上海市長(zhǎng)寧第二中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

上海市長(zhǎng)寧第二中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(2﹣t，2t﹣2)，點(diǎn)Q(﹣2，1)，直線l：．若對(duì)任意的tR，點(diǎn)P到直線l的距離為定值，則點(diǎn)Q關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為A.(0，2) B.(2，3) C.(，) D.(，3)參考答案：C【分析】先求出點(diǎn)P的軌跡和直線l的方程，再求點(diǎn)Q關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),所以所以點(diǎn)P的軌跡方程為2x+y-2=0.對(duì)任意的tR，點(diǎn)P到直線l的距離為定值，所以直線l的方程為2x+y=0.設(shè)點(diǎn)點(diǎn)Q關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查點(diǎn)線點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2.把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份

之和，則最小1份是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)冪函數(shù)的解析式是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．；B.；C.；D.參考答案：B5.若函數(shù)，則的值為

（）A．5

B．－1C．－7

D．2參考答案：D6.（5分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角為（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°參考答案：D考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角．專題： 計(jì)算題．分析： 連接B1G，EG，先利用長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，證明四邊形A1B1GE為平行四邊形，從而A1E∥B1G，所以∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角，再在三角形B1GF中，分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可得此角的大小解答： 如圖：連接B1G，EG∵E，G分別是DD1，CC1的中點(diǎn)，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四邊形A1B1GE為平行四邊形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴異面直線A1E與GF所成角為90°故選D點(diǎn)評(píng)： 本題考查了空間異面直線所成的角的作法、證法、算法，長(zhǎng)方體的性質(zhì)及其中的數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的思想方法7.函數(shù)y=的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)x的變化趨勢(shì)，得到y(tǒng)的變化趨勢(shì)，問(wèn)題得以解決．【解答】解：當(dāng)x→﹣∞時(shí)，x3→﹣∞，3x﹣1→﹣1，故y→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，x3→+∞，3x﹣1→+∞，且故y→0，故選：A．8.某高中在校學(xué)生2000人，高一級(jí)與高二級(jí)人數(shù)相同并都比高三級(jí)多1人．為了響應(yīng)“陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”號(hào)召，學(xué)校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動(dòng)．每人都參加而且只參與了其中一項(xiàng)比賽，各年級(jí)參與比賽人數(shù)情況如下表，其中a：b：c=2：3：5，

高一級(jí)高二級(jí)高三級(jí)跑步abc登山xyZ全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的．為了了解學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高二級(jí)參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽?。ǎ〢．36人 B．60人 C．24人 D．30人參考答案：A【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】先求得參與跑步的總?cè)藬?shù)，再乘以抽樣比例，得出樣本中參與跑步的人數(shù)．【解答】解：全校參與跑步有2000×=1200人，高二級(jí)參與跑步的學(xué)生=1200××=36．故選A9.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f(x)滿足；

②函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)f(x)滿足；

④函數(shù)f(x)在是單調(diào)增函數(shù)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】求出余弦函數(shù)的周期，對(duì)稱軸，單調(diào)性，逐個(gè)判斷選項(xiàng)的正誤即可?！驹斀狻亢瘮?shù)，函數(shù)的周期為，所以①正確；時(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②正確；函數(shù)滿足即．所以③正確；因?yàn)闀r(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)在上不是單調(diào)增函數(shù)，不正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱軸等性質(zhì)的應(yīng)用。10.已知，那么等于（

）

A．2

B．4

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)，點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是

。參考答案：（3，4）略12.計(jì)算：2lg5+lg4=

．參考答案：2【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】把lg4化為2lg2，提取2后直接利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)得答案．【解答】解：2lg5+lg4=2（lg5+lg2）=2lg10=2．故答案為2．13.已知，，則

．參考答案：1利用兩角和差的正弦公式可得：，故，則

14.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

；參考答案：15.函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____參考答案：16.已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列四個(gè)論斷中正確的是__________．（把你認(rèn)為是正確論斷的序號(hào)都寫上）①若，則；②若，，，則滿足條件的三角形共有兩個(gè)；③若a，b，c成等差數(shù)列，=sin2B，則△ABC為正三角形；④若，，△ABC的面積，則.參考答案：①③①由正弦定理可得，又，所以，正確。②由于，所以鈍角三角形，只有一種。錯(cuò)。③由等差數(shù)列，可得，得,sinAsinB=sin2B，得，,所以，等邊三角形，對(duì)。④，所以或，或，錯(cuò)。綜上所述，選①③。

17.=__________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可確定出AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130tm，由余弦定理可得；（3）設(shè)乙步行的速度為vm/min，從而求出v的取值范圍．【解答】解：（1）在△ABC中，因?yàn)閏osA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，從而sinB=sin=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的長(zhǎng)為1040m．（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200，因0≤t≤，即0≤t≤8，故當(dāng)t=min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙從B出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了50×（2+8+1）=550m，還需走710m才能到達(dá)C．設(shè)乙步行的速度為vm/min，由題意得﹣3≤≤3，解得，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在[]范圍內(nèi)．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于解直角三角形題型．19.（10分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且滿足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由滿足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．整理得﹣=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）知：cn==n?3n，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：（1）由滿足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．整理得﹣=1，∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．∴=1+（n﹣1）=n，∴an=．（2）由（1）知：cn==n?3n，∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=3+2×32+3×33+…+n?3n，∴3Sn=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=×3n+1﹣，∴Sn=×3n+1+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了變形推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.（本題12分）數(shù)列的前項(xiàng)和記作，滿足（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求。參考答案：（1）（2）；21.已知函數(shù)＝（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).參考答案：（1）函數(shù)＝既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，………2分

理由如下：

，

注意到，

故且

所以函數(shù)＝既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).………7分

（2）設(shè)為區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且，

因?yàn)?

……10分

又故，，所以……12分

即，故函數(shù)＝區(qū)間上為增函數(shù).…14分

略22.（本題滿分12分）已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上。（I）求圓的方程；（II）問(wèn)是否存在滿足以下兩個(gè)條件的直線:①斜率為；②直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).若存在這樣的直線，請(qǐng)求出其方程；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：(1)設(shè)圓C的方程為則解得D=-6,E=4,F=4所以圓C方程為

--------------------------------5分（2）設(shè)直線存