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文檔簡介
第三章3.10小 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 復(fù)數(shù)項級復(fù)數(shù)項級數(shù)是復(fù)數(shù)序列znxniyn構(gòu)成的無窮級znz1z2...znn其部分和為Snzkz1z2znnknkn極 Slim
稱為級數(shù)的和
nk
k2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 級數(shù)收斂的充要條件-柯西收斂判對任意的0,都存在正整數(shù)NN(),使得當nN時對一切正整數(shù)p,nSn
k
復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂條復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是它的實部級x1x2...xn和虛部級都收斂
y1y2...yn3PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條limxn limyn 絕對收斂和條件收
limzn若級
z1
...
收斂則級 znz1z2...zn...并稱后者為絕對收斂.事實
zn
ynzn 若zn收斂
4PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 級數(shù)的乘 如果Saan,Sbbn,則乘積級 bncnSa n其中cnnk5PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 達朗貝爾(d’Alembert)若級zn滿足條
則當l時zn絕對收斂.當l時,zn發(fā)散 6PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例:討論級數(shù)zn解 1zz2 zn-
(z 1Slim lim1
1根據(jù)收斂定義,
1時S
1
,z1時S不存在,級數(shù)發(fā)散(2)
z
z1時級數(shù)zn收斂,z
1時級數(shù)發(fā)散7PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 復(fù)變函數(shù)項級復(fù)變函數(shù)項復(fù)變函數(shù)項級數(shù)是由函數(shù)序列fn(z)構(gòu)成的無窮級fn(z)f1(z)f2(z) fn(z)其中fn(z)是定義在區(qū)域內(nèi)的復(fù)變函數(shù) 級數(shù)的部分和構(gòu)成函數(shù)序列Sn(z) fk(z). k D內(nèi)某一zlimSn(zS(z)存在fn(zz點收斂S(z)是它的和 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 收斂和一致對任意的0,都存在正整數(shù)NN(z),使得當nN時對一切正整數(shù)p,都有nSn
fkk
則稱級數(shù)fn(z)在z點收斂所有z都有N(z)N(就稱級數(shù)fn(z)在區(qū)域內(nèi)一致收斂
使級數(shù)fn(z)收斂(一致收斂)的那些的集合稱為該級數(shù)的收斂(一致收斂)域 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 達朗貝爾判若級數(shù)fn(z)
fnfn1fn則當l時fn(z)在z點絕對收斂.當l時,fn PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 一致收斂的復(fù)變函若fk(z)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),并且級數(shù)fkk在D內(nèi)一致收斂,則級數(shù)和S(zfk(z也是k內(nèi)的連續(xù)函數(shù)一致收斂級數(shù)的積分和求和次序可以互換, fn(z)dzfn n1PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 外爾斯特拉斯(Weierstrass)定理:若函fn(z)fn(z)在D的邊界上一致收斂, 級數(shù)fn(z)在內(nèi)收斂,并且其和S(zfn 在D內(nèi)是解析的n級數(shù)的m階導(dǎo)數(shù)n
f(m)(z)在D內(nèi)也收斂,并且(m)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 外爾斯特拉斯(Weierstrass)定理證明由于fk()在上一致收斂,因此由達朗貝爾判別法,kk fk(kD內(nèi)的任意一點z(即z
2i
z在上一致收斂,所以沿的積分存在.由于該積1
f() 1
fk( d
d
f2i
k
z
z
k因此級數(shù)fk(z)的和存在,即級數(shù)在內(nèi)(任意z點)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 同理,對整數(shù)m1
fk(z
在上也一致收k
f()
fk(
由
d
mdfk(z)2i
k
z
z
因此,級數(shù)和在內(nèi)處處可導(dǎo),即級數(shù)和在內(nèi)解PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 小若fk(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則當級數(shù)fk(z)在內(nèi)一致收斂時k其和F(z)也連 limF(z)limfk(z)
limfk(z)
fk(z0)F(z0z
zz0k
k若fk(z)在曲線l上的積分存在(即fk(z)在分段光滑的曲線l分段連續(xù)且有界),則當級數(shù)fk(z)在l上一致收斂時,其和Fk在曲線l上的積分也存在,并 F(z)dzfk(z)dzfk lk k1若fk(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,在分段光滑的邊界上連續(xù),則當數(shù)fk(z)在上一致收斂時其和F(z)也在D內(nèi)解析,并且其mk導(dǎo)
k
(fk(z)
ff kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 nnc(za)ncc(za)c(za)2 ,PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)的斂散性,阿貝爾定
n PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 證
c c cz
z z
q1,ncznn
cz cz0
zznn
nn
斂PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)的斂散性,達朗貝爾判別nn
c(zan,
cn1(zcn(z
zaR
za
z
z
z
zc
R為一圓稱收斂圓.收斂圓的半徑(收斂半徑..R
zaR上, PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)斂散性,冪級數(shù)冪級數(shù)c(za)斂散性的柯西判別法kk設(shè)k
k
kc(zakc(za)kkzRl時,冪級數(shù)絕對收l時冪級數(shù)的斂散性必須由其它方法冪級數(shù)的收斂域
z
PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建
n0nn
1z
zzn(1)對于任意固定z,總可以找到一個N2z,從而當nN2z時恒 1
1 nnnn
.因此2 2
n0
nn0zn1/(nzn1/(nzn/zn
n1 n所以,級數(shù)n的收斂半徑Rn
nznnzn/
z/
0.所以,收斂半徑R PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2.
n1np
(p為正整數(shù))的斂散
)p
n
1)n收斂半R
1,級數(shù)收斂
1,級數(shù)發(fā)散PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 z上的特性p0,
在收斂圓上無收斂點p2級
n1
在點z發(fā)散在其它點都收斂在收斂圓上處處收斂PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)n冪級數(shù)的和函f(zc(zan在收斂n
za內(nèi)是解析函數(shù)
f(z)nf(z)nc(za)n逐項求導(dǎo)以后級數(shù)的收斂半徑f(z)在收斂圓內(nèi)的積分可以通過冪級數(shù)逐項積分f(z)dzcn(za) czan 逐項積分以后級數(shù)的收斂半徑PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.4解析函數(shù)與解析函數(shù)的冪級數(shù)(泰勒Taylor級數(shù))f(z)
f()2πif(
f(
f(
za
za由
a
z
k0
k
f(
得f(z)
f(
za
d
cza
k
kk其
f(
d1f(k)
k所以f(z)
k
1f(k)(a)zk
PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 泰勒級數(shù)展開的唯一假設(shè)f(z)可以在以af(z)czakccza1cza2 k
c0fc1f c1f 1f(k) k即當f(z)和a確定后對應(yīng)的泰勒級數(shù)展開是唯一的 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.5解析函數(shù)與雙邊冪級由3.1節(jié)例1得到k
1zz2
F(z)zkk
1z是解析函數(shù)但除
z1,在區(qū)域
1
也是解析函數(shù)顯然,在區(qū)
z
1111z
z2
1 z 1
z 1z問題:任何函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)是否一定可以展開為冪級數(shù)?是,如何展開 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 定理:雙邊冪級
kkk
證明
c(za)kc(za)kc(za) k k k解析函數(shù).作變 ,負冪級數(shù)可以化為正冪zc(zc(zc (za) k k kzaR2.在此收斂域內(nèi),負冪級數(shù)的和為解 所以,若RR,雙邊冪級 c(za)k在環(huán)形區(qū)kR2
z
R1內(nèi)收斂,其和是該環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)在環(huán)形區(qū)R2zaR1內(nèi)解析.由二連區(qū)域的柯西f(z)
f(
d
f()
由3.4節(jié)得右邊第一1 f()dc
za
1
kk其中
d
PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 右邊第二
f(
d
f()d 2πi
2πi z 2πi (za)(
f( 2
z
1z
a
z2
n1
za 1
22
z
z
k
za其 cn
2 2
d
ak
akPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 所 f(z)
1 f()2πi
d
1 f()d2πi k
za
k
zak
za其
k k
雙邊冪級數(shù)f(z)
k
zak稱為洛朗級數(shù)c稱為洛朗系數(shù)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 級數(shù), f(z)1
k
兩邊
z
,然后沿環(huán)形區(qū)域內(nèi)繞a的正向圍線積分,1 1
f(z)dz
z
mk1za
k
za
dzkdz
za根據(jù)2.1節(jié)的例2,右端的各項積分1(za)mk1
dz2i,mk mk f(z)dz
2i,kmc因 z
k
km或
f
所以,給定f(z)和a在環(huán)形收斂區(qū)域R2z
數(shù),其所有系數(shù)都是唯一確定的,或者說洛朗級數(shù)的展開是唯一PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 附2.1節(jié)例例2: dz,C是以 0(zz 0rro解Czzrei,02π.dzirei0((zz 0
dz
rn1ei rn
2πeind0
2i,n n積 0 0PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.6解析函數(shù)的泰勒展開給定f(z1
f(n)(z),n0,1,2,00kf(z)z000kf(z)
k0k
f(k)
)zz0PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1(p.92).求ln(1z)以z0為中心的泰勒展開式解 Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1ziarg(1 ln(10)ln(1 1(1)0ln(1 1(1)1ln(1 1(2)(1)2ln(1 1(2)(1)n1(n c0
ln(1z) f(n)(z0) ln(1z)
n所 ln(1z)cn n
z zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 借助于一些已知函,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算(逐項求導(dǎo)積分等)和其它(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 zz1)ez
1zz2 n
(z
1zz2 zn
zn111
1zz2 (1)nzn
(zzn,(z sinzz
, (2n
(z)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 cosz1,
z2n
(z)ln(1z)z,
n(1)n (
n7)(1 1z(1)z2(1)(2)z3 (1) (n1)zn
(zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2sinzz0為中心的泰勒展開式解 sinz1
eiz1
(iz)n
z2n1
(1)n
(2nPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例3.f(z
解:f(z)
11zz2 (1)nzn 1zz1 1z12z3z2 (1)n1
zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例4求arctanz在z0的冪級數(shù)展 因為arctanz
z01z2z1且1z2
(z2)n
zarctanz
z 1zz
0
(1)n(z2(1)n
z2n1 z2nPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 5求cos2z的冪級數(shù)因為cos2z1(1cos2z),2cos2z1
(2z)2
(2z)6 22 24 1
26z6
z所以cos2z1(1cos2z)21
2z2
23
25z6
z PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.7解析函數(shù)的洛朗展開直接展開f(z),c1 f dz (n0,1, f(z)以z0nnPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1.將f(z) 在z0的領(lǐng)域作洛朗級數(shù)展開 f(z)
0C解 0C
(zz
dz
n3zCz n3
dn2(n (n
z
,n2f(z)z00
zn, 0z n2(n2)!PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 間接展開代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 ez 1z
z3z4 例1:另解z2 z2
1 111
z PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2a(p.95)將f(z)
z(1
以z0解 函數(shù)f(z)在z0及z點不解析,但在環(huán)形區(qū)0z1和1z內(nèi)解析0z1f(z)
1 z(1 1z11zz2 zn 在1z
kf(z) z(1
1 z2 z2 z11
11
z2 kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2b.將f(z)
z(1
解:函數(shù)f(z)在z0及z點不解析,但在環(huán)形區(qū)域0z1和1z1內(nèi)解析0z11f(z) 1 z(1 1 1 1(z(z1)11(z1)(z1)2(1)k(zk在1z1 f(z)
z(1z)(z1)(z11)(z
1 1
z1 21
(1)(z (z z (z
kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建
§3.8孤立奇f(z)zaa1z0是ez
z是1zz0
n,0
1 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 limf(z)
PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)cc(za)c(za)2 0za :由于limf(z)c0g(z)f z zg(z)cc(za)c(za)2
zaPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 z sinz1
zz ,0
z 1,z z PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)0zaRf(z) (za)m (za)m1cc(za) c(za)k f(z) c
(za)2
g(z)zag(acmPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (za)m
c0c1(za)kc(za)kk
1
g(z)zag(acm PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 解:
z3z2z
z3z2z (z1)(z所以孤立奇點z1是函數(shù)的一階極點或單極點z1是函數(shù)的二階極點例3.(p.100)討論函
sin
的奇解 ,zn是函
的極點(n整數(shù)znsinlim(zn
sin 1)n,zn是一z
sin zncosPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)0zaRf(z) (za)m (za)m1cc(za) cc(za)kk PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建
f(z)1(z)f
z z(z)cc(za)c(za)2 c0 c1c2cm10cm0,(z)c(za)m (za)m1(za)m f(z) g(a)c (za)m ll(za)l(za)2
PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 1例3.ez 1
11z2
zn
0 含有無限多個zz0 同時,由于limez ,limez 0,所以limez不存在. PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 函數(shù)的零點:如果解析函數(shù)f(z)可以f(z)(zz0)m(z)如果zz0為解析函數(shù)f(z)的m階零點,則zz0是函數(shù)1/f(z)m階極點,反之亦例.z0是函f(zz(z1)3的一階零點z1f(zz(z1)3的三階零點PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.9無限遠設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域Rz內(nèi)解析1,則函z()
f(
f(z)在0
1內(nèi)解析,并可展開為以0R()
kkk
ckf(z)
1 所 k
zk此即函數(shù)f(z)展開為以zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 若ck00即g()
ck,kkkf(z) c1cc1c1 1 2k則稱z為f(z)的可去奇點,f(k若ckm0g(k
k
ck,f(z)
1
zm
z
c1
1k
k
1 2則稱z為f(z)的m階極點,f(
c若c 0,即g()ck,那么f(z) k
k 則稱z為f(z)的本性奇點,f()不確定 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 在區(qū)域0z內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以z為中心的f(z)
c1k
k此即函數(shù)f(z)展開為以z0一般地,在區(qū)域R1
z
R2內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以z cf(z)k
k(z此即函數(shù)f(z)展開為以zaPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1f(ze1z以z解:令1則(e以0z()e1 2 f(z)e1/z11
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