2)，eq\f(13,5)，….可變?yōu)閑q\f(1,1)，eq\f(4,2)，eq\f(7,3)，eq\f(10,4)，eq\f(13,5)，….觀察該數(shù)列可知，每一項的分母恰與該項序號n對應(yīng)，而分子比序號n的3倍少2，∴an＝eq\f(3n