彈塑性斷裂力學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)1彈塑性斷裂力學(xué)第一節(jié)彈塑性斷裂力學(xué)概述

1）線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)的適用范圍（1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、巖石，及高強(qiáng)度鋼等材料。（2）小范圍屈服的金屬材料，可用小范圍屈服的塑性修正斷裂準(zhǔn)則來(lái)計(jì)算。

2）實(shí)際中的問(wèn)題（1）大范圍屈服：對(duì)中、低強(qiáng)度構(gòu)件，其塑性區(qū)尺寸超過(guò)了裂紋尺寸。（低溫、厚截面和高應(yīng)變速率下除外）（2）全面屈服：焊接件等由于局部應(yīng)力和殘余應(yīng)力的作用，使局部地區(qū)的應(yīng)力超過(guò)屈服應(yīng)力。第1頁(yè)/共73頁(yè)

3）彈塑性斷裂力學(xué)的提出（1）解決如何通過(guò)小試樣在全面屈服條件下斷裂韌度的測(cè)試去確定中、低強(qiáng)度重型構(gòu)件的平面應(yīng)變斷裂韌度KIC。因?yàn)橛镁€(xiàn)彈性斷裂力學(xué)方法測(cè)定中、低強(qiáng)度鋼的斷裂韌度KIC

，不僅需用大型試件和大噸位的試驗(yàn)機(jī)，而且還由于大鍛件不同部位的KIC差別很大，用大試樣所測(cè)得的KIC只是一個(gè)平均值，得不出各個(gè)具體部位的KIC值。（2）在大范圍屈服條件下，確定出能定量描述裂紋尖端區(qū)域彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度的參量，以便既能用理論建立起這些參量與裂紋幾何特征、外加載荷之間的關(guān)系，又易于通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)定它們，并最后建立便于工程應(yīng)用的斷裂準(zhǔn)則。第2頁(yè)/共73頁(yè)第二節(jié)COD理論1）COD定義

1961年Wells提出COD理論。COD是英文（CrackOpeningDisplaement）的縮寫(xiě)，其意是“裂紋張開(kāi)位移”。指裂紋體受載后，裂紋尖端垂直于裂紋方向上產(chǎn)生的張開(kāi)量，就稱(chēng)主裂紋（尖端）張開(kāi)位移，通常用δ表示。但是由于裂紋尖端的鈍化，很難確切地指出原裂紋尖端的位置，因而亦難確定裂紋尖端的張開(kāi)位移。第3頁(yè)/共73頁(yè)

目前，有人用2AB作為理解紋張開(kāi)位移（從變形后的裂紋頂端測(cè)量）；有人用2CD作為裂紋張開(kāi)位移（在D點(diǎn)測(cè)量，D為線(xiàn)彈性的直線(xiàn)與非線(xiàn)性的曲線(xiàn)的交點(diǎn)）；有人用2EF作為裂紋張開(kāi)位移（從裂紋尖端作450線(xiàn)與裂紋面相交處F的分離的大小）。

裂紋張開(kāi)位移的定義

第4頁(yè)/共73頁(yè)

2）COD判據(jù)

Wells認(rèn)為；當(dāng)裂紋張開(kāi)位移δ達(dá)到材料的臨界值δC時(shí)，裂紋即發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展，這就是彈塑性斷裂的COD準(zhǔn)則，表示為：

δ=δC（1）

δC是材料彈塑性斷裂的韌性指標(biāo)，是一個(gè)不隨試件尺寸改變的材料常數(shù)。對(duì)于COD準(zhǔn)則，要解決三個(gè)方面的問(wèn)題：（a）找出裂紋尖端張開(kāi)位移δ與裂紋幾何尺寸、外加載荷之間的關(guān)系式，即δ的計(jì)算公式。（2）實(shí)驗(yàn)測(cè)定材料的裂紋張開(kāi)位移的臨界值δC

。（3）COD準(zhǔn)則的工程應(yīng)用。第5頁(yè)/共73頁(yè)3）Irwin小范圍屈服條件下的COD

在討論小范圍屈服的塑性區(qū)修正時(shí)，曾引入有效裂紋長(zhǎng)度的概念，這意味著為考慮塑性區(qū)的影響假想地把原裂紋O移至O’，。這樣一來(lái)當(dāng)以假想的有效裂紋尖端點(diǎn)作為“裂尖”時(shí)，原裂紋點(diǎn)O發(fā)生了張開(kāi)位移，這個(gè)位移就是張開(kāi)位移，簡(jiǎn)稱(chēng)為COD，簡(jiǎn)寫(xiě)為δ

。

第6頁(yè)/共73頁(yè)

