相似三角形選擇壓軸題精選

..20XX1月發(fā)哥的初中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題〔共30小題1．〔2013?XX如圖．Rt△ABC內(nèi)接于⊙O,BC為直徑,AB=4,AC=3,D是的中點,CD與AB的交點為E,則等于〔A．4B．3.5C．3D．2.82．〔2013?XX如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC于點H,過點A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC,其中正確的個數(shù)是〔A．1B．2C．3D．43．〔2013?XX直線l1∥l2∥l3,且l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3,把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置,頂點A,B,C恰好分別落在三條直線上,AC與直線l2交于點D,則線段BD的長度為〔A．B．C．D．4．〔2013?德陽如圖,在⊙O上有定點C和動點P,位于直徑AB的異側(cè),過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q,已知：⊙O半徑為,tan∠ABC=,則CQ的最大值是〔A．5B．C．D．5．〔2012?XX如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,則四邊形EFGH的周長是〔A．B．C．2D．26．〔2012?XX如圖,矩形ABCD中,E是BC的中點,連接AE,過點E作EF⊥AE交DC于點F,連接AF．設(shè)=k,下列結(jié)論：〔1△ABE∽△ECF,〔2AE平分∠BAF,〔3當(dāng)k=1時,△ABE∽△ADF,其中結(jié)論正確的是〔A．〔1〔2〔3B．〔1〔3C．〔1〔2D．〔2〔37．〔2012?XX如圖,已知點A〔4,0,O為坐標(biāo)原點,P是線段OA上任意一點〔不含端點O,A,過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點分別為B、C,射線OB與AC相交于點D．當(dāng)OD=AD=3時,這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于〔A．B．C．3D．48．〔2011?XX如圖,在菱形ABCD中,AB=BD．點E、F分別在AB、AD上,且AE=DF．連接BF與DE相交于點G,連接CG與BD相交于點H．下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=CG2；③若AF=2DF,則BG=6GF．其中正確的結(jié)論〔A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③9．〔2011?XX如圖,△ABC與△DEF均為等邊三角形,O為BC、EF的中點,則AD：BE的值為〔A．：1B．：1C．5：3D．不確定10．〔2011?XX如圖,在正方形ABCD中,點O為對角線AC的中點,過點0作射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于點P．則下列結(jié)論中：〔1圖形中全等的三角形只有兩對；〔2正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；〔3BE+BF=0A；〔4AE2+CF2=20P?OB．正確的結(jié)論有〔個．A．1B．2C．3D．411．〔2010?雙鴨山如圖所示,已知△ABC和△DCE均是等邊三角形,點B,C,E在同一條直線上,AE與BD與BD交于點O,AE與CD交于點G,AC與BD交于點F,連接OC,FG,其中正確結(jié)論的個數(shù)是〔①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．A．1個B．2個C．3個D．4個12．〔2010?雞西在銳角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE為高,F是BC的中點,連接DE、EF、FD．則以下結(jié)論中一定正確的個數(shù)有〔①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當(dāng)∠ABC=45°時,BE=DE．A．2個B．3個C．4個D．5個13．〔2009?XX已知三個邊長分別為10,6,4的正方形如圖排列〔點A,B,E,H在同一條直線上,DH交EF于R,則線段RN的值為〔A．1B．2C．2.5D．314．〔2007?XX如圖,已知?ABCD中,∠BDE=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延長線相交于G,下面結(jié)論：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正確的結(jié)論是〔A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④15．〔2006?XX如圖,O為矩形ABCD的中心,將直角三角板的直角頂點與O點重合,轉(zhuǎn)動三角板使兩直角邊始終與BC,AB相交,交點分別為M,N．如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y．則y與x的關(guān)系是〔A．B．C．y=xD．16．〔2004?威海如圖,?ABCD中,M,N為BD的三等分點,連接CM并延長交AB于E點,連接EN并延長交CD于F點,則DF：AB等于〔A．1：3B．1：4C．2：5D．3：817．〔2004?天津如圖,正△ABC內(nèi)接于⊙O,P是劣弧BC上任意一點,PA與BC交于點E,有如下結(jié)論：①PA=PB+PC；②；③PA?PE=PB?PC．其中,正確結(jié)論的個數(shù)為〔A．3個B．2個C．1個D．0個18．〔2004?天津如圖,已知等腰△ABC中,頂角∠A=36°,BD為∠ABC的平分線,則的值等于〔A．B．C．1D．19．〔2004?荊州如圖,正方形ABCD的邊長為2cm,以B為圓心,BC長為半徑畫弧交對角線BD于E點,連接CE,P是CE上任意一點,PM⊥BC,PN⊥BD,垂足分別為M、N,則PM+PN的值為〔A．cmB．1cmC．cmD．2cm20．〔2003?XX如圖,在平行四邊形ABCD中,M、N分別是邊AB、CD的中點,DB分別交AN、CM于點P、Q．下列結(jié)論：〔1DP=PQ=QB；〔2AP=CQ；〔3CQ=2MQ；〔4S△ADP=S平行四邊形ABCD．其中正確結(jié)論的個數(shù)為〔A．4B．3C．2D．121．〔2003?XX如圖,D、E是△ABC中BC邊的兩個分點,F是AC的中點,AD與EF交于O,則等于〔A．B．C．D．22．