上海民辦新高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

上海民辦新高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，若有四個不同的正數(shù)滿足（為常數(shù)），且，，則的值為（

）

A．10

B．12

C．20

D．12或20參考答案：D略2.若偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f（﹣2）＜f（lgx）的解集是(

)A．（0，100） B．（，100）C．（，+∞） D．（0，）∪（100，+∞）參考答案：D【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．【解答】解：若偶函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則不等式f（﹣2）＜f（lgx）等價為f（2）＜f（|lgx|），即|lgx|＞2，即lgx＞2或lgx＜﹣2，即x＞100或0＜x＜，故選：D【點評】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．3.在三棱錐S﹣ABC中，已知SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．2π B．2π C．6π D．12π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為2，，，則長方體的對角線長等于三棱錐S﹣ABC外接球的直徑，即可求出三棱錐S﹣ABC外接球的表面積．【解答】解：∵三棱錐S﹣ABC中，SA=BC=2，SB=AC=，SC=AB=，∴構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為2，，，則長方體的對角線長等于三棱錐S﹣ABC外接球的直徑．設(shè)長方體的棱長分別為x，y，z，則x2+y2=4，y2+z2=3，x2+z2=5，∴x2+y2+z2=6∴三棱錐S﹣ABC外接球的直徑為，∴三棱錐S﹣ABC外接球的表面積為=6π．故選：C．4.為了得到函數(shù)y=cos(x+)的圖象，只需把余弦曲線y=cosx上的所有的點

(

)A．向左平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向右平移個單位長度參考答案：A略5.3分）若α的終邊與單位圓交于點（，﹣），則cosα=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣參考答案：A考點： 任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosα的值．解答： 由題意可得，x=，y=﹣，r==1，∴cosα==，故選：A．點評： 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．6.sin75°cos30°﹣sin15°sin150°的值等于(

)A．1 B． C． D．參考答案：C【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值．【分析】由誘導(dǎo)公式和兩角和與差的三角形函數(shù)化簡可得．【解答】解：由三角函數(shù)公式化簡可得sin75°cos30°﹣sin15°sin150°=sin（90°﹣15°）cos30°﹣sin15°sin（180°﹣30°）=cos15°cos30°﹣sin15°sin30°=cos（15°+30°）=cos45°=，故選：C．【點評】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．7.若則.

.

.

.參考答案：C8.函數(shù)f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零點之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的圖象．【分析】函數(shù)f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點，即為函數(shù)f（x）=2cosπx與函數(shù)g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則和余弦函數(shù)的特點作出函數(shù)的圖象，由對稱性可得答案．【解答】解：f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx的零點，即為函數(shù)f（x）=﹣2cosπx與函數(shù)g（x）=ln|x﹣1|的圖象交點的橫坐標(biāo)，由圖象變化的法則可知：y=ln|x﹣1|的圖象作關(guān)于y軸的對稱后和原來的一起構(gòu)成y=ln|x|的圖象，在向右平移1個單位得到y(tǒng)=ln|x﹣1|的圖象又f（x）=﹣2cosπx的周期為2，如圖所示：兩圖象都關(guān)于直線x=1對稱，且共有A，B，C，D，E，F(xiàn)，6個交點，由中點坐標(biāo)公式可得：xA+xF=2，xB+xE=2，xC+xD=2，故所有交點的橫坐標(biāo)之和為6，故選：C．【點評】本題考查函數(shù)圖象的作法，熟練作出函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．9.的值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=3x2﹣1，則f（a）﹣f（﹣a）的值是（） A． 0 B． 3a2﹣1 C． 6a2﹣2 D． 6a2參考答案：A考點： 函數(shù)的值．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 直接利用函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可．解答： 函數(shù)f（x）=3x2﹣1，則f（a）﹣f（﹣a）=3a2﹣1﹣（3（﹣a）2﹣1）=0．故選：A．點評： 本題考查函數(shù)值的求法，基本知識的考查．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC中，,則＝

▲

.參考答案：1612.函數(shù)y=的定義域是_______________.參考答案：略13.設(shè)集合A={1,2}，則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個數(shù)是________．參考答案：414.方程9x﹣6?3x﹣7=0的解是

．參考答案：x=log37【考點】函數(shù)與方程的綜合運用；一元二次不等式的解法．【專題】計算題；整體思想．【分析】把3x看做一個整體，得到關(guān)于它的一元二次方程求出解，利用對數(shù)定義得到x的解．【解答】解：把3x看做一個整體，（3x）2﹣6?3x﹣7=0；可得3x=7或3x=﹣1（舍去），∴x=log37．故答案為x=log37【點評】考查學(xué)生整體代換的數(shù)學(xué)思想，以及對數(shù)函數(shù)定義的理解能力．函數(shù)與方程的綜合運用能力．15.若，則___▲___.參考答案：110由題意得.

