動量傳輸基本定律

第二章動量傳輸?shù)幕径?.1流體流動的基本特征2.2流體流動的連續(xù)性方程2.3實際流體的動量平衡微分方程2.4理想流體動量平衡微分方程2.5流體機(jī)械能平衡方程2.6流體靜壓力平衡方程2.7流速、流量的測量2.1流體流動的基本特征能量守恒定律動量守恒定律質(zhì)量守恒定律流體動力學(xué)的基礎(chǔ)（三大守恒定律）連續(xù)性方程納維爾—斯托克斯方程歐拉方程伯努力方程1流體流動的起因自然流動強(qiáng)制流動流體流動類型自然流動起因：流體密度不同，浮力強(qiáng)制流動起因：外力作用2穩(wěn)定流動與不穩(wěn)定流動流場中運(yùn)動參數(shù)不隨時間而變化的流動稱為穩(wěn)定流動。流場中運(yùn)動參數(shù)隨時間而變化的流動，稱為不穩(wěn)定流動。對于非穩(wěn)定流動，流場中速度與壓力的分布：ux=ux(x,y,z,t)

uy=uy(x,y,z,t)uz=uz(x,y,z,t)P=P(x,y,z,t)對于穩(wěn)定流動，流場中速度與壓力的分布：ux=ux(x,y,z)

uy=uy(x,y,z)uz=uz(x,y,z)P=P(x,y,z)3流場運(yùn)動描述的兩種方法

(1)流場、運(yùn)動參數(shù)的定義充滿運(yùn)動流體的空間稱為流場表示流體運(yùn)動的特征的一切物理量稱為運(yùn)動參數(shù)拉格朗日法歐拉法流場運(yùn)動描述的兩種方法（2）流場運(yùn)動描述的兩種方法A拉格朗日法研究對象：流場中某個運(yùn)動的質(zhì)點或微團(tuán)研究內(nèi)容：整個流場內(nèi)流體各個質(zhì)點的運(yùn)動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。常用于研究流體的波動和振動問題B歐拉法研究對象：相對于坐標(biāo)固定的整個流場中的任一空間點，即流場中固定的空間點研究內(nèi)容：流體質(zhì)點通過整個流場內(nèi)不同空間固定點時，運(yùn)動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律。常用于研究流體運(yùn)動時，整個流場的速度分布、壓力分布和變化規(guī)律任取一位置、體積均固定的流體微元微分衡算守恒定律運(yùn)動微分方程運(yùn)動積分方程流體的運(yùn)動規(guī)律研究思路：4跡線與流線1)跡線在流場中流體質(zhì)點運(yùn)動的軌跡線稱為跡線特點:跡線是一族曲線跡線隨質(zhì)點的不同而異,與時間無關(guān)2)流線流線是某時刻在流場中所畫的一條曲線，在這條曲線上任一點的切線方向就是該點上流體質(zhì)點的速度方向。特點:非穩(wěn)定流動時,經(jīng)過同一點的流線其空間方位與形狀隨時間不同而異

穩(wěn)定流動時,經(jīng)過同一點的流線始終不變,且流線上質(zhì)點的跡線與流線重合

流線不能相交也不能轉(zhuǎn)折zxyuaa5流管、流束及流量

1）流管及流束定義流管：在通過流場內(nèi)任一封閉周線上各點的流線構(gòu)成一個管狀表面。流束：在流管內(nèi)取一微元曲面積dA，在dA邊界上的每一點作流線，這族流線稱為流束。流束流管dAu′2）流速和流量u′dA體積流量，用V表示，m3s-1質(zhì)量流量，用m表示，kgs-1流量兩者之間的關(guān)系：V=Au′dA流量：單位時間通過任一流通截面的流體數(shù)量。流速和流量體積流速單位m/s又稱質(zhì)量通量質(zhì)量流速=m/A單位為kg/m2·s又稱平均流速流速=rum=A=ruA兩者之間的關(guān)系u==VAAvdAA6動量通量1)動量通量定義:在單位時間內(nèi),通過單位面積流體傳遞的動量。即動量通量=mu/Akg/s2·m動量通量對流動量通量粘性動量通量2）對流動量通量對流動量通量=uxux