〔2013?XX二模如圖,已知在Rt△ABC中,AB=AC=2,在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG；然后取GF的中點P,連接PD、PE,在△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q,在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形…依次進(jìn)行下去,則第n個內(nèi)接正方形的邊長為〔A．B．C．D．23．〔2013?南開區(qū)一模在銳角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE為高,F是BC的中點,連接DE、EF、FD,則以下結(jié)論中一定正確的個數(shù)有〔①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形．A．0個B．1個C．2個D．3個24．〔2013?XX模擬如圖,Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D1是斜邊AB的中點,過D1作D1E1⊥AC于E1,連結(jié)BE1交CD1于D2；過D2作D2E2⊥AC于E2,連結(jié)BE2交CD1于D3；過D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此繼續(xù),可以依次得到點E4、E5、…、E2013,分別記△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面積為S1、S2、S3、…、S2013．則S2013的大小為〔A．B．C．D．25．〔2013?樊城區(qū)模擬如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E為AB上一點,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,則下列結(jié)論中正確的有〔①DE⊥EC；②∠ADE=∠BEC；③AD?BC=BE?AE；④CD=AD+BC．A．1個B．2個C．3個D．4個26．〔2012?XX模擬在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,G為AB中點,在線段DG上取點F,使FG=AG,過點F作FE⊥DG交AD于點E,連接EC交DG于點H．已知EC平分∠DEF．下列結(jié)論：①∠AFB=90°；②AF∥EC；③△EHD∽△BGF；④DH?FG=FH?DG．其中正確的是〔A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④27．〔2012?XX二模如圖,已知等腰Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=8cm,點P是線段AB上的點,點Q是線段BC延長線上的點,且AP=CQ,PQ與直線AC相交于點D．作PE⊥AC于點E,則線段DE的長度〔A．為4cmB．為5cmC．為cmD．不能確定28．〔2012?蘄春縣模擬如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AE是直徑,AD是高交⊙O于F,連接BE、CF,下列結(jié)論正確的有幾個？〔①BE=CF；②AB?AC=AD?AE；③AD?DF=BD?CD；④AD2+BD2+FD2+CD2=AE2．A．1個B．2個C．3個D．4個29．〔2012?嘉定區(qū)一模已知,那么下列等式中,不一定正確的是〔A．2x=3yB．C．D．30．〔2012?江漢區(qū)模擬已知：Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于點D,點F為邊AB的中點,EF∥CD交BC于點E,則下列結(jié)論：①AC=EF；②BC﹣AC=2CE；③EF=CE；④EF?AB=AD?BE；其中一定成立的是〔A．①②④B．③④C．①②③D．①②20XX1月發(fā)哥的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題〔共30小題1．〔2013?XX如圖．Rt△ABC內(nèi)接于⊙O,BC為直徑,AB=4,AC=3,D是的中點,CD與AB的交點為E,則等于〔A．4B．3.5C．3D．2.8考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：利用垂徑定理的推論得出DO⊥AB,AF=BF,進(jìn)而得出DF的長和△DEF∽△CEA,再利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．解答：解：連接DO,交AB于點F,∵D是的中點,∴DO⊥AB,AF=BF,∵AB=4,∴AF=BF=2,∴FO是△ABC的中位線,AC∥DO,∵BC為直徑,AB=4,AC=3,∴BC=5,∴DO=2.5,∴DF=2.5﹣1.5=1,∵AC∥DO,∴△DEF∽△CEA,∴=,∴==3．故選C．點評：此題主要考查了垂徑定理的推論以及相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)已知得出△DEF∽△CEA是解題關(guān)鍵．2．〔2013?XX如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC于點H,過點A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC,其中正確的個數(shù)是〔A．1B．2C．3D．4考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．專題：壓軸題．分析：如解答圖所示：結(jié)論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；結(jié)論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4,進(jìn)而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF；結(jié)論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；結(jié)論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．解答：解：〔1結(jié)論①正確．理由如下：∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°,∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN,∴∠5=∠6,∴AM=AE=BF．易知ADCN為正方形,△ABC為等腰直角三角形,∴AB=AC．在△ACM與△ABF中,,∴△ACM≌△ABF〔SAS,∴CM=AF；〔2結(jié)論②正確．理由如下：∵△ACM≌△ABF,∴∠2=∠4,∵∠2+∠6=90°,∴∠4+∠6=90°,∴CE⊥AF；〔3結(jié)論③正確．