第三章函數(shù)應(yīng)用測評

第三章函數(shù)的應(yīng)用第1課時

方程的根與函數(shù)的零點基礎(chǔ)梳理f(x)=0的實數(shù)有交點零點1.函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y=f(x)，我們把使

叫做函數(shù)y=f(x)的零點.2.函數(shù)零點的意義方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸

函數(shù)

y=f(x)有

.3.函數(shù)零點存在性定理（零點定理）連續(xù)不斷f(a)·f(b)<0f(c)=0如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得，這個c也就是方程f(x)=0的根.4.確定函數(shù)零點所在的大致區(qū)間及零點個數(shù)的方法、步驟（1）用計算器、計算機或筆算出x、f(x)的對應(yīng)值表格;（2）作出y=f(x)的圖象;（3）確定y=f(x)的單調(diào)性情況;（4）將定義域進行分割，應(yīng)用零點存在性定理判斷零點所在的大致區(qū)間，并通過單調(diào)性確定函數(shù)零點的個數(shù).典例分析題型一

求函數(shù)零點分析

根據(jù)函數(shù)零點與相應(yīng)方程的根之間的關(guān)系，就是求該函數(shù)相對應(yīng)的方程的根.例1

求下列函數(shù)的零點（1）f(x)=-

-2x+3;

(2)f(x)=

-1.解

（1）由于f(x)=-

-2x+3=-（x+3）(x-1),所以方程-

-2x+3=0的兩根是-3,1，故函數(shù)的零點是-3，1.(2)由于f(x)=

-1=（

+1）(x+1)(x-1),所以方程

-1=0的實數(shù)根是-1,1,故函數(shù)的零點是-1,1.舉一反三1.求函數(shù)f(x)=

-4x的零點.解析:

令f(x)=0,即

-4x=0,即x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得

=0,

=-2,

=2,所以函數(shù)f(x)=

-4x有3個零點，分別是-2,0,2.題型二

判斷方程零點個數(shù)例2

求函數(shù)f(x)=

+lg(x+1)-2的零點個數(shù).分析

判定復(fù)合函數(shù)f(x)=g(x)-h(x)的零點個數(shù)問題，解答本題可采用數(shù)形結(jié)合的方法.解

方法一：∵f(0)=1+0-2=-1＜0,f(2)=4+lg3-2≈2.48＞0,由根的存在性定理知，f(x)在（0,2）上必定存在實根,又顯然f(x)=

+lg(x+1)-2在（0,+∞）上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個實根.方法二：在同一坐標(biāo)系下作出h(x)=2-

和g(x)=lg(x+1)的疊合圖.由圖象知y=lg(x+1)和y=2-

有且只有一個交點，即f(x)=

+lg(x+1)-2有且只有一個實數(shù)根.舉一反三答案:

C2.方程

-x-1=0在［1,1.5］內(nèi)實數(shù)解有(

)A.3個

B.2個C.至少1個

D.0個解析:

方程

-x-1=0在［1,1.5］內(nèi)實數(shù)解的個數(shù)，即為函數(shù)f(x)=

-x-1在［1,1.5］內(nèi)零點的個數(shù)，由f(1)·f(1.5)＜0可知f(x)=

-x-1在［1,1.5］內(nèi)至少有1個變號零點，故方程

-x-1=0在［1,1.5］上至少有1個實數(shù)解.

題型三判斷函數(shù)零點所在大致區(qū)間例3方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為（）

A.(0，2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)分析構(gòu)造函數(shù)并轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點位于的區(qū)間，令f(x)=log3x+x-3，則f(2)=log32+2-3=log3<0，f(3)=log33+3-3=1>0,那么方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為(2,3).解

C舉一反三3.求證：方程

-7x-1=0的根一個在區(qū)間（-1,0）上，另一個在區(qū)間（1，2）上.證明:

欲證方程

-7x-1=0的兩根分別位于區(qū)間(-1,0)和（1，2）上,即證在（-1,0）和(1,2)上分別有一個零點.設(shè)f(x)=

-7x-1,則f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11＜0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15＜0.由于二次函數(shù)f(x)=

-7x-1是連續(xù)的，故f(x)在（-1,0）和(1,2)上都有零點，即方程

-7x-1=0的一個根在（-1,0）上，另一個根在（1,2）上.第2課時

用二分法求方程的近似解基礎(chǔ)梳理連續(xù)不斷f(a)·f(b)<0逐步逼近f(a)及f(b)的符號相反（a＜b），在a與b之間1.二分法的概念對于在［a，b］上，且的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩個端點，進而得到零點近似值的方法.2.二分法的理論依據(jù)如果函數(shù)y=f(x)是連續(xù)的，且那么方程f(x)=0存在一個根.3.二分法求函數(shù)零點的步驟（給定精確度ε）(1)確定區(qū)間［a,b］，驗證