kg/s2·m對流動量通量傳遞方向總是流體流動的方向一致,對于不可壓縮流體而言,它與流體速度的平方成正比3）粘性動量通量粘性動量通量的大小與動量梯度成正比，傳遞方向總是從高速流層傳向低速流層。即粘性動量的傳遞方向指向速度梯度的負(fù)值方向。使得計算結(jié)果中，動量通量總是大于等于零。粘性動量通量=–kg/s2·md(ux)dy對流導(dǎo)數(shù)項7幾種時間導(dǎo)數(shù)

推導(dǎo)思路：采用歐拉法，分別獲得凈流出微元體的質(zhì)量流量和微元體的質(zhì)量隨時間變化量，利用質(zhì)量守恒定律導(dǎo)出連續(xù)性方程依據(jù)質(zhì)量守恒定律，有：凈流出微元體的質(zhì)量流量微元體的質(zhì)量隨時間變化量+=02.2流體流動的連續(xù)性方程

（質(zhì)量衡算方程）

1連續(xù)性方程的微分式：

z

y

xux(ux)ux+xdxuy(uy)uy+ydy(uz)uz+zdzuz（質(zhì)量衡算方程）2.2流體流動的連續(xù)性方程[rux

+dx]dydz-ruxdydzxrux

xrux

=dxdydzyruydxdydzzruzdxdydz單位時間內(nèi)，x方向上凈輸出的質(zhì)量流量為：同理單位時間內(nèi)y、z方向上凈輸出的質(zhì)量流量分別為：在dt時間內(nèi)，微元體流體質(zhì)量的變化為：xrux

[++]dxdydzdt+=0yruyzruztrdxdydzdtxrux+++=0yruyzruztrxrux+++=0yruyzruztrxuxr[++]=0yuyzuztrxruxyruyzruz++++xux+r[++]=0yuyzuzDrDt2討論1）以上方程是可壓縮流體的連續(xù)性方程，適用于任何流體的流動規(guī)律2）對于穩(wěn)態(tài)流動、不可壓縮且均質(zhì)流體，則D/Dt=0得：xux++=0yuyzuz柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：3）若坐標(biāo)系為柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系時，可壓縮流體的連續(xù)性方程應(yīng)變?yōu)椋嚎刂企wu1A2A1u2udA–

udA+

(dV)=0A2A1Vt3管內(nèi)流動的連續(xù)性方程對于管道內(nèi)穩(wěn)定流動，/t=0，上式變?yōu)椋簎dA=udAA2A1或由穩(wěn)定流動，則若流體是不可壓縮且均質(zhì)的，對于圓形截面管道，有：

上式為管內(nèi)流動的連續(xù)性方程u1d1

=u2d222思考：如果管道有分支，則穩(wěn)定流動時的連續(xù)性方程又如何？例題1實際流體的動量平衡微分方程的導(dǎo)出：推導(dǎo)思路：采用歐拉法，分別獲得凈輸出微元體的動量、作用于微元體合力和動量累積量，利用牛頓定律、動量守恒定律導(dǎo)出動量平衡微分方程。依據(jù)牛頓定律、動量守恒定律，有：2.3實際流體的動量平衡微分方程對于穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)而言動量輸入量動量輸出量=0系統(tǒng)作用力總和+對于不穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)而言動量輸入量動量輸出量=系統(tǒng)作用力總和+動量累積量微元體動量凈輸入

z

y

xuxux(uxux)uxux+xdx以ux為準(zhǔn)微元體動量凈輸入(uzux)uxux+zdzuzux(uyux)uxux+ydyuyux–(uxux)xdxdydz以ux為準(zhǔn)，y、z方向微元體動量凈輸入：以ux為準(zhǔn)，分別通過x、y、z方向兩截面微元體動量凈輸入如下：通過x方向兩截面的微元體動量凈輸入：–(uzux)zdzdxdy–(uyux)ydydxdz以uy為準(zhǔn)，微元體動量凈輸入：分別以ux、uy、uz為準(zhǔn)微元體動量凈輸入如下：以ux為準(zhǔn)，微元體動量凈輸入：–[(uxux)x]dxdydz+(uzux)z+(uyux)y以uz為準(zhǔn)，微元體動量凈輸入：–[(uxuz)x]dxdydz+(uzuz)z+(uyuz)y–[(uxuy)x]dxdydz+(uzuy)z+(uyuy)y微元體粘性動量凈輸入以ux為準(zhǔn)微元體粘性動量凈輸入

z

y

xuxzxzx+dzx–zuxzx=zx+dzx=z22uxdz–zux+以uy為準(zhǔn)，微元體粘性動量凈輸入：以ux、uy、uz為準(zhǔn)，微元體粘性動量凈輸入：以ux為準(zhǔn)，微元體粘性動量凈輸入：以uz為準(zhǔn)，微元體粘性動量凈輸入：[2uxx2]dxdydz2uxy22uxz2++[2uzx2]dxdydz2uzy22uzz2++[2uyx2]dxdydz2uyy22uyz2++以y方向上微元體作用力總和：在x、y、z方向上微元體作用力總和以x方向上微元體作用力總和：以z方向上微元體作用力總和：（–Px+

gx)dxdydz（–Py+

gy)dxdydz（–Pz+

gz)dxdydz以y方向上微元體動量累積量：在x、y、z方向上微元體動量累積量以x方向上微元體動量累積量：以z方向上微元體動量累積量：(ux)tdxdydz(uy)tdxdydz(uz)tdxdydz在x方向上微元體動量平衡–Px+

gx[2uxx2]2uxy22uxz2++(ux)t+(uxux)x+(uzux)z+(uyux)y=1在y方向上微元體動量平衡–Py+

gy[2uyx2]2uyy22uyz2++(uy)t+(uxuy)x+(uzuy)z+(uyuy)y=2在z方向上微元體動量平衡–Pz+

gz[2uzx2]2uzy22uzz2++(uz)t+(uxuz)x+(uzuz)z+(uyuz)y=32討論1）1、2和3式組成適用于實際流體的奈維-斯托克斯方程（N-S方程）2）若適用條件為不可壓縮流體、粘度為常數(shù)且流態(tài)為層流，則有慣性力粘性力重力壓力不可壓縮流體的N-S方程:例題--------歐拉（Euler）方程2.4歐拉方程-------理想流體的N-S方程對于理想流體，粘度

=0，則不可壓縮流體的N-S方程可變?yōu)椋荷倭艘豁棧?/p>

u則，歐拉方程如下：–Px+

gx)=–Py+

gy–Pz+

gz+uxuxx+uyuxy+uzuxz+uxuyx+uyuyy+uzuyz+uxuzx+uyuzy+uzuzzuxt(uzt(uyt()=)=因此對于穩(wěn)定流動、不可壓縮的理想流體uxuzxuyuzyuzuzz=–+gz

Pz1++++uxuyxuyuyyuzuyz++uxuxxuyuxyuzuxz=–+gy

Py1=–+gx

Px12.5流體機(jī)械能平衡方程(伯努力方程)處理某些流動問題時，可以近似的視為理想流體。1）在流場中速度梯度很小時，流體雖然有粘性，但粘性力的作用不大。2）簡單流動中的阻力，可以先假定為理想流體進(jìn)行解析，而后再對流體粘性造成的能量損失給以補(bǔ)正。1理想流體的伯努力方程若流體是在重力場中穩(wěn)定流動、不可壓縮的理想流體，則：ux/t=uy/t

=

uz/t=0gx=0，

gy=0，

gz

=–g常數(shù)