由平面應(yīng)力條件下的位移公式并代入推演得：當(dāng)以O(shè)’點(diǎn)為裂尖時(shí)，O點(diǎn)處(即，)，沿y方向的張開(kāi)位移則為：此即為Irwin提出的小范圍屈服下的COD計(jì)算公式。式中σs為材料的屈服極限，GI為裂紋擴(kuò)展能量釋放率。（2）（3）第7頁(yè)/共73頁(yè)

4）D-B帶狀塑性區(qū)模型的COD

Dugdale通過(guò)拉伸試驗(yàn)，提出裂紋尖端塑性區(qū)呈現(xiàn)尖劈帶狀特征的假設(shè)，從而得到一個(gè)類(lèi)似于Barrenblett的模型。該模型稱(chēng)為D-B模型，這是一個(gè)對(duì)小范屈服和大范圍屈服都適用的模型，可以用來(lái)處理含中心穿透裂紋的無(wú)限大薄板在均勻拉伸應(yīng)力作用下的彈塑性斷裂問(wèn)題。

（1）D-B模型假設(shè)：裂紋尖端的塑性區(qū)沿裂紋線(xiàn)兩邊延伸呈尖劈帶狀；塑性區(qū)的材料為理想塑性狀態(tài)，整個(gè)裂紋和塑性區(qū)周?chē)詾閺V大的彈性區(qū)所包圍；塑性區(qū)與彈性區(qū)交界面上作用有均勻分布的屈服應(yīng)力σs

。

第8頁(yè)/共73頁(yè)

于是，可以認(rèn)為模型在遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉應(yīng)力σ作用下裂紋長(zhǎng)度從2a延長(zhǎng)到2c，塑性區(qū)尺寸R=c-a，當(dāng)以帶狀塑性區(qū)尖端點(diǎn)c為“裂尖”點(diǎn)時(shí)，原裂紋（2a）的端點(diǎn)的張開(kāi)量就是裂紋尖端張開(kāi)位移。第9頁(yè)/共73頁(yè)

（2）帶狀塑性區(qū)的大小R

假想地把塑性區(qū)挖去，在彈性區(qū)與塑性區(qū)界面上加上均勻拉應(yīng)力σs

，于是得到如圖2b所示的裂紋長(zhǎng)度為2c，在遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力σ和界面應(yīng)力σs作用下的線(xiàn)彈性問(wèn)題。此時(shí)裂紋尖端點(diǎn)c的應(yīng)力強(qiáng)度因子應(yīng)由兩部分組成：一是由遠(yuǎn)場(chǎng)均勻拉應(yīng)力σ產(chǎn)生的，另一個(gè)是由塑性區(qū)部位的“裂紋表面”所作用的均勻應(yīng)力σs所產(chǎn)生的：從而有：（4）第10頁(yè)/共73頁(yè)

由于c點(diǎn)是塑性區(qū)的端點(diǎn)，應(yīng)無(wú)奇性，故其=0，于是代入式（4）得由于塑性區(qū)尺寸R=c-a

，將式（5）代入并化簡(jiǎn)得若將按級(jí)數(shù)展開(kāi)，則當(dāng)較小時(shí)，（5）（6）第11頁(yè)/共73頁(yè)

代入式（6），得R的近似表達(dá)式為：考慮到無(wú)限大平板有中心穿透裂紋時(shí)，，有：將式（8）與Irwin小范圍屈服下平面應(yīng)力的塑性區(qū)尺寸比較，可見(jiàn)D-B模型的塑性區(qū)尺寸稍大一些。（7）（8）第12頁(yè)/共73頁(yè)

（3）δ的計(jì)算公式經(jīng)計(jì)算可得：由式（9）可見(jiàn)，D-B模型不適用于全面屈服（即σ=σs

）的情況。有限元計(jì)算表明，對(duì)小范圍屈服或大范圍屈服，當(dāng)σ/σs≤0.6時(shí)，按式（9）所作的預(yù)測(cè)是令人滿(mǎn)意的。

D-B模型是一個(gè)無(wú)限大板含中心穿透裂紋的平面應(yīng)力模型。由于它消除了裂紋尖端點(diǎn)的奇異性，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)線(xiàn)彈性化的模型。因此，當(dāng)塑性區(qū)較小時(shí)，COD參量δ與線(xiàn)彈性參量K之間存在一致性。由式（9），將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)得：（9）第13頁(yè)/共73頁(yè)

當(dāng)σ/σs

＜＜0.6，即小范圍屈服時(shí)，可只取首項(xiàng)，故有因?yàn)?，所以有：式?1）表示在小范圍屈服條件下裂尖張開(kāi)位移δ與KI、GI之間的關(guān)系。該結(jié)果與Irwin有效裂紋模型所得的結(jié)果式（3）比較，可見(jiàn)它們的形式相同，只是系數(shù)稍有差別。**適用條件：(1)針對(duì)平面應(yīng)力情況下的無(wú)限大平板含中心穿透裂紋進(jìn)行討論的；(2)引入了“彈性”化假設(shè)后，使計(jì)算分析比較簡(jiǎn)單，適用于σ/σs≤0.6的情況；（3）在塑性區(qū)內(nèi)假設(shè)材料為理想塑性，實(shí)際上一般金屬材料存在加工硬化，硬化材料的塑性區(qū)形狀可能不是窄條形的。（11）（10）第14頁(yè)/共73頁(yè)