16.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為．直線y=與函數(shù)y=f（x）（x∈R）圖象的所有交點的坐標(biāo)為．．參考答案：f（x）=2sin（x+）．（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象可知A=2，T=4π，從而可求ω，再由ω×+φ=+2kπ可求得φ，從而可得答案．然后解方程2sin（x+）=，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得x=x=+4kπ或+4kπ（k∈Z），由此即可得到直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點的坐標(biāo)．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈R），∴A=2，周期T==﹣（﹣）=4π，∴ω=．∴f（x）=2sin（x+φ），又f（﹣）=2sin（×（﹣）+φ）=0，∴φ﹣=kπ，k∈Z，|φ|＜π，∴φ=．∴f（x）=2sin（x+）．當(dāng)f（x）=時，即2sin（x+）=，可得sin（x+）=，∴x+=+2kπ或x+=+2kπ（k∈Z），可得x=+4kπ或+4kπ（k∈Z）由此可得，直線y=與函數(shù)f（x）圖象的所有交點的坐標(biāo)為：（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．故答案為：f（x）=2sin（x+），（+4kπ，）或（+4kπ，）（k∈Z）．17.平面向量中，若，=1，且，則向量=____。參考答案：

解析：方向相同，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(10分)已知均為銳角，，求的值.參考答案：解：由已知得

，.∵且α、β都是銳角，∴.∴

又，∴.

略19.市內(nèi)電話費是這樣規(guī)定的，每打一次電話不超過3分鐘付電話費0.18元，超過3分鐘而不超過6分鐘的付電話費0.36元，依次類推，每次打電話分鐘應(yīng)付話費y元，寫出函數(shù)解析式并畫出函數(shù)圖象.參考答案：略20.如圖所示，△ABC是邊長為1的正三角形，點P1，P2，P3四等分線段BC．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若點Q是線段AP3上一點，且，求實數(shù)m的值．參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）以作為基底，表示出，然后利用數(shù)量積的運算法則計算即可求出；（Ⅱ）由平面向量數(shù)量積的運算及其運算可得：設(shè)，又，所以，解得，得解．【詳解】（Ⅰ）由題意得，則（Ⅱ）因為點Q是線段上一點，所以設(shè)，又，所以，故，解得，因此所求實數(shù)m的值為.【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算以及數(shù)量積的運算以及平面向量基本定理的應(yīng)用,屬于中檔題.21.上海某學(xué)校要從藝術(shù)節(jié)活動中所產(chǎn)生的4名書法比賽一等獎的同學(xué)和2名繪畫比賽一等獎的同學(xué)中選出2名志愿者，參加即將在上海舉行的世博會的志愿服務(wù)工作．(1)求選出的兩名志愿者都是獲得書法比賽一等獎的同學(xué)的概率；(2)求選出的兩名志愿者中一名是獲得書法比賽一等獎，另一名是獲得繪畫比賽一等獎的同學(xué)的概率．參考答案：解：把4名獲書法比賽一等獎的同學(xué)編號為1，2，3，4，2名獲繪畫比賽一等獎的同學(xué)編號為5，6.從6名同學(xué)中任選兩名的所有可能結(jié)果如下：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)，共15個………………4分

(1)從6名同學(xué)中任選兩名，都是書法比賽一等獎的所有可能是：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個.

………6分∴選出的兩名志愿者都是書法比賽一等獎的概率

……………8分(2)從6名同學(xué)中任選兩名，一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的所有可能是：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，共8個.…………10分∴選出的兩名志愿者一名是書法比賽一等獎，另一名是繪畫比賽一等獎的概率是

22.（本小題滿分12分）兩個重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車.已知該車每次拖4節(jié)車廂，一日能來回16次，如果每次拖7節(jié)車廂，則每日能來回10次．(1)若每日來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，求此一次函數(shù)解析式；(2)在（1）的條件下，每節(jié)車廂能載乘客110人．問這列火車每天來回多少次才能使運營人數(shù)最多?并求出每天最多運營人數(shù).

參考答案：解：（1）設(shè)每日來回次,每次掛節(jié)車廂,由題意

……………1分由已知可得方程組:

…………3分解得: