微積分3sadfa-第一次習(xí)題課題解

第一次討論課參考1（1）

（（2）x2x2y21

|x||y||x||y|

.（p1存在2 x2y2xy(x,y注釋：二元函數(shù)求極限的常用思路（一般是計(jì)算題，不要用方法證明先

limf(xy是否存在．如果發(fā)現(xiàn)沿不同的路徑（例如當(dāng)(xy沿不同射線）于零時(shí)，f(xy（例如（1）（2（3）x2y22解（3x2y2)x2y2x2y2x2y2xy

，注意在x,y)(0,0x2y

[1(x

y

x2yx2y20。

0x2y

x2y 所

x2y0(x,y)(0,0)x2y (x2y2)xylimt

limet

1（可化成一元極限的問題(x,y

t

t2所 (x2y2)xy [(x

x2yx2y2)(22x2y2

0(x,y xy（１）ux

xy（

（２）u x

y2（0（３）已知f

x2y,

axy2,求a提示：利用混合偏導(dǎo)數(shù)到順序無關(guān)（a1

(x,y)二元函數(shù)fx,y)x2

在點(diǎn)(0,0處[C (x,y)(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在設(shè)f(xy)|xy|(xy)，其中(xy在原點(diǎn)O(0,0連續(xù)．求證f(xy在原點(diǎn)可微的充分必要條件是：(0,0)0．充分性

flim|x0|(x,0)0，flim|0y|(0,y)

．（ x0,

(x,y)0fxy

x

y

x

xy)(x,

x2y2|f(xx2y2

(x,

(xy)0．于是f(xy必要性f(xy在原點(diǎn)可微，則fx(0,0和fy(0,0f(0,0)

f(x,0)f(0,0)lim|x|(x,0)

x0如果這個(gè)極限存在，則必有l(wèi)im(x,0)0，所以(0,0)0．5

xsinf(x,y)|x|2|y

(x,y)

證明f(x,y)在(0,0)點(diǎn)可微，并求

(x,y)注釋：研究f(xy在點(diǎn)(x0y0(x)2 兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x0y0和fy(x)2

f(x0x,y0y)f(x0,y0)0．f(xy(xy

xsinx1以xsinx |x|2|y

x2y0dfx2y6．設(shè)二元函數(shù)

f(xy)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

f(0,1．求證在單位圓周Lx2y21PP，滿足y

x

0 （提示：在單位圓周上f(x,y化為參數(shù)t的函數(shù)(t)

f(cost,sint)，題目條件推出(0)()(2)．對(duì)于(t)應(yīng) 2z

f(xyDxx(ty

(tD光滑曲線（x(t)2y(t)20的端點(diǎn)為AB．若f(A

f(B)M(xy，使f(M0)0．其中是M 0, 證：在上二元函數(shù)變成tz(t)f(x(ty(t．Ax(y(B(x(),y())．于是()()． 定理，存在(,)，使得()0由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到(

令 (x(),y())．則f(M0)fx()fy()()0 z

f(xy在點(diǎn)(aa

f(a,a)a,

b,

(a,a)b令(x)

f(x,f(x,f(xx)))

d2(x)

xa

2a(bb22b3)）f1和f2分別表示函數(shù)f對(duì)于第一個(gè)變量和第二個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù).理清函數(shù)的復(fù)合d2(x)2(x)d

(x)d(x)ff

f(x,f(x, 2df(x,f(x,x))ff(ff d2(x)2(x)[f

f(ff(ff

當(dāng)xaya代入題目條(a

f(a,f(a,f(a,a)))a

f(aa)b.得到

2

2a(bb22b3)．

zz(xy),zsiny

1

分析：利用公式f(x,y) fdxg(y),其中g(shù)(y)為待定函數(shù),可以利用條 zzdxg(y)xsiny1ln(1xy)g( x1z(1ysiny1ln(1ygyz(1ysinyysiny1ln(1ygy)sinygy)1ln(1y),最后求得 zxsiny1ln(1xy)1ln(1y)y設(shè)函數(shù)f(x,y在點(diǎn)

y

j,

2求df(x0y0)

f(x0,y0)

f(x0,y0)解題思路解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x,yM(x0,y0f(x0,y0)

,y0

1fy2

,y0)12f(x0,y0)f(x,y)1f(x,y)2

1fy(x0,y02

1 5 55fx(x0,y05

fy(x0,y0)25解 fx(x0,y0)5

4

fy(x0,y0)

52555255df(x0,y0)

4

22)dy設(shè)zf(xyxy)，且函數(shù)f的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，求xy解題思路求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要將函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)分析清楚，找出變量之間的關(guān)解：令uxy,vxyz

f(u,v)f(u,v)y 注意到fu(uv),fv(uvxy2z

fuv(u,v)x

fv(u,v)

若fx,y的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x0,y0的某鄰域內(nèi)存在且有界，則fx,y在點(diǎn)x0,y0分析：利用題目條件證明f證：f(x,y)f(x0,y0f(x,y)f(x0,y)

f(x0,y)f(x0,y0fx(,

x

fy(x0,)M(xy)2MXM為fx,fy的界設(shè)fxx0,y0存在，fyx0,y0在點(diǎn)x0,y0處連續(xù)，證明fx,y在點(diǎn)x0,y0處分析:證明函數(shù)fxyf

f(

x,

y)f(

,y表示成AxBy,其中當(dāng)x2y2x20時(shí), 比較是高階無窮小量.或者x20AxByxyx2y20時(shí),00f

f(x0x,y0y)f(x0,y0f(x0x,y0y)f(x0x,y0)

f(x0x,y0)f(x0,y0

因?yàn)閒y(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)，所以，根據(jù)一元函數(shù) f(x0x,y0y)f(x0x,y0fy(x0x,y0y)y[fy(x0,y0)()]

x2其中， ，()為當(dāng)x2又由已知，fxx0,y0

f(x0x,y0)f(x0,y0)

,y0f(x0x,