,給定精確度ε;(2)求區(qū)間（a,b）的中點

=

.(3)計算f(

).①若f(

)=0,則

就是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(

)＜0,則令

=b［此時零點x0∈(a,

)］;③若f(

)·f(b)＜0,則令

=a［此時零點x0∈(

,b)］.(4)判斷是否達到精確度ε，即若|a-b|＜ε,則得到零點近似值a（或b）,否則重復(fù)(2)~(4).f(a)·f(b)＜0典例分析題型一

求方程近似解解

由于f（-2）=-1＜0,f(-3)=4＞0，故取區(qū)間［-3,-2］作為計算的初始區(qū)間,用二分法逐次計算，列表如下：

例1

求函數(shù)f(x)=

的負(fù)零點.（精確到0.1）區(qū)間中點中點函數(shù)值［-3,-2］-2.51.25［-2.5,-2］-2.250.0625［-2.25,-2］-2.125-0.484375［-2.25,-2.125］-2.1875-0.21484375［-2.25,-2.1875］-2.21875-0.077148437舉一反三根據(jù)上表計算知，區(qū)間［-2.25,-2.1875］的長度是0.0625＜0.1，所以函數(shù)的負(fù)零點可取-2.1875.1.求方程

+3x=7的近似值.（精確到0.1）解析:

原方程即

+3x-7=0，令f(x)=

+3x-7，并結(jié)合y=

與y=-3x+7的圖象知方程f(x)=0只有一解.計算f(1)=2+3-7=-2＜0,f(2)=

+3×2-7=3>0，可知

∈(1,2).取區(qū)間(1,2)的中點

=1.5,用計算器可得f(1.5)≈0.33＞0;再取(1,1.5)的中點

=1.25,f(1.25)≈-0.87＜0.例2

利用計算器求方程lgx=3-x的近似解.（精確度0.1）分析

本例是超越方程根的求解，而且是求近似值，故解答本題可采用二分法逐步逼近.∴f(1.25)·f(1.5)＜0,∴

∈(1.25,1.5).同理可求得

∈(1.375,1.5),

∈(1.375,1.4375),此時區(qū)間端點精確到0.1的近似值都是1.4,∴原方程精確到0.1的近似解為1.4.解

設(shè)f(x)=lgx+x-3,在同一坐標(biāo)系中，作出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖所示，觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)lgx=3-x有唯一解

,且

∈(2,3),f(2)＜0,f(3)＞0，利用二分法可列下表：由于|2.625-2.5625|=0.0625＜0.1,所以原方程的近似解可取2.5625.區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值（2，3）2.5-0.102059991(2.5,3)2.750.189332693(2.5,2.75)2.6250.044129307(2.5,2.625)2.5625-0.028836125(2.5625,2.625)舉一反三2.求

的近似值.（精確度0.01）解析:

設(shè)x=

，則

=2,即

-2=0，令f(x)=

-2,則函數(shù)f(x)的零點的近似值就是

的近似值，以下用二分法求其零點.由f(1)=-1＜0,f(2)=6＞0,故可以取區(qū)間［1,2］為計算的初始區(qū)間.用二分法逐次計算，列表如下：區(qū)間中點值中點函數(shù)近似值(1,2)1.51.375(1,1.5)1.25-0.0469(1.25,1.5)1.3750.5996(1.25,1.375)1.31250.2610(1.25,1.3125)1.281250.1033(1.25,1.28125)1.2656250.0273(1.25,1.265625)1.2578125-0.01題型二

用二分法解決實際問題例3

在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個點要爬一次電線桿，10km長大約有200多根電線桿.想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？分析

可以利用二分法的原理進行查找.解

如圖，他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，則斷定故障在BC段;再到BC段中點D，這次若發(fā)現(xiàn)BD段正常，則斷定故障在CD段;再到CD中點E來查……這樣每查一次，就可把待查的線路長度縮減到一半，故經(jīng)過7次查找，即可將故障發(fā)生范圍縮小到50~100m之間，即一兩根電線桿附近.由于區(qū)間［1.2578125,1.265625］的長度1.265625-1.2578125=0.0078125＜0.01,1.265625是函數(shù)零點的近似值，即32的近似值是1.265625.舉一反三3.如圖，有一塊邊長為30cm的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為xcm的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，如果要做成一個容積為1200