理由如下：證法一：∵CE⊥AF,∴∠ADC+∠AGC=180°,∴A、D、C、G四點共圓,∴∠7=∠2,∵∠2=∠4,∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°,∴△ABF∽△DAH；證法二：∵CE⊥AF,∠1=∠2,∴△ACF為等腰三角形,AC=CF,點G為AF中點．在Rt△ANF中,點G為斜邊AF中點,∴NG=AG,∴∠MNG=∠3,∴∠DAG=∠CNG．在△ADG與△NCG中,,∴△ADG≌△NCG〔SAS,∴∠7=∠1,又∵∠1=∠2=∠4,∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°,∴△ABF∽△DAH；〔4結(jié)論④正確．理由如下：證法一：∵A、D、C、G四點共圓,∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°,∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC．證法二：∵AM=AE,CE⊥AF,∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG,∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC,∴GD平分∠AGC．綜上所述,正確的結(jié)論是：①②③④,共4個．故選D．點評：本題是幾何綜合題,考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識點,有一定的難度．解答中四點共圓的證法,僅供同學(xué)們參考．3．〔2013?XX直線l1∥l2∥l3,且l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3,把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置,頂點A,B,C恰好分別落在三條直線上,AC與直線l2交于點D,則線段BD的長度為〔A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：分別過點A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF,故可得出CF及CE的長,在Rt△ACF中根據(jù)勾股定理求出AC的長,再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF,故可得出CD的長,在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理即可求出BD的長．解答：解：別過點A、B、D作AF⊥l3,BE⊥l3,DG⊥l3,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∵∠EBC+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∠ACF+∠CAF=90°,∴∠EBC=∠ACF,∠BCE=∠CAF,在△BCE與△ACF中,,∴△BCE≌△ACF〔ASA∴CF=BE=3,CE=AF=4,在Rt△ACF中,∵AF=4,CF=3,∴AC===5,∵AF⊥l3,DG⊥l3,∴△CDG∽△CAF,∴=,=,解得CD=,在Rt△BCD中,∵CD=,BC=5,∴BD===．故選A．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．4．〔2013?德陽如圖,在⊙O上有定點C和動點P,位于直徑AB的異側(cè),過點C作CP的垂線,與PB的延長線交于點Q,已知：⊙O半徑為,tan∠ABC=,則CQ的最大值是〔A．5B．C．D．考點：圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°,再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==,然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P,則可證得△ACB∽△PCQ,利用相似比得CQ=?PC=PC,PC為直徑時,PC最長,此時CQ最長,然后把PC=5代入計算即可．解答：解：∵AB為⊙O的直徑,∴AB=5,∠ACB=90°,∵tan∠ABC=,∴=,∵CP⊥CQ,∴∠PCQ=90°,而∠A=∠P,∴△ACB∽△PCQ,∴=,∴CQ=?PC=PC,當(dāng)PC最大時,CQ最大,即PC為⊙O的直徑時,CQ最大,此時CQ=×5=．故選D．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．5．〔2012?XX如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,則四邊形EFGH的周長是〔A．B．C．2D．2考點：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)矩形的對角線相等,利用勾股定理求出對角線的長度,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式表示出EF、EH的長度之和,再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形,即可得解．解答：解：在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,根據(jù)勾股定理,AC=BD===,∵EF∥AC∥HG,∴=,∵EH∥BD∥FG,∴=,∴+=+=1,∴EF+EH=AC=,∵EF∥HG,EH∥FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形,∴四邊形EFGH的周長=2〔EF+EH=2．故選D．點評：本題考查了平行線分線段成比例定理,矩形的對角線相等,勾股定理,根據(jù)平行線分線段成比例定理求出+=1是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點．6．〔2012?XX如圖,矩形ABCD中,E是BC的中點,連接AE,過點E作EF⊥AE交DC于點F,連接AF．設(shè)=k,下列結(jié)論：〔1△ABE∽△ECF,〔2AE平分∠BAF,〔3當(dāng)k=1時,△ABE∽△ADF,其中結(jié)論正確的是〔A．〔1〔2〔3B．〔1〔3C．〔1〔2D．〔2〔3考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：〔1由四邊形ABCD是矩形,可得∠B=∠C=90°,又由EF⊥AE,利用同角的余角相等,即可求得∠BAE=∠FEC,然后利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,證得△ABE∽△ECF；〔2由〔1,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,可得,又由E是BC的中點,即可得,繼而可求得tan∠BAE=tan∠EAF,即可證得AE平分∠BAF；〔3當(dāng)k=1時,可得四邊形ABCD是正方形,由〔1易求得CF：CD=1：4,繼而可求得AB：CD與BE：DF的值,可得△ABE與△ADF不相似．解答：解：〔1∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠FEC=90°,∴∠BAE=∠FEC,∴△ABE∽△ECF；故〔1正確；〔2∵△ABE∽△ECF,∴,∵E是BC的中點,即BE=EC,∴,在Rt△ABE中,tan∠BAE=,在Rt△AEF中,tan∠EAF=,∴tan∠BAE=tan∠EAF,∴∠BAE=∠EAF,∴AE平分∠BAF；故〔2正確；〔3∵當(dāng)k=1時,即=1,∴AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,∵△ABE∽△ECF,∴=2,∴CF=CD,∴DF=CD,∴AB：AD=1,BE：DF=2：3,∴△ABE與△ADF不相似；故〔3錯誤．故選C．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度較大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．〔2012?XX如圖,已知點A〔4,0,O為坐標(biāo)原點,P是線段OA上任意一點〔不含端點O,A,過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點分別為B、C,射線OB與AC相交于點D．當(dāng)OD=AD=3時,這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于〔A．B．C．3D．4考點：二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：過B作BF⊥OA于F,過D作DE⊥OA于E,過C作CM⊥OA于M,則BF+CM是這兩個二次函數(shù)的最大值之和,BF∥DE∥CM,求出AE=OE=2,DE=,設(shè)P〔2x,0,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x,推出△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,得出=,=,代入求出BF和CM,相加即可求出答案．解答：解：過B作BF⊥OA于F,過D作DE⊥OA于E,過C作CM⊥OA于M,∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,∴BF∥DE∥CM,∵OD=AD=3,DE⊥OA,∴OE=EA=OA=2,由勾股定理得：DE=,設(shè)P〔2x,0,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x,∵BF∥DE∥CM,∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,∴=,=,∵AM=PM=〔OA﹣OP=〔4﹣2x=2﹣x,即=,=,解得：BF=x,CM=﹣x,∴BF+CM=．故選A．點評：本題考查了二次函數(shù)的最值,勾股定理,等腰三角形性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生運用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理和計算的能力,題目比較好,但是有一定的難度．8．〔2011?XX如圖,在菱形ABCD中,AB=BD．點E、F分別在AB、AD上,且AE=DF．連接BF與DE相交于點G,連接CG與BD相交于點H．下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=CG2；③若AF=2DF,則BG=6GF．其中正確的結(jié)論〔A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例．專題：壓軸題．分析：①易證△ABD為等邊三角形,根據(jù)"SAS"證明△AED≌△DFB；②證明∠BGE=60°=∠BCD,從而得點B、C、D、G四點共圓,因此∠BGC=∠DGC=60°．過點C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN,所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN,易求后者的面積．③過點F作FP∥AE于P點．根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3,則FP：BE=1：6=FG：BG,即BG=6GF．解答：解：①∵ABCD為菱形,∴AB=AD．∵AB=BD,∴△ABD為等邊三角形．∴∠A=∠BDF=60°．又∵AE=DF,AD=BD,∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,即∠BGD+∠BCD=180°,∴點B、C、D、G四點共圓,∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°．∴∠BGC=∠DGC=60°．過點C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N．∴CM=CN,則△CBM≌△CDN,〔HL∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN．S四邊形CMGN=2S△CMG,∵∠CGM=60°,∴GM=CG,CM=CG,∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2．③過點F作FP∥AE于P點．∵AF=2FD,∴FP：AE=DF：DA=1：3,∵AE=DF,AB=AD,∴BE=2AE,∴FP：BE=1：6=FG：BG,即BG=6GF．故選D．點評：此題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例、不規(guī)則圖形的面積計算方法等知識點,綜合性較強(qiáng),難度較大．9．〔2011?XX如圖,△ABC與△DEF均為等邊三角形,O為BC、EF的中點,則AD：BE的值為〔A．：1B．：1C．5：3D．不確定考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：連接OA、OD,由已知可以推出OB：OA=OE：OD,推出△ODA∽△OEB,根據(jù)銳角三角函數(shù)即可推出AD：BE的值．解答：解：連接OA、OD,∵△ABC與△DEF均為等邊三角形,O為BC、EF的中點,∴AO⊥BC,DO⊥EF,∠EDO=30°,∠BAO=30°,∴OD：OE=OA：OB=：1,∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB,∴△DOA∽△EOB,∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故選A．點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì),本題的關(guān)鍵在于找到需要證相似的三角形,找到對應(yīng)邊的比即可．