4)全面屈服條件下的COD

在工程結(jié)構(gòu)或壓力容器中，一些管道或焊接部件的高應(yīng)力集中區(qū)及殘余應(yīng)力區(qū)中往往發(fā)生短裂紋。由于這些區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力達(dá)到甚至超過(guò)材料的屈服點(diǎn)，故使裂紋處于塑性區(qū)包圍之中，這就是所謂的全面屈服。對(duì)于全面屈服情況，載荷的微小變化都會(huì)引起應(yīng)變和COD的很大變化，故在大應(yīng)變情況下，已不宜用應(yīng)力作用斷裂分析的依據(jù)，而需要尋求裂尖張開(kāi)位移δ與應(yīng)變e、裂紋幾何和材料性能之間的關(guān)系，即引入應(yīng)變這一物理量。由含中心穿透裂紋的寬板拉伸試驗(yàn)，可繪出無(wú)量鋼COD即與標(biāo)稱(chēng)應(yīng)變之間的關(guān)系曲線(xiàn)。第15頁(yè)/共73頁(yè)

其中es是相應(yīng)于材料屈服點(diǎn)σs的屈服應(yīng)變，a是裂紋尺寸，標(biāo)稱(chēng)應(yīng)變e是指一標(biāo)長(zhǎng)下的平均應(yīng)變，通常兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)取在通過(guò)裂紋中心而與裂紋垂直的線(xiàn)上。由圖可以看出，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)較寬的分散帶。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為偏于安全，曾提出如下經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)曲線(xiàn)作為裂紋容限和合理選材的計(jì)算依據(jù)。第16頁(yè)/共73頁(yè)

Wells（12）

Burdekin

（13）

JWES2805標(biāo)準(zhǔn)：或（14）第17頁(yè)/共73頁(yè)

1984年，我國(guó)壓力容器缺陷評(píng)定規(guī)范編制組制定了壓力容器缺陷評(píng)定規(guī)范（CVDA）：

下圖畫(huà)出了幾種設(shè)計(jì)曲線(xiàn)的比較圖形。由圖可見(jiàn)，CVDA曲線(xiàn)在0≤e/es≤0.5范圍內(nèi)與Burdekn曲線(xiàn)相同；在0≤e/es≤1.5范圍內(nèi)比Burdekn曲線(xiàn)偏于保守，有較高的安全裕度；而在1.5<e/es<8.76范圍內(nèi)則比JWES2805設(shè)計(jì)曲線(xiàn)偏于保守，但比其余的設(shè)計(jì)曲線(xiàn)可有較小的安全裕度。（15）第18頁(yè)/共73頁(yè)第19頁(yè)/共73頁(yè)

5）COD準(zhǔn)則的工程應(yīng)用

COD準(zhǔn)則主要用于韌性較好的中、低強(qiáng)度鋼，特別是壓力容器和管道。考慮到壓力容器壁中的“鼓脹效應(yīng)”及容器多為表面裂紋和深埋裂紋，故將平板穿透裂紋的斷裂力學(xué)公式用于壓力容器和管道時(shí)，還需進(jìn)行一些修正。（a）“鼓脹效應(yīng)”壓力容器曲面上的穿透裂紋，由于器壁受有內(nèi)壓力，將使裂紋向外鼓脹，而在裂紋端部產(chǎn)生附加彎矩。附加彎矩的附加應(yīng)力與原工作應(yīng)力迭加，使有效作用增大，故按平板公式進(jìn)行δ計(jì)算時(shí)，應(yīng)在工作應(yīng)力中引入鼓脹系數(shù)M，用Mσ代替σ

。第20頁(yè)/共73頁(yè)

M系數(shù)與裂紋長(zhǎng)度2a、容器半徑R和壁厚t有關(guān)：

（16）其中β為1.61（圓筒軸向裂紋）；0.32（圓筒徑向裂紋）；1.93（球形容器裂紋）。（b）裂紋長(zhǎng)度修正壓力容器上的表面裂紋或深埋裂紋應(yīng)換算為等效穿透裂紋。非貫穿裂紋：KI=α

σ(πa*)1/2=σ[π(αa*)2]1/2

，其中α為裂紋形狀因子。無(wú)限大板中心穿透裂紋：KI=σ（πa*）1/2

按等效原則，令非貫穿裂紋的等于無(wú)限大板中心穿透裂紋的，則等效穿透裂紋長(zhǎng)度為：a*=α2a

（17）第21頁(yè)/共73頁(yè)