的無蓋盒子，那么截去的小正方形的邊長x是多少厘米？（精確到0.1cm）解析:

設(shè)盒子的體積為y，則以x為自變量的函數(shù)解析式為y=

如果要做成一個容積是1200

的無蓋盒子，那么有方程

=1200,其定義域為{x|0＜x＜15}.令f(x)=

-1200,借助計算機畫出函數(shù)圖象.由圖象可以看出，函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(1,2)和（9,10）內(nèi)各有一個零點，即方程

=1200分別在區(qū)間(1,2)和（9，10）內(nèi)各有一個解.下面用二分法求方程的近似解.取區(qū)間（1，2）的中點

=1.5,用計算器算得f(1.5)=-106.5＜0.因為f(1.5)·f(2)＜0,所以

∈(1.5,2).同理可得,

∈(1.5,1.75),

∈(1.625,1.75),

∈(1.6875,1.75),

∈(1.6875,1.71875),

∈(1.6875,1.703125),

∈(1.6875,1.6953125).由于|1.6953125-1.6875|=0.0078125＜0.1,此時區(qū)間（1.6875,1.6953125）兩個端點精確至0.1的近似值都是1.7,所以方程在區(qū)間(1,2)內(nèi)精確到0.1的近似解為1.7，同理可得方程在區(qū)間(9,10)內(nèi)精確到0.1的解為9.4.故如果要做成一個容積為1200

的無蓋盒子，截去的小正方形的邊長大約是1.7cm或9.4cm.第3課時

幾類不同增長的函數(shù)模型1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

性質(zhì)y=

(a＞1)y=

(a＞1)y=

(n＞0)在(0，+∞)上的增減性增長的速度相對平穩(wěn)圖象的變化隨x增大逐漸隨x增大逐漸隨n值而不同增函數(shù)基礎(chǔ)梳理增函數(shù)增函數(shù)越來越快越來越慢平行于x軸平行于y軸速度不同2.函數(shù)y=

(a＞1)，y=

(a＞1)和y=

(n＞0)增長速度的對比（1）對于指數(shù)函數(shù)y=

（a＞1）和冪函數(shù)y=

（n＞0），在區(qū)間（0,+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，

會小于

，但由于

快于

,

因此總存在一個

當(dāng)x＞

時，就會有

.（2）對于對數(shù)函數(shù)y=

(a＞1)和冪函數(shù)y=

(n＞0)，在區(qū)間（0,+∞）上，盡管在x的一定范圍內(nèi),

可能會大于

,但由于

慢于

，因此總存在一個

,當(dāng)x＞

時，就會有

.（3）在區(qū)間（0,+∞）上，盡管函數(shù)y=

(a＞1)，y=

(a＞1)和y=

(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長

，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大，總會存在一個

,當(dāng)x＞

時，就會有

.y=的增長y=

的增長y=的增長y=的增長典例分析題型一

一次函數(shù)模型問題例1

為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中所使用的“便民卡”與“如意卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天）的通話時間x（分）與通話費y（元）的關(guān)系如下圖所示：（1）分別求出通話費

,

與通話時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請幫助用戶計算，在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜.分析

由圖象可知，函數(shù)模型為直線型，可用待定系數(shù)法先設(shè)出函數(shù)，再求出解析式，然后比較大小.解（1）由圖象可設(shè)

=

x+29,

=

x，把點B(30，35)，C(30,15)分別代入

,

得

=15,

=12，∴

=15x+29,

=12x.(2)令

=

,即15x+29=12x，則x=9623.當(dāng)x=9623時，

=

,兩種卡收費一致；當(dāng)x＜9623時，

＞

,即“如意卡”便宜；當(dāng)x＞9623時，

＜

,即“便民卡”便宜.舉一反三1.“依法納稅是每個公民應(yīng)盡的義務(wù)”，國家征收個人工資、薪金所得稅是分段計算的：總收入不超過1600元的，免征個人工資、薪金所得稅；超過1600元部分需征稅，設(shè)全月納稅所得額（所得額指工資、薪金中應(yīng)納稅的部分）為x，x=全月總收入-1600元,稅率見下表：級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額x稅率1不超過500元部分5%2超過500元至2000元部分10%3超過2000元至5000元部分15%………9超過100000元部分45%（1）設(shè)應(yīng)納稅額f(x），試用分段函數(shù)表示1~3級納稅額f(x)的