那么，理想流體的歐拉方程變?yōu)椋?/p>

=–Py1=–Px1uxuzx=––gPz1uyuzyuzuzz++++uxuyxuyuyyuzuyz++uxuxxuyuxyuzuxz對于微小流束的穩(wěn)定流動，則uxdy=uydxuydz=uzdy

uzdx

=uxdz用dx，dy，dz分別乘上上式并相加，得：––gdz

dPuxdux+

uyduy

+

uzduz=dPd(u2/2)++gdz=02討論：

1）理想流體微小流束的伯努力方程積分得：P

或u2/2++gz=常數(shù)P1u12/2++gz1

=u22/2++gz2P2J/kg物理意義：微小流束單位質(zhì)量流體具有的真實能量2）緩變流的伯努力方程緩變流是指管流中流線之間的夾角很小、流線趨于平行且流線曲率很小、流線趨于直線流動狀態(tài)。工程上的大多數(shù)的管流幾乎都是直線或近似于平行，即緩變流。則得：P+gz=常數(shù)J/kg3）理想流體沿管流的伯努力方程P11u12/2++gz1

=2u22/2++gz2P2管流有效斷面上各點的速度一般不相等，因此流速按修正的平均速度進(jìn)行計算，即：2au2層流時，=2；湍流時，=1.05~1.10工程上以湍流多見，且動能u2/2項與其他機(jī)械能項相比數(shù)值較小，故可近似取＝1，于是=平均流速取決于有效斷面速度分布的不均勻程度的參數(shù)物理意義：管流束有效截面上單位質(zhì)量流體具有的平均能量u2

/2g+P/gr+z

=常數(shù)m公式中各項分別為動壓頭、靜壓頭和位壓頭，它們的總和為總壓頭或單位重量流體所具有的總機(jī)械能此公式的物理意義見P31基準(zhǔn)面z1z2P1/grP2/gru2u1u12

/2gu22

/2g總壓頭或全壓2實際流體的伯努力方程機(jī)械能衡算方程（柏努利方程）摩擦損失，正號，J/kg有效軸功率，正號，J/kg對實際流體：黏度不為0，上式修正為：單位：J/kg機(jī)械能衡算方程（柏努利方程）外加壓頭靜壓頭動壓頭位壓頭壓頭損失或修正為：u122gz1+++He=P1gz2+++Hfu222gP2g單位：m或J/N或修正為：單位Pa或J/m3

u122z1

g++P1+Heg

=

z2g

++P2+

Hfg

u2223流體機(jī)械能平衡方程的應(yīng)用應(yīng)用條件：穩(wěn)定流動、不可壓縮的實際流體解決問題：流速、流量和壓強(qiáng)測算；管路、設(shè)備設(shè)計；對爐內(nèi)氣體運(yùn)動狀況的分析等解決步驟：分析流動系統(tǒng)確定基準(zhǔn)面選取計算截面列伯努力方程計算例題2.6流體靜壓力平衡方程

1靜力學(xué)方程的導(dǎo)出流體靜力學(xué)主要研究質(zhì)量力為重力時流體平衡規(guī)律流體靜止，意味著什么？流體靜止，即流體無流動速度、可視為理想流體、無外界對流體做功因此，u=0、Hf=0、He=0變?yōu)椋簡挝籔az1

g+

P1

＝

z2g

+P2

u122z1

g++P1+Heg

=

z2g

++P2+

Hfg

u222將實際流體伯努利方程：單位Pa2靜力學(xué)方程的討論：

1）適用條件：絕對靜止、連續(xù)、均質(zhì)、不可壓縮，即適用于連通的同一種連續(xù)的不可壓縮靜止流體

2）等壓面為水平面；

3）壓力可傳遞，靜壓頭與位壓頭可相互轉(zhuǎn)換。2靜力學(xué)方程的討論：4）2.94式的幾何意義P34；能量意義P345）各量的大小與基準(zhǔn)面的位置有關(guān)；2.94式中各量的單位N/m2或Pa；例題例2-1設(shè)流場的速度分布為ux=4t-2y/（x2+y2）uy=

