數(shù)學(xué)建模第二章

第二章數(shù)學(xué)建?；仡檾?shù)學(xué)模型：

通過抽象和化簡，使用數(shù)學(xué)語言，

對實際問題的一個近似描述，以便于人們更深刻地認(rèn)識所研究的對象。數(shù)學(xué)模型的特點：

實踐性；應(yīng)用性；綜合性。數(shù)學(xué)建模

(Mathematicalmodelling)

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并"解決"實際問題的路徑。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本步驟：識別問題：什么是要探究的問題？要將不同學(xué)科對問題的語言陳述用數(shù)學(xué)方式表達(dá)。做出假設(shè)：抓住主要因素，降低問題的復(fù)雜性，確定所考慮到的因素之間的關(guān)系。這包括引入?yún)⒘?、自變量、因變量。?gòu)建模型：盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具。主要的方法有機(jī)理分析，數(shù)據(jù)分析和類比仿真。求解或解釋模型：結(jié)合問題的背景，利用計算機(jī)，進(jìn)行數(shù)學(xué)的推理、計算、歸納、分析。驗證模型：用相應(yīng)學(xué)科的語言解釋模型的數(shù)學(xué)結(jié)果。注意：它是否解決或解釋了提出的問題？它的適用范圍有多大？用實際數(shù)據(jù)檢驗該模型。改進(jìn)模型：分析在假設(shè)變動情形下模型結(jié)果的變化，盡量減少假設(shè)，推廣到更一般情形。數(shù)學(xué)建模流程圖例5：人員疏散建模分析意外事件發(fā)生時建筑物內(nèi)的人員疏散所用的時間。假設(shè)1.單排教室，直走道，一個出口2.人員撤離時,單行、有序、間隔均勻、勻速地撤出3.忽略列隊的時間和第一個人到達(dá)教室門口的時間參數(shù)人數(shù)nk,教室距離Lk,門寬D.速度v，間隔d，疏散時間Tkn1＋1n2＋1n3＋1L1L2L3模型T1=(n1d+L1)/vT2=(n2d+L1+L2+D

)/vT12=(n2d+L1+L2+D

)/v,(L2+D)≥(n1+1)d

[(n1+n2+1)d+L1]/v,(L2+D)＜(n1+1)d

討論1.模型分析：T=(nd+L)/v,v增,則T減;d增,則T增.

合理2.多行行進(jìn)3.d減,則T減.令d=0,則有T=L/v。

疏散時間與人數(shù)無關(guān)!

假設(shè)中忽略了人體的厚度!!修改假設(shè)1.單排教室，直走道，一個出口。2.人員撤離時,單行、有序、間隔均勻、勻速地撤出。3.忽略列隊的時間和第一個人到達(dá)教室門口的時間。4.人體厚度相同w繼續(xù)討論1.T=(nd+L)/v,v增,則T減;d增,則T增.2.多行行進(jìn)3.令d=0,則有T=L/v,疏散時間與人數(shù)無關(guān)!

假設(shè)中忽略了人體的厚度!!4.考慮厚度的影響T=(n(d+w)+L)/v,若v→v*,d=0,則T*=(nw+L)/v*

最短

合理嗎？繼續(xù)修改假設(shè)1.單排教室，直走道，一個出口。

2.人員撤離時,單行、有序、間隔均勻、勻速地撤出。3.忽略列隊的時間和第一個人到達(dá)教室門口的時間。4.

人體厚度相同5.速度與密度有關(guān)v=v（d）模型T=（nd+L)/v(d),其中v=v(d)應(yīng)滿足d增,則v增;若d→∞,則v=v*.若d=0,則v=0.這時存在唯一的間隔d*和相應(yīng)的速度v*,使得疏散的時間最短？

V=ad/(b+d)=7.83d/(75.60+d)例6.生豬飼養(yǎng)

一頭重量是100kg的豬，在上一周每天增重約2kg。五天前售價為7.8元/kg，但現(xiàn)在豬價下降到7.5元/kg，飼料每天需花費7.1元。前期育肥的投入大約500元。求出售豬的最佳時間。目標(biāo)（求什么）？實現(xiàn)目標(biāo)的關(guān)鍵？有關(guān)的因素？假設(shè)

