ch質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

第三篇?jiǎng)恿W(xué)理論力學(xué)引言動(dòng)力學(xué)：研究物體的運(yùn)動(dòng)與所受力之間的關(guān)系力學(xué)模型：2.質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無(wú)限個(gè)有一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。1.質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無(wú)數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成，又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。例如：研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)；剛體作平動(dòng)時(shí),剛體質(zhì)點(diǎn)。研究?jī)?nèi)容:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題：第一類：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。綜合性問(wèn)題：已知部分力、部分運(yùn)動(dòng)，求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)；已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束力。第八章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)理論力學(xué)

§8–1慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

§8–2非慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第八章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)§8-1慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)一、動(dòng)力學(xué)基本定律（牛頓三定律）1.第一定律（慣性定律）：2.第二定律（力與加速度之間的關(guān)系定律）：3.第三定律（作用與反作用定律）：二.慣性參考系：牛頓三定律成立的參考系。1.一般工程問(wèn)題：固連于地面或相對(duì)于地面作勻速直線平動(dòng)的物體；2.人造衛(wèi)星、洲際導(dǎo)彈問(wèn)題：地心為原點(diǎn)，三軸指向三個(gè)恒星；3.天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：太陽(yáng)為中心、三軸指向三個(gè)恒星。1.矢量形式2.直角坐標(biāo)形式三.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

3.自然形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程除以上三種基本形式外,還可有極坐標(biāo)形式,柱坐標(biāo)形式等等。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問(wèn)題。

四、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題1.已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。

----求微分問(wèn)題。2.已知質(zhì)點(diǎn)上所受的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

----按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件和力的函數(shù)關(guān)系對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解，從數(shù)學(xué)角度看，是解微分方程或求積分，并確定相應(yīng)的積分常數(shù)的問(wèn)題。例：橋式起重機(jī)跑車吊掛一重為G的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為l。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。解：①選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象

②任一時(shí)刻受力分析如圖所示③任一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)分析，沿以O(shè)為圓心,l為半徑的圓弧擺動(dòng)。④列出自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微方程⑤求解未知量[注]①動(dòng)拉力Tmax由兩部分組成,一部分即物體重量G,稱為靜拉力；一部分由加速度引起，稱為附加動(dòng)拉力。

②減小繩子拉力的方法：減小跑車速度或者增加繩子長(zhǎng)度。。例：離心式轉(zhuǎn)速計(jì)工作原理如圖所示。彈性細(xì)繩ACD系住的小球質(zhì)量為m。彈性細(xì)繩的原長(zhǎng)(未受力時(shí)的長(zhǎng)度)為CD，彈性常數(shù)為k。設(shè)AB=CB=l，試求轉(zhuǎn)速計(jì)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)（）時(shí),其轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角速度ω與偏角θ的關(guān)系以及桿AB所受的力。

解：取小球A為研究對(duì)象，受力如圖b（空間匯交力系）。

小球的加速度：

細(xì)繩的彈性力F沿AC線，大小為

小球A的運(yùn)動(dòng)微分方程：即如果sinθ≠0，則由第（1)式可解得：此即桿AB所受的力，方向與S相反。再將S的值代入第（2)式，注意到三角關(guān)系，可解得：系統(tǒng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的最小角速度為（1）（2）（此時(shí)）第一類問(wèn)題解題步驟和要點(diǎn)：

①正確選擇研究對(duì)象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。

②正確進(jìn)行受力分析,畫(huà)出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。

③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。

④選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。

⑤求解未知量。列直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并對(duì)其積分運(yùn)算微分方程積分一次再積分一次解：選擇填充材料M為研究對(duì)象，受力如圖所示，M作斜拋運(yùn)動(dòng)。建立圖示坐標(biāo)系。例：煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充,為保證充填材料拋到距離為S=5米,H=1.5米的頂板A處。求(1)充填材料需有多大的初速度v0

?(2)初速與水平的夾角a0？最高點(diǎn)A處發(fā)射初速度大小與初發(fā)射角為將到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t、x=S、y=H代入運(yùn)動(dòng)方程，得例：求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在粘性介質(zhì)中自由下落的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到的阻尼力Fr=-cv，c稱為粘度系數(shù)，簡(jiǎn)稱粘度。初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在介質(zhì)表面上被無(wú)初速度釋放。解：取質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。作用其上的力有重力和介質(zhì)阻尼力，均為已知，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，屬于動(dòng)力學(xué)第二類問(wèn)題。在任意位置上，有（分離變量）積分：運(yùn)動(dòng)初始條件：（分離變量）運(yùn)動(dòng)初始條件：積分：第二類問(wèn)題解題步驟如下：①正確選擇研究對(duì)象。②正確進(jìn)行受力分析，畫(huà)出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，若為變力，則建立變力的表達(dá)式）。③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。

除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件。選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。如力是常量或是時(shí)間及速度函數(shù)時(shí)，可直接分離變量求解未知量。應(yīng)根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。如力是位置的函數(shù)，需進(jìn)行變量置換：§8-2非慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)動(dòng)參考系O’x’y’z’

相對(duì)于靜系Oxyz運(yùn)動(dòng)由牛頓第二定律

F=ma=m(ar+ae+aC)

mar=F-mae–maC

令：FIe=-mae，F(xiàn)IC=-maC，分別稱為牽連慣性力和科氏慣性力。

質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程:

質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程

mar=F–mae–maC

1.當(dāng)非慣性參考系作平動(dòng)時(shí)，

2.當(dāng)非慣性參考系作勻速直線平動(dòng)時(shí)，古典力學(xué)的相對(duì)性原理（伽利略、牛頓相對(duì)性原理）：在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部所做的任何力學(xué)試驗(yàn)，都不能確定這一系統(tǒng)是靜止的還是在作勻速直線平動(dòng)。此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程與絕對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程完全相同?？梢?jiàn)：相對(duì)于慣性參考系作勻速直線平動(dòng)的參考系都是慣性參考系3.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，4.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系靜止不動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡和相對(duì)靜止的平衡條件是不同的（質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡的平衡條件）（質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止的平衡條件）例：固定在鉛垂桿CD上的直管AB繞軸線以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，直管軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)軸成45o角，管內(nèi)有一小球由相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的起始位置到O點(diǎn)的距離為a。忽略摩擦，求小球沿直管的運(yùn)動(dòng)方程。解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，建立動(dòng)坐標(biāo)系，虛加牽連慣性力和科氏慣性力，受力如圖所示。

質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程在x’方向的投影式為非齊次微分方程x’