2x/（x2+y2）試求：（1）當(dāng)?shù)丶铀俣龋唬?）t=0時，在M（1，1）點上流體質(zhì)點的加速度。例2-1\2某二維流場的速度分布：ux=－2x－4t2,uy=2x＋2y,試證明該流體為不可壓縮流體水在穩(wěn)定態(tài)下連續(xù)流過變徑管道。已知小管管徑為50mm，大管管徑為100mm。試求當(dāng)體積流量為4×10-3m3/s時，各管段的平均流速。例2.3液體在重力作用下呈薄膜沿垂直放置的固體平板壁面向下流動，如圖所示。設(shè)液膜的流動為一維穩(wěn)態(tài)層流。試求液膜內(nèi)的速度分布、主體流速及液膜厚度。xyz自由表面固體平板例2.4已知：右圖中水槽液面至管道出口的垂直距離為6.2m，水管全長為330m，管徑為100mm4mm，整個管路系統(tǒng)壓頭損失為6mH2O，求管路中每分鐘可達(dá)到流量2211基準(zhǔn)面z1例2.5求泵的有效功率基準(zhǔn)面15m2211用離心泵將貯槽中密度1200kg/m3

的CaCl2溶液送到蒸發(fā)器中蒸發(fā)室內(nèi)，貯槽內(nèi)液面維持恒定，其上方與大氣相同。蒸發(fā)室內(nèi)操作壓強(qiáng)為-26.7kPa（表壓）。蒸發(fā)器送料口高于貯槽內(nèi)液面15m，輸送管道直徑為60mm，送料量為20m3/h，溶液流經(jīng)全部管道的壓頭損失為141.26kPa，計算離心泵的有效功率解：Ⅰ－Ⅰ~Ⅱ－Ⅱ截面如圖所示，并?、瘢窠孛鏋榛鶞?zhǔn)面，Ⅰ－Ⅰ~Ⅱ－Ⅱ截面之間的管道的阻力損失為141.26k

Pa（表壓），依題意在Ⅰ－Ⅰ~Ⅱ－Ⅱ截面之間列伯努利方程衡算： Z1＋u1

2/2g＋P1/ρg＋He=Z2＋u2

2/2g＋P2/ρg＋∑hfⅠ－Ⅱ

蒸發(fā)室CaCl2Ⅰ－ⅠⅡ－Ⅱ∵以Ⅰ－Ⅰ截面為基準(zhǔn)面，Ⅱ－Ⅱ截面取在管口內(nèi)側(cè)∴Z2

=15m，u1

=0，P1

=0（表壓），

P2

=-26.7k

Pa（表壓）u2

=Vs/[(π/4)×d2

]＝20×4/（π×3600×0.062）=1.97m/s，He=Z2＋u2

2/2g＋P2/ρg＋∑hfⅠ－Ⅱ

=15+1.972/（2×9.81）－26.7×1000/（1200×9.81）

＋141.26

×1000/（1200×9.81）

=24.93m或Ⅱ－Ⅱ截面取在管口外側(cè)，則u2

=0，∑hfⅠ－Ⅱ=141.26

×1000/（1200×9.81）＋u2

2/2gHe=Z2

＋P2/ρg＋∑hfⅠ－Ⅱ=15+1.972/（2×9.81）－26.7×1000/（1200×9.81）

＋141.26

×1000/（1200×9.81）

=24.93mN=Ne/=VsHeρg/

=20×24.93×1200×9.81/3600=1.63kW

例2.6設(shè)風(fēng)機(jī)入口吸風(fēng)管直徑d=0.3m，吸風(fēng)時測出管內(nèi)的負(fù)壓h=0.25mH2O,如圖所示，空氣的重度γ=/12mN，求不計管內(nèi)損失時的空氣流量。OO`11`22`h水在直徑均一的虹吸管內(nèi)穩(wěn)態(tài)流動，設(shè)管路的能量損失可忽略。求（1）管內(nèi)水的流速（2）管內(nèi)截面2-2`、3-3`、4-4`和5-5`處的流體壓力。已知大氣壓力為101.33Pa4`422`3