（c）材料加工硬化修正考慮材料的加工硬化修正，可用流變應(yīng)力σf代替屈服點(diǎn)，對(duì)于σs=200~400MPa的低碳鋼，一般取：

σf=0.5（σs+σb）(18)

式中σb為材料的抗拉強(qiáng)度。綜上所述修正，D-B模型的δ計(jì)算公式（10）變?yōu)椋?/p>

(19)

6）臨界的實(shí)驗(yàn)測(cè)定裂紋張開(kāi)位移COD的臨界值δc是COD準(zhǔn)則的一個(gè)重要參量。它和KIC一樣，是材料韌性好壞的量度，可以通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定。第22頁(yè)/共73頁(yè)

COD試驗(yàn)方法適用于線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)失敗的延性斷裂情況，可以認(rèn)為是KIC試驗(yàn)的延伸。因此，試驗(yàn)的許多具體方法沿用了KIC試驗(yàn)的有關(guān)規(guī)定。譬如利用同樣的夾式引伸儀和載荷傳感器來(lái)獲得載荷-位移曲線(xiàn)。但由于COD試驗(yàn)又具有本身的一些特點(diǎn)。

(1)試樣尺寸

實(shí)踐表明，δc可以用小型三點(diǎn)彎曲試樣在全面屈服下通過(guò)間接方法測(cè)出。由于COD不要求試樣滿(mǎn)足平面應(yīng)變的條件，因此，規(guī)定試樣的厚度B一般等于被測(cè)材料的厚度（即所謂全厚度），寬度W及裂紋長(zhǎng)度a有如下規(guī)定:第23頁(yè)/共73頁(yè)

W=B，a=(0.25~0.35)W

W=1.2B，a=(0.35~0.45)W

W=2B，a=(0.45~0.55)W

S=4W第24頁(yè)/共73頁(yè)

(2)δ的表達(dá)式由實(shí)驗(yàn)直接準(zhǔn)確地測(cè)量出裂紋尖端張開(kāi)位移是困難的，目前均利用三點(diǎn)彎曲試樣的變形幾何關(guān)系，由測(cè)得的裂紋嘴的張開(kāi)位移V去推算求出裂紋尖端的張開(kāi)位移δ

。為此必須建立δ與V之間關(guān)系式。第25頁(yè)/共73頁(yè)

三點(diǎn)彎曲試樣受力彎曲時(shí)，滑移線(xiàn)場(chǎng)理論分析表明，裂紋尖端塑性變形引起的滑移線(xiàn)對(duì)稱(chēng)平分缺口夾角2θ的平面，試樣的變形可視為繞某中心的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。該中心點(diǎn)（圖中的C點(diǎn)）到裂紋尖端的距離為r（W-a），r為轉(zhuǎn)動(dòng)因子。利用相似三角形的比例關(guān)系容易寫(xiě)出：

故（20）式中，z為刃口的厚度。

對(duì)彈塑性情況，δ可由彈性的δe和塑性的δp兩部分組成，即：第26頁(yè)/共73頁(yè)

式中，δe為對(duì)應(yīng)于載荷P的裂紋尖端彈性張開(kāi)位移，其計(jì)算公式參見(jiàn)式（20）為：

δp是韌帶塑性變形所產(chǎn)生的裂紋尖端性張開(kāi)位移，由式（29）有：將式（22）、（24）代入式（21）得平面應(yīng)變狀態(tài)下δ的計(jì)算公式：（21）

（平面應(yīng)力）（22）

（平面應(yīng)變）（23）

（24）第27頁(yè)/共73頁(yè)

式中，轉(zhuǎn)動(dòng)因子r在韌帶屈服后，一般取為0.45，也可由實(shí)驗(yàn)標(biāo)定。Vp為位移的塑性分量。KI為對(duì)應(yīng)于載荷P的應(yīng)力強(qiáng)度因子：（34）

其中第28頁(yè)/共73頁(yè)

（3）臨界點(diǎn)的確定實(shí)驗(yàn)得到的P-V曲線(xiàn)大致分為三類(lèi)：（a）第一類(lèi)P~V曲線(xiàn)：位移V隨載荷P增大而增大，直到發(fā)生失穩(wěn)斷裂（圖a），發(fā)生斷裂前沒(méi)有明顯的亞臨界擴(kuò)展，快速失穩(wěn)斷裂點(diǎn)即為臨界點(diǎn)，此時(shí)，最大載荷Pmax即為臨界載荷Pc，相應(yīng)的臨界位移為Vc。將Pc及Vc的塑性分量Vcp代入式（34）就可算出臨界值δc