1.出售前，豬每天增重相同。2.豬的售價每天降低的數(shù)量相同

3.用于豬飼料的花費每天不變4.豬在飼養(yǎng)和出售期間內(nèi)不再有其他的花費

5.豬不在飼養(yǎng)期間生病或死去變量和參量：飼養(yǎng)時間t(天),豬的重量w(t)(kg),售價p(t)元售豬所獲得的總收益R(t)(元)，飼養(yǎng)的總花費C(t)(元)，最終獲得的凈收益P(t)(元)。豬的現(xiàn)價p0(元/kg),售價日減少量r(元)，豬的初重w0(kg)，豬的日增重量g(kg)，前期投入k0(元)，每天飼料的花費k(元)。

模型：重量w(t)=w0+gt,單價p(t)=p0–rt,總花費C(t)=k0+kt,總收益R(t)=p(t)w(t)凈收益的模型P=R(t)–C(t)=(p0-rt)(w0+gt)-(k0+kt)參數(shù)估計w0=100kg,g=2kg,p0=7.5元,r=(7.8-7.5)/5=0.06元,k=7.1元P(t)=R(t)–C(t)=(7.5－0.06t)(100+2t)–(500+7.1t)P(t)=250+1.9t–0.12t2.

問題：求售豬的時間使凈收益最高令

P’(t)=0

則有

1.9－2×0.12t=0得

t=7.9P(7.9)=250+1.9×7.9－0.12×7.92=257.52結(jié)論：飼養(yǎng)7.9天，約為8天后出售,凈收益最高為257.52元結(jié)論可靠嗎？靈敏度分析

----結(jié)論對參數(shù)的敏感程度。

結(jié)論（最佳售豬時間，凈收益）所依賴的參數(shù)：

豬的初始重量w0，

豬的現(xiàn)實價格p0，

豬的飼養(yǎng)花費k，

豬重的增加速率g，

價格降低的速率r。分析1.參數(shù)r,g的變化對售豬時間t的影響

價格變化率r對售豬時間t的影響.

價格

p(t)=7.5–rt,

凈收益

P(t)=(7.5-rt)(100+2t)-(500+7.1t)

最大值點

t=(7.9-100r)/(4r)r0.0570.05940.060.06060.063t9.748.257.929.596.24

%234.170-4.15-19.8靈敏度定義定義變量t對參數(shù)r的靈敏度：如果r改變了△r，則的相對改變量為△r/r。導(dǎo)致t改變量△t，相對改變量為△t/t令△r→0，于是兩個相對改變量的比值有極限。稱這個極限值為t對r的靈敏度，記為S(t,r)。S(t,r)=dt/drr/t|r=0.06=-4.16意義：價格的日減少金額降低1%，將導(dǎo)致售豬的時間延長4.16%類似地，可分析豬的日增重g，對售豬時間的影響。增重率g對售豬時間t的影響.

重量

w(t)=100+gt

凈收益

P(t)=(7.5-0.06t)(100+gt)-(500+7.1t)

最大值點t=(7.5g–13.1)/(0.12g)

g1.91.9822.022.1t5.047.377.928.4610.51%-36.6-6.9406.8232.7r,g的變化對售豬的時間的影響是靈敏的2.參數(shù)r,g的變化對凈收益P的影響

固定r=0.06，令g=1.9和2.1，可得出售時間t為5.04和10.51。分別代入模型P(t)=(7.5-0.06t)(100+gt)-(500+7.1t)可得最優(yōu)凈收益為252.9，263.9與原來的凈收益257.52只相差約5元相對改變了1.8%和2.5%

固定g=2，令r=.057和.063，可得出售時間t為9.74和6.24。分別代入模型P(t)=(7.5-rt)(100+2t)-(500+7.1t)可得最優(yōu)凈收益為260.6，256.97與原來的凈收益257.52只相差約3元相對改變了1.2%和2.1%S(P,r)=-0.275;S(P,g)=0.432;意義：兩個參數(shù)每改變1%，僅使得凈收益值變化257.52*0.275%=0.7元，或者257.52*0.432%=1.11元凈收益值P關(guān)于參數(shù)r,g的變化是穩(wěn)健的.3.線性變化的假設(shè)對模型的影響

