高頻-工數(shù)軟件微機工程數(shù)學

第三章3.10小 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 復(fù)數(shù)項級復(fù)數(shù)項級數(shù)是復(fù)數(shù)序列znxniyn構(gòu)成的無窮級znz1z2...znn其部分和為Snzkz1z2znnknkn極 Slim

稱為級數(shù)的和

nk

k2PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 級數(shù)收斂的充要條件－柯西收斂判對任意的0,都存在正整數(shù)NN(),使得當nN時對一切正整數(shù)p,nSn

k

復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂條復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是它的實部級x1x2...xn和虛部級都收斂

y1y2...yn3PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的必要條limxn limyn 絕對收斂和條件收

limzn若級

z1

...

收斂則級 znz1z2...zn...并稱后者為絕對收斂.事實

zn

ynzn 若zn收斂

4PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 級數(shù)的乘 如果Saan,Sbbn,則乘積級 bncnSa n其中cnnk5PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 達朗貝爾(d’Alembert)若級zn滿足條

則當l時zn絕對收斂.當l時,zn發(fā)散 6PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例:討論級數(shù)zn解 1zz2 zn-

(z 1Slim lim1

1根據(jù)收斂定義,

1時S

1

,z1時S不存在,級數(shù)發(fā)散(2)

z

z1時級數(shù)zn收斂,z

1時級數(shù)發(fā)散7PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 復(fù)變函數(shù)項級復(fù)變函數(shù)項復(fù)變函數(shù)項級數(shù)是由函數(shù)序列fn(z)構(gòu)成的無窮級fn(z)f1(z)f2(z) fn(z)其中fn(z)是定義在區(qū)域內(nèi)的復(fù)變函數(shù) 級數(shù)的部分和構(gòu)成函數(shù)序列Sn(z) fk(z). k D內(nèi)某一zlimSn(zS(z)存在fn(zz點收斂S(z)是它的和 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 收斂和一致對任意的0,都存在正整數(shù)NN(z),使得當nN時對一切正整數(shù)p,都有nSn

fkk

則稱級數(shù)fn(z)在z點收斂所有z都有N(z)N(就稱級數(shù)fn(z)在區(qū)域內(nèi)一致收斂

使級數(shù)fn(z)收斂(一致收斂)的那些的集合稱為該級數(shù)的收斂(一致收斂)域 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 達朗貝爾判若級數(shù)fn(z)

fnfn1fn則當l時fn(z)在z點絕對收斂.當l時,fn PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 一致收斂的復(fù)變函若fk(z)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),并且級數(shù)fkk在D內(nèi)一致收斂,則級數(shù)和S(zfk(z也是k內(nèi)的連續(xù)函數(shù)一致收斂級數(shù)的積分和求和次序可以互換, fn(z)dzfn n1PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 外爾斯特拉斯（Weierstrass)定理：若函fn(z)fn(z)在D的邊界上一致收斂, 級數(shù)fn(z)在內(nèi)收斂,并且其和S(zfn 在D內(nèi)是解析的n級數(shù)的m階導(dǎo)數(shù)n

f（m)(z)在D內(nèi)也收斂,并且（m)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 外爾斯特拉斯（Weierstrass)定理證明由于fk()在上一致收斂,因此由達朗貝爾判別法,kk fk(kD內(nèi)的任意一點z(即z

2i

z在上一致收斂,所以沿的積分存在.由于該積1

f() 1

fk( d

d

f2i

k

z

z

k因此級數(shù)fk(z)的和存在,即級數(shù)在內(nèi)(任意z點)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 同理,對整數(shù)m1

fk(z

在上也一致收k

f()

fk(

由

d

mdfk(z)2i

k

z

z

因此,級數(shù)和在內(nèi)處處可導(dǎo),即級數(shù)和在內(nèi)解PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 小若fk(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則當級數(shù)fk(z)在內(nèi)一致收斂時k其和F(z)也連 limF(z)limfk(z)

limfk(z)

fk(z0)F(z0z

zz0k

k若fk(z)在曲線l上的積分存在(即fk(z)在分段光滑的曲線l分段連續(xù)且有界),則當級數(shù)fk(z)在l上一致收斂時,其和Fk在曲線l上的積分也存在,并 F(z)dzfk(z)dzfk lk k1若fk(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,在分段光滑的邊界上連續(xù),則當數(shù)fk(z)在上一致收斂時其和F(z)也在D內(nèi)解析,并且其mk導(dǎo)

k

(fk(z)

ff kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 nnc(za)ncc(za)c(za)2 ,PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)的斂散性,阿貝爾定

n PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 證

c c cz

z z

q1,ncznn

cz cz0

zznn

nn

斂PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)的斂散性,達朗貝爾判別nn

c(zan,

cn1(zcn(z

zaR

za

z

z

z

zc

R為一圓稱收斂圓.收斂圓的半徑(收斂半徑..R

zaR上, PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)斂散性,冪級數(shù)冪級數(shù)c(za)斂散性的柯西判別法kk設(shè)k

