必修五余弦定理

會計學(xué)1必修五余弦定理直角三角形中的邊角關(guān)系：CBAabc1、角的關(guān)系：A+B+C=180°A+B=C=90°2、邊的關(guān)系：

a2+b2=c23、邊角關(guān)系：

sinA=—=cosBsinB=—=cosAacbc復(fù)習(xí)2第1頁/共46頁CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞

a2+b2c2

＜

a2+b2看一看想一想

直角三角形中的邊a、b不變，角C進行變動勾股定理仍成立嗎？天?。2=

a2+b23第2頁/共46頁是尋找解題思路的最佳途徑c=?AcbCBa∣AB∣c2=∣AB∣2=??ABABAB=?AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算試試！聯(lián)想4第3頁/共46頁證明：向量法若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求證：bcABCa證明5第4頁/共46頁同理可證：

格式二：逆用公式證明6第5頁/共46頁bAacCB證明：以CB所在的直線為x軸，過C點垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點的坐標(biāo)分別為：xy解析法證明7第6頁/共46頁ABCabcD當(dāng)角C為銳角時幾何法bAacCBD當(dāng)角C為鈍角時CBAabc

余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來證明余弦定理。證明8第7頁/共46頁證明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，則CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：

當(dāng)然，對于鈍角三角形來說，證明類似，課后自己完成。D9第8頁/共46頁余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字說明嗎？CBAabc

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。歸納10第9頁/共46頁變一變樂在其中CBAabc

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=變形歸納11第10頁/共46頁想一想：

余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc12第11頁/共46頁問題1：勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.問題2：公式的結(jié)構(gòu)特征怎樣？（1）輪換對稱，簡潔優(yōu)美;剖析定理（2）每個等式中有同一個三角形中的四個元素，知三求一.（方程思想）剖析13第12頁/共46頁思考：

已知兩邊及一邊的對角時，我們知道可用正弦定理來解三角形，想一想能不能用余弦定理來解這個三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求邊a.14第13頁/共46頁（3）已知a、b、c（三邊），可以求什么？剖析定理剖析P14例3P15練習(xí)2,315第14頁/共46頁剖析定理（4）能否把式子轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式？分析：剖析16第15頁/共46頁（1）已知三邊求三個角；問題3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.剖析定理剖析P14例1、例217第16頁/共46頁18第17頁/共46頁會用才是真的掌握了

余弦定理在解三角形中能解決哪些問題？角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理余弦定理運用19第18頁/共46頁練一練：P15練習(xí)1，4

1、已知△ABC的三邊為、2、1，求它的最大內(nèi)角。解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a=,b=2,c=1

則最大內(nèi)角為∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°變一變：若已知三邊的比是

:2:1,又怎么求？20第19頁/共46頁再練：

2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的長。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=21第20頁/共46頁思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形狀分析：三角形ABC的形狀是由大邊b所對的大角B決定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面積分析：三角形的面積公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面積公式即可。22第21頁/共46頁2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.證明定理:課堂小結(jié)向量法、解析法、幾何法23第22頁/共46頁（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.5.余弦定理的作用（3）判斷三角形的形狀，求三角形的面積a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理適用于任何三角形24第23頁/共46頁作業(yè)布置

P16-171,5,6,1025第24頁/共46頁例4在長江某渡口處，江水以5km/h速度向東流。一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達江北岸碼頭（如圖）。設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東15o，并與A碼頭相距1.2km.該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少千米/小時？（角度精確到0.1o，速度精確到0.1km/h)26第25頁/共46頁P16練習(xí)1,227第26頁/共46頁練習(xí):P16練習(xí)3,428第27頁/共46頁練習(xí):P177,1329第28頁/共46頁作業(yè)：P172，8，11，1230第29頁/共46頁31第30頁/共46頁提高性訓(xùn)練：1、在△ABC中，求證：c=acosB+bcosA2、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長。32第31頁/共46頁

例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c=,

解這個三角形（邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到）分析：已知兩邊和兩邊的夾角解：33第32頁/共46頁例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，

C＝82°28′，解這個三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()34第33頁/共46頁ABCOxy例3：ABC三個頂點坐標(biāo)為(6，5)、

(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.35第34頁/共46頁ABCOxy例3：ABC三個頂點坐標(biāo)為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).36第35頁/共46頁ABCOxy例3：ABC三個頂點坐標(biāo)為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=37第36頁/共46頁解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°

＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O38第37頁/共46頁∴a＋b

＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°

＝21,39第38頁/共46頁例5已知四邊形ABCD的四邊長為AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,

求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,

怎樣用θ表示四邊形ABCD的面