關(guān)于豬的重量增加和價格降低是線性函數(shù)的假設(shè)不總是成立的。以這些數(shù)據(jù)（w0=100，w’=2，p0=7.5，p’=0.06）為依據(jù)確定何時售出時，要注意到在未來的幾周內(nèi)w’和p’可能不會保持常數(shù)，因此w,p也不會是時間的線性函數(shù)。模型也會發(fā)生變化，有P(t)=w(t)p(t)-(k0+7.1t)這時，凈收益的增長率P’=w’p+wp’-7.1其中w’p+wp’代表售豬總收益的增長率。第一項表示單位時間由于豬增重而增加的收益第二項表示單位時間因價格下降而損失的價值模型告訴我們，只要售豬的總收益比飼料的費用增長快，就應(yīng)暫不賣出，繼續(xù)飼養(yǎng)。另一方面，只要時間不長，在這段時期內(nèi)w’和p’的變化就不會太大。由于假設(shè)它們是線性的而導(dǎo)致的誤差就不會太大這時，按照前面的數(shù)據(jù)所得到的8天出售的結(jié)果對凈收益值P來說也是穩(wěn)健的。不難算出，在5天到13天之間出售的凈收益的數(shù)值都在255元之上，與最優(yōu)的收益只損失了不到2元。

4.持續(xù)飼養(yǎng)8天的后果在今后的幾天內(nèi)，如果豬的增重量降低10%或者出售價格增加了10%最佳出售時間將會提前，在第8天出售時凈收益的損失量也是穩(wěn)健的，不會超過1元結(jié)論我們現(xiàn)在能說的只是至少要等8天再出售對較小的p’（接近0），模型建議我們等較長的時間再出售。但我們的模型對較長的時間不再有效。因此，解決這個問題的最好的方法是將豬先飼養(yǎng)一周的時間，然后重新估計w0,w’,p0和p’，再用模型重新計算。1.模型對參數(shù)的靈敏度分析

----結(jié)論對參數(shù)的敏感程度。結(jié)論（最佳售豬時間t）所依賴的參數(shù)：

豬的初始重量w0，

豬的現(xiàn)實價格p0，

豬的飼養(yǎng)花費k，前期投入花費k0，

豬重的增加速率g，

價格降低的速率r。結(jié)論（最大收益P）所依賴的參數(shù)？2.模型的穩(wěn)健性一個數(shù)學(xué)模型稱為是穩(wěn)健的，是指即使這個模型不完全精確：假設(shè)不完全切合實際、答案僅僅是某種程度的近似，但其結(jié)果仍是可信的、可用的。雖然數(shù)學(xué)模型力求完美，但這是不可能達(dá)到的。一個更確切的說法是數(shù)學(xué)模型力求接近完美。因此，在數(shù)學(xué)模型問題中關(guān)于穩(wěn)健性的討論是很有必要的。假設(shè)對模型的影響關(guān)于豬的重量增加和價格降低是線性函數(shù)的假設(shè)不總是成立的。線性變化的假設(shè)對模型的影響。得出結(jié)論對最終目標(biāo)的影響出售時間對凈收益的影響。持續(xù)飼養(yǎng)8天的后果問題1.在售豬問題中，對每天的飼養(yǎng)花費做靈敏性分析，分別考慮飼養(yǎng)花費對最佳售豬時間和相應(yīng)收益的影響。如果有新的飼養(yǎng)方式，每天的飼養(yǎng)花費為8元，會使豬按2.2公斤/天增重，那么是否值得改變飼養(yǎng)方式？求出使飼養(yǎng)方式值得改變的最小的增重率。問題:你能想到什么?b=106

a=119目前市場上銷售一種“雷達(dá)牌”蚊香，每盤蚊香如左圖所示，圖中標(biāo)有a，b數(shù)值(單位：毫米)，使用時拆成兩片，如右圖所示．經(jīng)過實驗發(fā)現(xiàn)，該蚊香的燃燒速度約為每小時120毫米．請用近似的方法回答下列問題．(1)每一片蚊香大約可以燃燒多長時間；(2)根據(jù)市場需求請設(shè)計持續(xù)燃燒時間分別為4小時、8小時、10小時的蚊香，蚊香燃燒速度不變．分別計算出它們的a值．討論題研究停車場的照明設(shè)施。在城市規(guī)劃中，合理的