10．〔2011?XX如圖,在正方形ABCD中,點O為對角線AC的中點,過點0作射線OM、ON分別交AB、BC于點E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于點P．則下列結(jié)論中：〔1圖形中全等的三角形只有兩對；〔2正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；〔3BE+BF=0A；〔4AE2+CF2=20P?OB．正確的結(jié)論有〔個．A．1B．2C．3D．4考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：本題考查正方形的性質(zhì),四邊相等,四個角都是直角,對角線相等,垂直且互相平分,且平分每一組對角．解答：解：〔1錯誤．△ABC≌△ADC,△AOB≌△COB,△AOE≌△BOF,△BOE≌△COF；〔2正確．∵△AOE≌△BOF,∴四邊形BEOF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積；〔3正確．BE+BF=AB=OA；〔4正確．AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=〔OF2=2OF2,在△OPF與△OFB中,∠OBF=∠OFP=45°,∠POF=∠FOB,∴△OPF∽△OFB,OP：OF=OF：OB,OF2=OP?OB,AE2+CF2=20P?OB．另法：AE2+CF2=BF2+BE2=EF2=〔PF+PE2=PE2+PF2+2PE?PF．作OM⊥EF,M為垂足．∵OE=OF,∴OM=ME=MF．PE2+PF2=〔ME﹣MP2+〔MF+MP2=2〔MO2+MP2=2OP2．∵O、E、B、F四點共圓,∴PE?PF=OP?PB,∴AE2+CF2=2OP2+2OP?PB=2OP〔OP+PB=2OP?OB．故選C．點評：本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),以及勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)等．11．〔2010?雙鴨山如圖所示,已知△ABC和△DCE均是等邊三角形,點B,C,E在同一條直線上,AE與BD與BD交于點O,AE與CD交于點G,AC與BD交于點F,連接OC,FG,其中正確結(jié)論的個數(shù)是〔①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．A．1個B．2個C．3個D．4個考點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：根據(jù)題意,結(jié)合圖形,對選項一一求證,判定正確選項．解答：解：〔1△ABC和△DCE均是等邊三角形,點B,C,E在同一條直線上,∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACE=∠BCD=120°,在△BCD和△ACE中∵,∴△BCD≌△ACE∴AE=BD,故結(jié)論①正確；〔2∵△BCD≌△ECA,∴∠GAC=∠FBC,又∵∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC∴△ACG≌△BCF,∴AG=BF,故結(jié)論②正確；〔3∠DCE=∠ABC=60°,∴DC∥AB,∴,∵∠ACB=∠DEC=60°,∴DE∥AC,∴=,∴,∴FG∥BE,故結(jié)論③正確；〔4過C作CN⊥AE于N,CZ⊥BD于Z,則∠CNE=∠CZD=90°,∵△ACE≌△BCD,∴∠CDZ=∠CEN,在△CDZ和△CEN中∵,∴△CDZ≌△CEN,∴CZ=CN,∵CN⊥AE,CZ⊥BD,∴∠BOC=∠EOC,故結(jié)論④正確．綜上所述,四個結(jié)論均正確,故本題選D．點評：本題綜合考查了全等、圓、相似、特殊三角形等重要幾何知識點,有一定難度,需要學(xué)生將相關(guān)知識點融會貫通,綜合運用．12．〔2010?雞西在銳角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE為高,F是BC的中點,連接DE、EF、FD．則以下結(jié)論中一定正確的個數(shù)有〔①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當(dāng)∠ABC=45°時,BE=DE．A．2個B．3個C．4個D．5個考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．專題：綜合題；壓軸題．分析：①EF、FD是直角三角形斜邊上的中線,都等于BC的一半；②可證△ABD∽△ACE；③證明∠EFD=60°；④假設(shè)結(jié)論成立,在BC上取滿足條件的點H,證明其存在性；⑤當(dāng)∠ABC=45°時,EF不一定是BC邊的高．解答：解：①∵BD、CE為高,∴△BEC、△BDC是直角三角形．∵F是BC的中點,∴EF=DF=BC．故正確；②∵∠ADB=∠AEC=90°,∠A公共,∴△ABD∽△ACE,得AD：AB=AE：AC．故正確；③∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°．∵F是BC的中點,∴EF=BF,DF=CF．∴∠ABF=∠BEF,∠ACB=∠CDF．∴∠BFE+∠CFD=120°,∠EFD=60°．又EF=FD,∴△DEF是等邊三角形．故正確；④若BE+CD=BC,則可在BC上截取BH=BE,則HC=CD．∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°．又∵BH=BE,HC=CD,∴∠BHE+∠CHD=120°,∠EHD=60°．所以存在滿足條件的點,假設(shè)成立,但一般情況不一定成立,故錯誤；⑤當(dāng)∠ABC=45°時,在Rt△BCE中,BC=BE,在Rt△ABD中,AB=2AD,由B、C、D、E四點共圓可知,△ADE∽△ABC,∴==,即=,∴BE=DE,故正確；故此題選C．點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),綜合性很強(qiáng)．13．〔2009?XX已知三個邊長分別為10,6,4的正方形如圖排列〔點A,B,E,H在同一條直線上,DH交EF于R,則線段RN的值為〔A．1B．2C．2.5D．3考點：正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：求RN的長,需先求出RE的值,易證得△HRE∽△HDA,根據(jù)得出的對應(yīng)成比例線段即可求出RE的長,由此得解．解答：解：∵RE∥AD,∴△HRE∽△HDA；∴；∵EH=4,AD=10,AH=AB+BE+EH=20,∴RE===2；∴RN=EN﹣ER=2；故選B．點評：此題主要考查的是正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．14．