k

kc(zakc(za)kkzRl時,冪級數(shù)絕對收l時冪級數(shù)的斂散性必須由其它方法冪級數(shù)的收斂域

z

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

n0nn

1z

zzn(1)對于任意固定z,總可以找到一個N2z,從而當nN2z時恒 1

1 nnnn

.因此2 2

n0

nn0zn1/(nzn1/(nzn/zn

n1 n所以,級數(shù)n的收斂半徑Rn

nznnzn/

z/

0.所以,收斂半徑R PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2.

n1np

(p為正整數(shù))的斂散

)p

n

1)n收斂半R

1,級數(shù)收斂

1,級數(shù)發(fā)散PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 z上的特性p0,

在收斂圓上無收斂點p2級

n1

在點z發(fā)散在其它點都收斂在收斂圓上處處收斂PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)n冪級數(shù)的和函f(zc(zan在收斂n

za內(nèi)是解析函數(shù)

f(z)nf(z)nc(za)n逐項求導(dǎo)以后級數(shù)的收斂半徑f(z)在收斂圓內(nèi)的積分可以通過冪級數(shù)逐項積分f(z)dzcn(za) czan 逐項積分以后級數(shù)的收斂半徑PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.4解析函數(shù)與解析函數(shù)的冪級數(shù)(泰勒Taylor級數(shù))f(z)

f()2πif(

f(

f(

za

za由

a

z

k0

k

f(

得f(z)

f(

za

d

cza

k

kk其

f(

d1f(k)

k所以f(z)

k

1f(k)(a)zk

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 泰勒級數(shù)展開的唯一假設(shè)f(z)可以在以af(z)czakccza1cza2 k

c0fc1f c1f 1f(k) k即當f(z)和a確定后對應(yīng)的泰勒級數(shù)展開是唯一的 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.5解析函數(shù)與雙邊冪級由3.1節(jié)例1得到k

1zz2

F(z)zkk

1z是解析函數(shù)但除

z1,在區(qū)域

1

也是解析函數(shù)顯然,在區(qū)

z

1111z

z2

1 z 1

z 1z問題:任何函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)是否一定可以展開為冪級數(shù)?是,如何展開 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 定理:雙邊冪級

kkk

證明

c(za)kc(za)kc(za) k k k解析函數(shù).作變 ,負冪級數(shù)可以化為正冪zc(zc(zc (za) k k kzaR2.在此收斂域內(nèi),負冪級數(shù)的和為解 所以,若RR,雙邊冪級 c(za)k在環(huán)形區(qū)kR2

z

R1內(nèi)收斂,其和是該環(huán)形區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)在環(huán)形區(qū)R2zaR1內(nèi)解析.由二連區(qū)域的柯西f(z)

f(

d

f()

由3.4節(jié)得右邊第一1 f()dc

za

1

kk其中

d

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 右邊第二

f(

d

f()d 2πi

2πi z 2πi (za)(

f( 2

z

1z

a

z2

n1

za 1

22

z

z

k

za其 cn

2 2

d

ak

akPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 所 f(z)

1 f()2πi

d

1 f()d2πi k

za

k

zak

za其

k k

雙邊冪級數(shù)f(z)

k

zak稱為洛朗級數(shù)c稱為洛朗系數(shù)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 級數(shù), f(z)1

k

兩邊

z

,然后沿環(huán)形區(qū)域內(nèi)繞a的正向圍線積分,1 1

f(z)dz

z

mk1za

k

za

dzkdz

za根據(jù)2.1節(jié)的例2,右端的各項積分1(za)mk1

dz2i,mk mk f(z)dz

2i,kmc因 z

k

km或

f

所以,給定f(z)和a在環(huán)形收斂區(qū)域R2z

數(shù),其所有系數(shù)都是唯一確定的,或者說洛朗級數(shù)的展開是唯一PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 附2.1節(jié)例例2: dz,C是以 0(zz 0rro解Czzrei,02π.dzirei0((zz 0

dz

rn1ei rn

2πeind0

2i,n n積 0 0PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.6解析函數(shù)的泰勒展開給定f(z1

f(n)(z),n0,1,2,00kf(z)z000kf(z)

k0k

f(k)

)zz0PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1(p.92).求ln(1z)以z0為中心的泰勒展開式解 Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1ziarg(1 ln(10)ln(1 1(1)0ln(1 1(1)1ln(1 1(2)(1)2ln(1 1(2)(1)n1(n c0

ln(1z) f(n)(z0) ln(1z)

n所 ln(1z)cn n

z zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 借助于一些已知函,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算(逐項求導(dǎo)積分等)和其它(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 zz1)ez