。（b）第二類(lèi)P~V曲線(xiàn)：試驗(yàn)過(guò)程中，P~V曲線(xiàn)由于裂紋“突進(jìn)”而出現(xiàn)平臺(tái)，之后又逐漸上升，直至斷裂（圖b）。這時(shí)取“突進(jìn)”點(diǎn)作為臨界點(diǎn)，由“突進(jìn)”點(diǎn)的載荷Pc和Vc位移的塑性分量計(jì)算δc值。（c）第三類(lèi)P~V曲線(xiàn)：載荷通過(guò)最高點(diǎn)后連續(xù)下降而位移不斷增大，或載荷達(dá)到最大值后一直保持恒定而出現(xiàn)相當(dāng)長(zhǎng)的平臺(tái)（圖c）。這兩種情況都由于裂紋產(chǎn)生亞臨界擴(kuò)展，而不能從P~V圖直接判定臨界點(diǎn)。

第29頁(yè)/共73頁(yè)

由于臨界點(diǎn)應(yīng)該是啟裂點(diǎn)，需要借助電位法、電阻法、聲發(fā)射法或氧化發(fā)藍(lán)等方法來(lái)確定啟裂點(diǎn)，然后，由啟裂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載荷Pi及Vi和位移的塑性分量Vp來(lái)計(jì)算δc值。第30頁(yè)/共73頁(yè)

**電位法：在試樣兩端加一恒值穩(wěn)定電流I，并在裂紋兩側(cè)焊上電位測(cè)頭。試驗(yàn)時(shí)，用夾式引伸儀測(cè)量試樣施力點(diǎn)位移△。同時(shí)測(cè)量裂紋兩側(cè)電位E的變化，用X-Y函數(shù)記錄儀自動(dòng)測(cè)繪E-△曲線(xiàn)，當(dāng)裂紋擴(kuò)展時(shí)，電位差迅速增大，故根據(jù)E~△曲線(xiàn)的突變，可確定啟裂點(diǎn)。**電阻法：測(cè)定啟裂點(diǎn)的原理與電位法相似，只是它測(cè)量的是裂紋兩側(cè)電阻R的變化。**聲發(fā)射法：試樣裂紋啟裂時(shí)發(fā)出的聲發(fā)射信號(hào)經(jīng)探頭感受后，由前置放大器再經(jīng)聲發(fā)射測(cè)度儀主體放大和選樣，將聲發(fā)射率S輸入X-Y記錄儀，同時(shí)輸入施力點(diǎn)位移△信號(hào)，從而可繪出S-△曲線(xiàn)。因聲發(fā)射率峰值較多，一般采用聲發(fā)射法與電位法聯(lián)合確定啟裂點(diǎn)。第31頁(yè)/共73頁(yè)用電位法確定啟裂點(diǎn)第32頁(yè)/共73頁(yè)第33頁(yè)/共73頁(yè)

**氧化發(fā)藍(lán)法：可用來(lái)確定加載到P~△曲線(xiàn)不同位置時(shí)裂紋的擴(kuò)展量，從而確定啟裂點(diǎn)。當(dāng)加載到P~△曲線(xiàn)上某點(diǎn)處卸載取下試樣，在空氣介質(zhì)中加熱氧化到呈藍(lán)色，然后冷卻。壓斷試樣后，斷口如上圖所示。由于預(yù)制疲勞裂紋的表面光滑，氧化膜顏色較淺，而試驗(yàn)中，裂紋擴(kuò)展的表面比較粗糙，氧化膜顏色較深，故通過(guò)金相顯微鏡觀察很容易測(cè)出裂紋的擴(kuò)展量。當(dāng)觀察到的裂紋擴(kuò)展量似乎為零或由不同的擴(kuò)展量外推到零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于啟裂點(diǎn)。第34頁(yè)/共73頁(yè)第三節(jié)J積分理論

COD參量的測(cè)定方法簡(jiǎn)單，但用它所得到的一些經(jīng)驗(yàn)公式能有效地解決工程實(shí)際問(wèn)題，在中、低強(qiáng)度鋼焊接結(jié)構(gòu)和壓力容器斷裂分析中得到廣泛的應(yīng)用，但它不是一個(gè)直接而嚴(yán)密的裂紋尖端彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的表征參量。因此，Rice于1968年提出了J積分的概念。J積分是一個(gè)定義明確，理論嚴(yán)密的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，又容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)定。

J積分的概念已用于發(fā)電工業(yè)，特別是核動(dòng)力裝置中材料的斷裂準(zhǔn)則。第35頁(yè)/共73頁(yè)

（1）J積分的回路積分定義及其守恒性

(a)J積分的回路積分定義對(duì)二維問(wèn)題，Rice提出J積分的回路積分由下述表達(dá)式來(lái)定義：式中，Γ為圍繞裂紋尖端任一反時(shí)針回路，起始端位于裂紋下表面，末端終于裂紋上表面；W為回路上任一點(diǎn)（x，y）的應(yīng)變能密度；Ti為回路上任一點(diǎn)（x，y）處的應(yīng)力分量；ui為回路上任一點(diǎn)（x，y）處的位移分量；ds為回路上Γ的弧元。

J積分是一個(gè)與積分回路無(wú)關(guān)的常數(shù)，即具有守恒性，即J積分像線(xiàn)彈性問(wèn)題中的K因子一樣，反映了裂紋尖端的某種力學(xué)特性或應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度。（1）

第36頁(yè)/共73頁(yè)第37頁(yè)/共73頁(yè)（b）J積分的守恒性設(shè)分別有兩個(gè)積分回路Γ和?！琂積分的守恒性就意味著有下列恒等式：如果取任一閉合回路c，它由Γ、?！约傲鸭y自由表面組成（即回路ABDECA），又注意到在裂紋面BD和CA上，Ti=0和dxz=0，以及DEC與?！姆较蛳喾?，閉合回路內(nèi)無(wú)裂紋或小孔，則式（2）恒等式可改寫(xiě)為：（2）

（3）

第38頁(yè)/共73頁(yè)

設(shè)n1，n2為弧元ds的外法線(xiàn)的方向余弦，即：

Γ上微弧元的三角形體元的力的平衡條件：**式（3）左端第二項(xiàng)積分為：利用格林公式：（5）

（4）

（6）

（7）

第39頁(yè)/共73頁(yè)

將式（7）的圍線(xiàn)積分化為面積分，整理后得：平面問(wèn)題不計(jì)體力時(shí)，有平衡微分方程：又，代入式（8），則其右端積分號(hào)內(nèi)的前兩項(xiàng)為零，于是：（8）

（9）

第40頁(yè)/共73頁(yè)

小應(yīng)變條件下的幾何關(guān)系為：代入式（10）得：（10）

（11）

（12）

第41頁(yè)/共73頁(yè)

**式（3）左端的第一項(xiàng)積分，同樣應(yīng)用Green積分變換則可得：

式中，應(yīng)變能密度，在全量理論單調(diào)加載下：

于是式（13）變?yōu)椋菏剑?2）與式（15）相等，即證明了在滿(mǎn)足不計(jì)體力式（9），小應(yīng)變式（11）以及單調(diào)加載式（14）條件時(shí)，J積分的路徑無(wú)關(guān)性得到了嚴(yán)格的證明，即J積分的回路積分具有守恒性。（14）

（13）

（15）

第42頁(yè)/共73頁(yè)

（2）J積分與裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)在線(xiàn)彈性情況下，裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變的漸近表達(dá)式為：式中，，分別應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的角因子。由式（16）可見(jiàn)，裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)由KI唯一確定，在裂紋尖端應(yīng)力、應(yīng)變都具有的奇異性，KI正是這種奇異性強(qiáng)弱的反映。在彈塑性情況下，Rice、Rosengren、Hutchinson對(duì)冪硬化材料根據(jù)塑性全量理論，證明了J積分決定著裂尖彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的強(qiáng)度，也具有奇導(dǎo)性，是描述裂尖彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的有效參量。應(yīng)力應(yīng)變的漸近表達(dá)式為：（16）

第43頁(yè)/共73頁(yè)

式中，A為材料有關(guān)的常數(shù)，N是材料的冪硬指數(shù)，In是N的函數(shù)（），當(dāng)0<N<1時(shí)，其誤差小于2%，與為角因子，是θ和N的無(wú)量綱函數(shù)。可以看出式（17）與（16）在形式上十分一致，其中J與KI相當(dāng)。這表明在彈塑性狀態(tài)下，可以用J作為參量建立斷裂準(zhǔn)則：其中，JIC是平面應(yīng)變條件下J積分的臨界值。由于J積分的守恒性只在簡(jiǎn)單加載條件下才能成立，不允許有卸載，因此，不允許裂紋發(fā)生亞臨界擴(kuò)展，斷裂準(zhǔn)則為啟裂準(zhǔn)則。（17）

（18）

第44頁(yè)/共73頁(yè)

**HRR奇異性

取裂紋尖端為圓心，半徑為r的圓周作為積分回路Γ，則，，，代入式（1）得：由于J積分的守恒性（J=常量），上式在不同的r值下均能成立。故r

→0，上式左邊有1/r的奇異性，因而右邊也必須有這種奇異性。但在右邊被積函數(shù)的所有項(xiàng)都是的齊次型，因而應(yīng)具有下述特性：

因此，我們有理由取和的奇異性主項(xiàng)為：（21）

（19）

（20）

→當(dāng)r

→0

時(shí)，

第45頁(yè)/共73頁(yè)

代入式（20），比較r的冪次后得：

對(duì)冪硬化材料有下述應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：

式中，為等效應(yīng)力，為等效塑性應(yīng)變，A為材料常數(shù)，N為硬化指數(shù)。將式（21）代入式（23），并比較r的冪次有：

聯(lián)立求解式（23）、（24）得：

這就有明應(yīng)力具有，應(yīng)變具有的奇異性。當(dāng)材料服從用下表示的純冪乘應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系時(shí)：（24）

（25）

（22）

（23）

第46頁(yè)/共73頁(yè)

式中，和分別表示材料的屈服應(yīng)變和屈服應(yīng)力，n為材料的冪硬指數(shù)（n=1/N），α為材料的冪硬系數(shù)。則式（17）可寫(xiě)成更一般的形式：（26）

第47頁(yè)/共73頁(yè)

（3）J積分與能量釋放率G的關(guān)系對(duì)于線(xiàn)彈體，J積分守恒成立的幾個(gè)前提條件（不計(jì)體力，小應(yīng)變，單調(diào)加載）都是自然具備的。用J積分描述的應(yīng)力應(yīng)變奇異性（HRR奇異性），當(dāng)n=1（即線(xiàn)彈性體）時(shí)也均反映為。因此，J積分理論可以用來(lái)分析線(xiàn)彈性平面裂紋問(wèn)題。由J積分的回路分定義式（1），線(xiàn)彈性平面應(yīng)變條件下，應(yīng)變能密度：將I型裂紋尖端區(qū)域的應(yīng)力分量代入并化簡(jiǎn)后得：（27）

第48頁(yè)/共73頁(yè)*若取裂紋尖端為中心，r為半徑的圓周作為積分回路Γ，并考慮式（27），則可求出式（1）的第一項(xiàng)積分為：**由（5）式及I型裂紋的位移表達(dá)式：（28）

第49頁(yè)/共73頁(yè)

代入到式（1）的第二項(xiàng)積分，并應(yīng)用坐標(biāo)變換的微分關(guān)系：，經(jīng)化簡(jiǎn)后得：將式（28）及式（29）代入式（1）可得：平面應(yīng)力狀態(tài)下E’=E。

式（30）表示在線(xiàn)彈性狀態(tài)下，J積分與應(yīng)力強(qiáng)度因子KI以及裂紋擴(kuò)展能量釋放率GI之間的關(guān)系?？梢?jiàn)，在線(xiàn)彈性狀態(tài)下，J=JIC仍然適用，而且與K準(zhǔn)則，G準(zhǔn)則完全等效。

（29）

（30）

第50頁(yè)/共73頁(yè)

（4）J積分與COD的關(guān)系（a）小范圍屈服在平面應(yīng)力條件下，Irwin提出的小范圍屈服下的COD計(jì)算公式為：由（30）式：于是得：（b）D-B帶狀塑性區(qū)模型

D-B模型是一個(gè)彈性化的模型，帶狀塑性區(qū)為廣大彈性區(qū)所包圍，滿(mǎn)足了積分守恒的諸條件。

（32）

（31）

或第51頁(yè)/共73頁(yè)

若取帶狀塑性區(qū)邊界ABD作為積分回路Γ，由于路徑AB和BD均平行于x1軸，故dx2=0，而ds=dx1。作用于路徑上的Ti

，在AB上為T(mén)2=σs，在BD上為T(mén)2=-σs

。路徑上的位移分量ui，只有方向x2的v，代入式（1）得：

如果考慮材料在塑性區(qū)內(nèi)的加工硬化，其中的流變應(yīng)力比σs要大，再考慮裂紋前緣并非處于理想的平面應(yīng)力狀態(tài)，一般應(yīng)對(duì)應(yīng)（33）加以修正（33）

（34）

第52頁(yè)/共73頁(yè)

式中，k稱(chēng)為COD減小因子，其值與試樣塑性變形的程度以及裂紋前緣的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，一般取k=1.1~2.0。第53頁(yè)/共73頁(yè)(c)按HRR奇異場(chǎng)解導(dǎo)出J與δ的關(guān)系

Rice建議用下圖所示兩條從裂紋頂端發(fā)射的45°線(xiàn)定義與裂紋表面交點(diǎn)處的張開(kāi)位移定義為δt。第54頁(yè)/共73頁(yè)

由式（26）的HRR解，取u1=ux，u2=uy

，令θ=π有:

由變形后的情況及δt的定義:

將式（35）代入式（36），并記；

（35）

（36）

第55頁(yè)/共73頁(yè)

求得:

將上述r代入式（35）的uy中，其中得:

上式中:

式（38）、（39）適用于平面應(yīng)力與平面應(yīng)變兩種情況，但其相應(yīng)的dn值不同。

（38）

（39）

（37）

第56頁(yè)/共73頁(yè)(5)J積分的形變功率定義由式（30），在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，J=GI，即:

式中，Π為單位厚度試樣的位能；U為單位厚度試樣的應(yīng)變能。式（40）表明積分與試樣加載過(guò)程中具有的位能變化率有關(guān)，這直接把積分與外加載荷及施力點(diǎn)位移聯(lián)系起來(lái)。

Rice經(jīng)過(guò)繁瑣的分析指出，對(duì)于非線(xiàn)性彈性體二維試樣，式（40）仍然成立。（40）

第57頁(yè)/共73頁(yè)

但應(yīng)用于彈塑性體時(shí)必須注意兩個(gè)問(wèn)題：（a）塑性變性是不可逆的，裂紋擴(kuò)展將意味著局部卸載，故不能理解為裂紋擴(kuò)展的能量釋放率，而是具相同幾何外形，在相同外載和邊界約束下，具有裂紋長(zhǎng)度為a和a+da的兩個(gè)試樣單位厚度的位能差率。（b）必須限于單調(diào)加載和小應(yīng)變條件。其證明如下：對(duì)彈性（線(xiàn)性或非線(xiàn)性）二維物體，其單位厚度的總位能:（41）

第58頁(yè)/共73頁(yè)

式中，U是單位厚度應(yīng)變能，W是應(yīng)變能密度，C是物體的邊界，D是物體的面積。下圖的兩個(gè)二維彈性體，它們的差別只是裂紋長(zhǎng)度相差Δa。為便于分析，先研究帶圓弧切口的二維彈性體，顯然，當(dāng)切口圓弧半徑趨于零時(shí)，彈性體就成為二維裂紋體了。由圖可見(jiàn)，物體圖b比物體圖a少了塊長(zhǎng)度為ΔD的陰影面，相應(yīng)的切口頂端邊界記為Γt

。于是a、b兩物體單位厚度應(yīng)變能之差為:

ΔU=Ub-Ua

其中，D為物體b的面積，為物體a中任意一點(diǎn)的應(yīng)變能密度。,為物體b中任一點(diǎn)的應(yīng)變能密度，為物體b中相應(yīng)于物體a中同一點(diǎn)處應(yīng)變分量的增量，于是:第59頁(yè)/共73頁(yè)第60頁(yè)/共73頁(yè)

因?yàn)棣=Δx2*Δa

，又Δa很小，可以認(rèn)為ΔD在中W沿x1方向無(wú)變化，從而從（42）右端的第二項(xiàng)可表示為:

為證明(40)式,取將(43)式代入(42),再代入(44)中得:（42）

（43）

（44）

（45）

第61頁(yè)/共73頁(yè)

上式右端的第二項(xiàng)積分，因?yàn)樵讦上，Ti=0，故可改寫(xiě)為:

式（45）右端的第一項(xiàng)積分，因?yàn)閺椥泽w有，由式（12），并且da沿dx1方向，故有:

將式（47）、（46）代入式（45）得:（46）

（47）

→第62頁(yè)/共73頁(yè)(a)恒載荷情況兩個(gè)裂紋長(zhǎng)相差da的物體下端作用有恒力P。裂紋長(zhǎng)為a的物體其施力點(diǎn)位移為Δ1，而裂紋長(zhǎng)為a+da的物體則有位移Δ2

。單調(diào)加載過(guò)程中畫(huà)出P~Δ曲線(xiàn)如圖a所示。外力功W=P

Δ，應(yīng)變能，即P~Δ曲線(xiàn)下的面積；位能，U*為P~Δ曲線(xiàn)與縱軸所圍成的面積，稱(chēng)為余能。因此，裂紋長(zhǎng)度a和a+da的兩條P~Δ曲線(xiàn)所圍成的面積OABO就應(yīng)該反映它們的位能差率，于是有：（48）

第63頁(yè)/共73頁(yè)第64頁(yè)/共73頁(yè)(b)恒位移情況裂紋體在外力作用下產(chǎn)生位移Δ后，固定兩端形成恒位移條件。由于裂紋長(zhǎng)度不同，a和a+da的兩物體產(chǎn)生相同的位移Δ所需要的力也不同，分別為P1和P2

。此時(shí)外力功為W=0，故位能Π等于應(yīng)變能U

。兩物體的位能差率仍由面積OABO所決定。從而有：當(dāng)物體的厚度B≠1時(shí)，有：恒載荷下：恒位移下：實(shí)驗(yàn)中，式（51）常被用來(lái)計(jì)算J積分。式中U是應(yīng)變能或稱(chēng)形變功，它是P~Δ曲線(xiàn)下的面積。（49）

（51）

（50）

第65頁(yè)/共73頁(yè)6）J積分臨界值JIC的測(cè)定