〔2007?XX如圖,已知?ABCD中,∠BDE=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延長線相交于G,下面結(jié)論：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正確的結(jié)論是〔A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個結(jié)論進(jìn)行分析從而得到最后答案．解答：解：∵∠BDE=45°,DE⊥BC∴DB=BE,BE=DE∵DE⊥BC,BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C,BH=CD∵?ABCD中∴∠C=∠A,AB=CD∴∠A=∠BHE,AB=BH∴正確的有①②③故選B．點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等,且夾角相等,那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等,那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等．15．〔2006?XX如圖,O為矩形ABCD的中心,將直角三角板的直角頂點與O點重合,轉(zhuǎn)動三角板使兩直角邊始終與BC,AB相交,交點分別為M,N．如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y．則y與x的關(guān)系是〔A．B．C．y=xD．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式；矩形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)矩形的性質(zhì),及相似三角形的性質(zhì)得出y與x的關(guān)系．本題通過證明△OEN與△OFM相似得出．解答：解：作OF⊥BC,OE⊥AB,則有∠OEN=∠OFM=90度．∵∠EOF=90度,∴∠MOF=∠EOF﹣∠EOM=90°﹣∠EOM,∵∠NOE=∠NOM﹣∠EOM=90°﹣∠EOM,∴∠MOF=∠NOE,∴△OEN與△OFM相似．∴OE：OF=ON：OM,∴=,∴y=x．故選D．點評：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似得到相應(yīng)的等量關(guān)系．注意利用矩形的一些性質(zhì)．16．〔2004?威海如圖,?ABCD中,M,N為BD的三等分點,連接CM并延長交AB于E點,連接EN并延長交CD于F點,則DF：AB等于〔A．1：3B．1：4C．2：5D．3：8考點：平行線分線段成比例；平行四邊形的性質(zhì)．分析：由題意可得DN=NM=MB,據(jù)此可得DF：BE=DN：NB=1：2,再根據(jù)BE：DC=BM：MD=1：2,AB=DC,故可得出DF：AB的值．解答：解：由題意可得DN=NM=MB,△DFN∽△BEN,△DMC∽△BME,∴DF：BE=DN：NB=1：2,BE：DC=BM：MD=1：2,又∵AB=DC,∴可得DF：AB=1：4．故選B．點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),兩相似三角形對應(yīng)線段成比例,要注意比例線段的應(yīng)用,難度適中．17．〔2004?天津如圖,正△ABC內(nèi)接于⊙O,P是劣弧BC上任意一點,PA與BC交于點E,有如下結(jié)論：①PA=PB+PC；②；③PA?PE=PB?PC．其中,正確結(jié)論的個數(shù)為〔A．3個B．2個C．1個D．0個考點：等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：根據(jù)題意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD,有PA=DB=PB+PD=PB+PC正確．同時可得：②錯誤,同理易得△PBE∽△PAC,故有PA?PE=PB?PC；③正確．解答：解：延長BP到D,使PD=PC,連接CD,可得∠CPD=∠BAC=60°,則△PCD為等邊三角形,∵△ABC為正三角形,∴BC=AC∵∠PBC=∠CAP,∠CPA=∠CDB,∴△APC≌△BDC〔AAS．∴PA=DB=PB+PD=PB+PC,故①正確；由〔1知△PBE∽△PAC,則=,=,+=+≠1,∴②錯誤；∵∠CAP=∠EBP,∠BPE=∠CPA∴△PBE∽△PAC∴∴PA?PE=PB?PC,故③正確；故選B．點評：本題考查等邊三角形的性質(zhì)與運用,其三邊相等,三個內(nèi)角相等,均為60°．18．〔2004?天津如圖,已知等腰△ABC中,頂角∠A=36°,BD為∠ABC的平分線,則的值等于〔A．B．C．1D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；換元法解分式方程．專題：壓軸題．分析：由題可知△ABC∽△BDC,然后根據(jù)相似比求解．解答：解：∵等腰△ABC中,頂角∠A=36°∴∠ABC=72°又∵BD是∠ABC的角平分線∴∠ABD=∠DBC=36°=∠A又∵∠C=∠C∴△ABC∽△BDC∴設(shè)AD=x,AB=y,∵∠A=∠ABD,∴BD=AD,則BC=BD=AD=x,CD=y﹣x∴,設(shè)=k,則上式可以變化為﹣1=k解得：k=,則的值等于．故選B．點評：本題根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比,把問題轉(zhuǎn)化為方程問題．19．〔2004?荊州如圖,正方形ABCD的邊長為2cm,以B為圓心,BC長為半徑畫弧交對角線BD于E點,連接CE,P是CE上任意一點,PM⊥BC,PN⊥BD,垂足分別為M、N,則PM+PN的值為〔A．cmB．1cmC．cmD．2cm考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；正方形的性質(zhì)．分析：連接BP,做EH⊥BC于H點,根據(jù)題意可得BE=BC=2,EH∥DC,即可推出EH的長度,結(jié)合圖形可知S△EBP+S△BPC=S△BEC,寫出表達(dá)式,即可得PM+PN．解答：解：連接BP,作EH⊥BC于H點,∵正方形ABCD的邊長為2cm,BE=CE,∴BE=CE=DC=2,DB=2,∵EH∥DC,∴△BHE∽△BCD,∴BE：BD=EH：CD,∴EH=,∵S△EBP+S△BPC=S△BEC,∴,∴PM+PN=．故選擇A．點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的面積公式、相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵△BHE∽△BCD、求出EH的長度．20．〔2003?XX如圖,在平行四邊形ABCD中,M、N分別是邊AB、CD的中點,DB分別交AN、CM于點P、Q．下列結(jié)論：〔1DP=PQ=QB；〔2AP=CQ；〔3CQ=2MQ；〔4S△ADP=S平行四邊形ABCD．其中正確結(jié)論的個數(shù)為〔A．4B．3C．2D．