1zz2 n

(z

1zz2 zn

zn111

1zz2 (1)nzn

(zzn,(z sinzz

, (2n

(z)PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 cosz1,

z2n

(z)ln(1z)z,

n(1)n (

n7)(1 1z(1)z2(1)(2)z3 (1) (n1)zn

(zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2sinzz0為中心的泰勒展開式解 sinz1

eiz1

(iz)n

z2n1

(1)n

(2nPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例3.f(z

解:f(z)

11zz2 (1)nzn 1zz1 1z12z3z2 (1)n1

zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例4求arctanz在z0的冪級數(shù)展 因為arctanz

z01z2z1且1z2

(z2)n

zarctanz

z 1zz

0

(1)n(z2(1)n

z2n1 z2nPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 5求cos2z的冪級數(shù)因為cos2z1(1cos2z),2cos2z1

(2z)2

(2z)6 22 24 1

26z6

z所以cos2z1(1cos2z)21

2z2

23

25z6

z PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.7解析函數(shù)的洛朗展開直接展開f(z),c1 f dz (n0,1, f(z)以z0nnPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1.將f(z) 在z0的領(lǐng)域作洛朗級數(shù)展開 f(z)

0C解 0C

(zz

dz

n3zCz n3

dn2(n (n

z

,n2f(z)z00

zn, 0z n2(n2)!PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 間接展開代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 ez 1z

z3z4 例1:另解z2 z2

1 111

z PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2a(p.95)將f(z)

z(1

以z0解 函數(shù)f(z)在z0及z點不解析,但在環(huán)形區(qū)0z1和1z內(nèi)解析0z1f(z)

1 z(1 1z11zz2 zn 在1z

kf(z) z(1

1 z2 z2 z11

11

z2 kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例2b.將f(z)

z(1

解:函數(shù)f(z)在z0及z點不解析,但在環(huán)形區(qū)域0z1和1z1內(nèi)解析0z11f(z) 1 z(1 1 1 1(z(z1)11(z1)(z1)2(1)k(zk在1z1 f(z)

z(1z)(z1)(z11)(z

1 1

z1 21

(1)(z (z z (z

kPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

§3.8孤立奇f(z)zaa1z0是ez

z是1zz0

n,0

1 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 limf(z)

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)cc(za)c(za)2 0za :由于limf(z)c0g(z)f z zg(z)cc(za)c(za)2

zaPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 z sinz1

zz ,0

z 1,z z PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)0zaRf(z) (za)m (za)m1cc(za) c(za)k f(z) c

(za)2

g(z)zag(acmPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 (za)m

c0c1(za)kc(za)kk

1

g(z)zag(acm PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 解:

z3z2z

z3z2z (z1)(z所以孤立奇點z1是函數(shù)的一階極點或單極點z1是函數(shù)的二階極點例3.(p.100)討論函

sin

的奇解 ,zn是函

的極點(n整數(shù)znsinlim(zn

sin 1)n,zn是一z

sin zncosPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 f(z)0zaRf(z) (za)m (za)m1cc(za) cc(za)kk PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建

f(z)1(z)f

z z(z)cc(za)c(za)2 c0 c1c2cm10cm0,(z)c(za)m (za)m1(za)m f(z) g(a)c (za)m ll(za)l(za)2

PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 1例3.ez 1

11z2

zn

0 含有無限多個zz0 同時,由于limez ,limez 0,所以limez不存在. PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 函數(shù)的零點:如果解析函數(shù)f(z)可以f(z)(zz0)m(z)如果zz0為解析函數(shù)f(z)的m階零點,則zz0是函數(shù)1/f(z)m階極點,反之亦例.z0是函f(zz(z1)3的一階零點z1f(zz(z1)3的三階零點PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 §3.9無限遠設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域Rz內(nèi)解析1,則函z()

f(

f(z)在0

1內(nèi)解析,并可展開為以0R()

kkk

ckf(z)

1 所 k

zk此即函數(shù)f(z)展開為以zPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 若ck00即g()

ck,kkkf(z) c1cc1c1 1 2k則稱z為f(z)的可去奇點,f(k若ckm0g(k

k

ck,f(z)

1

zm

z

c1

1k

k

1 2則稱z為f(z)的m階極點,f(

c若c 0,即g()ck,那么f(z) k

k 則稱z為f(z)的本性奇點,f()不確定 PDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 在區(qū)域0z內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以z為中心的f(z)

c1k

k此即函數(shù)f(z)展開為以z0一般地,在區(qū)域R1

z

R2內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以z cf(z)k

k(z此即函數(shù)f(z)展開為以zaPDF文件使用"pdfFactoryPro"試用版本創(chuàng)建 例1f(ze1z以z解:令1則(e以0z()e1 2 f(z)e1/z11