1考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．分析：平行四邊形ABCD中,M、N分別是邊AB、CD的中點,易證△ADN≌△CBM,AN∥CM,根據(jù)M是AB的中點,因而BQ=PQ,同理DP=PQ,因而DP=PQ=QB；同理易證△APD≌△CBQ,則AP=CQ；根據(jù)AB∥CD,△BMQ∽△DCQ,==2,CQ=2MQ；根據(jù)DP=PQ=QB,AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3,因而S△ADP=S平行四邊形ABCD．解答：解：平行四邊形ABCD中,M、N分別是邊AB、CD的中點,∴DN=MB,∠MBC=∠NDA,AD=BC,∴△ADN≌△CBM,∴∠DNA=CMB,∵AB∥CD,∴∠DNA=∠NAM,∴∠NAM=∠CMB,∴AN∥CM,∵M(jìn)是AB的中點,∴BQ=PQ,同理DP=PQ,因而DP=PQ=QB,同理易證△APD≌△CBQ,則AP=CQ,∵AB∥CD,∴△BMQ∽△DCQ,∴==2,∴CQ=2MQ,∵DP=PQ=QB,∴AN∥CM得到△ADP與平行四邊形ABCD中AD邊上的高的比是1：3,∴S△ADP=S平行四邊形ABCD,∴正確結(jié)論的個數(shù)為：〔1DP=PQ=QB；〔2AP=CQ；〔3CQ=2MQ．故選B．點評：本題考查的是利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等來解決有關(guān)線段相等的證明．21．〔2003?XX如圖,D、E是△ABC中BC邊的兩個分點,F是AC的中點,AD與EF交于O,則等于〔A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；平行線分線段成比例．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：過點F作FH∥BC交AD于G,構(gòu)建平行線,然后可以得到比例線段．解答：解：過點F作FH∥BC交AD于G．∵FH∥BC∴△AFG∽△ACD∵F是AC的中點．∴==又∵D、E是BC的分點．∴CD=DE∴=又∵FH∥BC∴△GOF∽△DOE∴==．故選A．點評：此題運用了平行線分線段成比例定理,還用到了相似三角形的判定和性質(zhì)．22．〔2013?XX二模如圖,已知在Rt△ABC中,AB=AC=2,在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG；然后取GF的中點P,連接PD、PE,在△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q,在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形…依次進(jìn)行下去,則第n個內(nèi)接正方形的邊長為〔A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：規(guī)律型．分析：首先根據(jù)勾股定理得出BC的長,進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出DE的長,再利用銳角三角函數(shù)的關(guān)系得出==,即可得出正方形邊長之間的變化規(guī)律,得出答案即可．解答：解：∵在Rt△ABC中,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°,BC==2,∵在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG；∴EF=EC=DG=BD,∴DE=BC,∴DE=,∵取GF的中點P,連接PD、PE,在△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q,在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形…依次進(jìn)行下去,∴==,∴HI=DE=〔2﹣1×,則第n個內(nèi)接正方形的邊長為：×〔n﹣1．故選：B．點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及數(shù)字變化規(guī)律和勾股定理等知識,根據(jù)已知得出正方形邊長的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．23．〔2013?南開區(qū)一模在銳角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE為高,F是BC的中點,連接DE、EF、FD,則以下結(jié)論中一定正確的個數(shù)有〔①EF=FD；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形．A．0個B．1個C．2個D．3個考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．分析：①EF、FD是直角三角形斜邊上的中線,都等于BC的一半；②可證△ABD∽△ACE；③證明∠EFD=60°．解答：解：①∵BD、CE為高,∴△BEC、△BDC是直角三角形．∵F是BC的中點,∴EF=DF=BC．故此選項正確；②∵∠ADB=∠AEC=90°,∠A公共,∴△ABD∽△ACE,得AD：AB=AE：AC．故此選項正確；③∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°．∵F是BC的中點,∴EF=BF,DF=CF．∴∠ABF=∠BEF,∠ACB=∠CDF．∴∠BFE+∠CFD=120°,∠EFD=60°．又∵EF=FD,∴△DEF是等邊三角形．故此選項正確．故正確的有3個．故選：D．點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、銳角三角函數(shù)的定義,熟練利用相關(guān)性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．24．〔2013?XX模擬如圖,Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,D1是斜邊AB的中點,過D1作D1E1⊥AC于E1,連結(jié)BE1交CD1于D2；過D2作D2E2⊥AC于E2,連結(jié)BE2交CD1于D3；過D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此繼續(xù),可以依次得到點E4、E5、…、E2013,分別記△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面積為S1、S2、S3、…、S2013．則S2013的大小為〔A．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：規(guī)律型．分析：首先由Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,求得△ABC的面積,然后由D1是斜邊AB的中點,求得S1的值,繼而求得S2、S3、S4的值,即可得到規(guī)律：Sn=S△ABC；繼而求得答案．解答：解：∵Rt△ABC中,BC=,∠ACB=90°,∠A=30°,∴AC==BC=6,∴S△ABC=AC?BC=6,∵D1E1⊥AC,∴D1E1∥BC,∴△BD1E1與△CD1E1同底同高,面積相等,∵D1是斜邊AB的中點,∴D1E1=BC,CE1=AC,∴S1=BC?CE1=BC×AC=×AC?BC=S△ABC；∴在△ACB中,D2為其重心,∴D2E1=BE1,∴D2E2=BC,CE2=AC,S2=××AC?BC=S△ABC,∴D3E3=BC,CE2=AC,S3=S△ABC…；∴Sn=S△ABC；∴S2013=×6=．故選C．點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大,注意得到規(guī)律Sn=S△ABC是解此題的關(guān)鍵．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．〔2013?樊城區(qū)模擬如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E為AB上一點,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,則下列結(jié)論中正確的有〔①DE⊥EC；②∠ADE=∠BEC；③AD?BC=BE?AE；④CD=AD+BC．A．1個B．2個C．3個D．4個考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；直角梯形．分析：①運用角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì),易得到∠ADC+∠BCD=90°,再通過三角形的內(nèi)角和為180°,求得∠CED=90°,問題得證；②先由平行線的性質(zhì)得出∠A=180°﹣∠B=90°,再根據(jù)同角的余角相等即可證明∠ADE=∠BEC；③先根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△ADE∽△BEC,再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可證得AD?BC=BE?AE；④過E作EF⊥CD于點F．通過角角邊定理證得△AED≌△FED,△BCE≌△FCE,再利用全等三角形的性質(zhì)證得BC=FC,AD=FD．問題得解．解答：解：①∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,∴∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠BCE,∴∠DCE+∠CDE=90°,∴DE⊥EC；故本選項正確；②∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠ADE+∠AED=90°．由①知∠DEC=90°,∴∠BEC+∠AED=90°,∴∠ADE=∠BEC；故本選項正確；③在△ADE與△BEC中,,∴△ADE∽△BEC,∴=,∴AD?BC=BE?AE；故本選項正確；④過E作EF⊥CD于點F,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE．在△AED與△FED中,,∴△AED≌△FED〔AAS,∴AD=FD,同理,△BCE≌Rt△FCE,∴BC=FC,又∵CF+FD=BC,∴AD+BC=DC,即CD=AD+BC；故本選項正確．故選D．點評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性質(zhì)定理,做到靈活運用．26．〔2012?XX模擬在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,G為AB中點,在線段DG上取點F,使FG=AG,過點F作FE⊥DG交AD于點E,連接EC交DG于點H．已知EC平分∠DEF．下列結(jié)論：①∠AFB=90°；②AF∥EC；③△EHD∽△BGF；④DH?FG=FH?DG．其中正確的是〔A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．專題：計算題；證明題；壓軸題．分析：由G為AB的中點,得到AG=BG,再由FG=AG,得到FG為AB的一半,根據(jù)三角形中一邊上的中線等于這邊的一半,可得出這邊所對的角為直角,即∠AFB=90°,得到選項①正確；由EF垂直于FG,EA垂直于AG,得到一對直角相等,再由FG=AG,利用等邊對等角得到一對角相等,兩等式相減可得出∠EFA=∠EAF,由EC為角平分線得到一對角相等,再由∠DEF為三角形AEF的外角,利用外角的性質(zhì)及等量代換可得出一對內(nèi)錯角相等,利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可得出AF與EC平行,故選項②正確；由FG=BG得到三角形BFG為等腰三角形,而三角形DEH不一定為等腰三角形,故兩三角形不一定相似,選項③錯誤；由AF與EC平行,利用平行得比例,得到DH：HF=DE：AE,而AE=EF,等量代換得到DH：HF=DE：EF,再由一對直角相等及公共角,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形DEF與三角形DAG相似,由相似得比例得到DE：EF=DG：AG,而AG=FG,等量代換可得出DE：EF=DG：FG,等量代換變形可得出選項④正確,綜上,得到所有正確的選項為①②④．解答：解：∵G為AB的中點,∴AG=BG,又FG=AG,∴FG=AG=BG,即FG=AB,∴∠AFB=90°,故選項①正確；∵FG=AG,∴∠GFA=∠GAF,又EF⊥FD,∴∠EFG=∠EAG=90°,∴∠EFG﹣∠GFA=∠EAG﹣∠GAF,即∠EFA=∠EAF,又EC為∠DEF的平分線,∴∠DEC=∠FEC,∵∠DEF為△EAF的外角,∴∠DEF=∠DEC+∠FEC=2∠FEC=∠EFA+∠EAF=2∠EFA,∴∠FEC=∠EFA,∴AF∥EC,故選項②正確；而△EHD與△BGF不一定相似,故選項③錯誤；∵AF∥EC,∴=,∵∠EFD=∠GAD=90°,∠EDF=∠GDA,∴△EFD∽△GAD,∴=,∵∠EFA=∠EAF,∴AE=EF,又AG=FG,∴=,∴=,即DH?FG=FH?DG,故選項④正確,綜上,正確的選項有①②④．故選B點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),以及直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的逆定理,熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．27．〔2012?XX二模如圖,已知等腰Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=8cm,點P是線段AB上的點,點Q是線段BC延長線上的點,且AP=CQ,PQ與直線AC相交于點D．作PE⊥AC于點E,則線段DE的長度〔A