計算公式；（2）某人2007年10月份工資總收入為4200元，試計算這個人10月份應(yīng)納個人所得稅多少元？解析：（1）依稅率表，有第一段：x×5%,第二段：(x-500)×10%+500×5%,第三段：(x-2000)×15%×10%+500×5%.(2)這個人10月份納稅所得額x=4200-1600=2600,f(2600)=0.15×2600-125=265.答：這個人10月份應(yīng)繳納個人所得稅265元.題型二

指數(shù)函數(shù)模型問題例2

按復(fù)利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式.如果存入本金1000元，每期利率2.25%,試計算5期后的本利和是多少.分析

復(fù)利是把前一期的本息加在一起作為下一期的本金.先求出函數(shù)解析式，再求函數(shù)值.答：復(fù)利函數(shù)式為y=

,5期后的本利和為1117.68元.解

已知本金為a元.1期后的本利和為

=a+a×r=a(1+r);2期后的本利和為

=a(1+r)+a(1+r)r=3期后的本利和為

……x期后的本利和為y=將a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得y=

=

.由計算器算得y≈1117.68（元）.2.某企業(yè)計劃發(fā)行企業(yè)債券，每張債券現(xiàn)值500元，按年利率6.5%的復(fù)利計息，問:多少年后每張債券一次償還本利和約1000元？（lg2≈0.3010，lg1.065≈0.0273）答：11年后每張債券一次償還本利和約1000元.解析:

設(shè)n年后每張債券一次償還本利和1000元.題型三

分段函數(shù)模型問題分析

陰影部分隨著t的增加而變化，直線過A點前后陰影部分的幾何形狀不一樣，因此應(yīng)分段求出面積、表達式，然后合成一個分段函數(shù).例3

如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，△AOB是邊長為2的等邊三角形，設(shè)直線x=t（0≤t≤2）截這個三角形可得位于此直線左方的圖形的面積為f(t).(1)求函數(shù)f(t)的表達式，并注明定義域；（2）畫出函數(shù)f(t)的簡圖.解

（1）當(dāng)0≤t≤1時，如圖1所示，有f(t)=當(dāng)1＜t

≤

2時，如圖2所示，有(2)f(t)的圖象為：舉一反三3.某人開車以50km/h速度從A地出發(fā)，出發(fā)后1小時，因車壞停留2小時修車，修好后以80km/h的速度行駛，2小時后到達B地，再以70km/h的速度返回A地.把車速v（km/h）表示為時間t（h）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象.解析:

車速vkm/h與時間th的函數(shù)關(guān)系：它的圖象如圖所示：第4課時

函數(shù)模型的應(yīng)用實例基礎(chǔ)梳理1.函數(shù)模型應(yīng)用的兩個方面（1）利用已知函數(shù)模型解決問題；（2）建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進行預(yù)測.2.應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程典例分析題型一

已知函數(shù)模型的應(yīng)用題分析

解答本題可先列方程組求出待定系數(shù)，進而確定函數(shù)關(guān)系式，最后再求具體的函數(shù)值.例1

設(shè)在海拔xm處的大氣壓強是yPa,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是

其中c,k為常量，已知某地某天海平面的大氣壓為

Pa,1000m高空的大氣壓為

Pa,求600m高空的大氣壓強.（結(jié)果保留3個有效數(shù)字）解

將x=0,y=

,x=1000,y=

,分別代入函數(shù)式

得由①得c=將c=

代入②，得

=由計算器算得k

≈∴y=將x=600代入上述函數(shù)式，得由計算器算得答：600m高空的大氣壓約為舉一反三1.如圖是一份從2000年初到2003年初的統(tǒng)計圖表，根據(jù)此圖表得到以下說法中，正確的有（）①這幾年人民生活水平逐年得到提高;②人民生活費收入增長最快的一年是2000年;③生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2001年;④雖然2002年生活費收入增長較緩慢，但由于生活價格指數(shù)也略有降低，因而人民生活有較大的改善.A.1項B.2項C.3項D.4項解析:

根據(jù)圖象,“生活費收入指數(shù)”減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故①正確.“生活費收入指數(shù)”2000—2001年最“陡”,故②正確.生活價格指數(shù)下降，而“生活費收入指數(shù)”曲線呈上升趨勢，故③正確.答案:

C題型二

自建函數(shù)模型的應(yīng)用題例2某市原來民用電價為0.52元/kW·h,換裝分時電表后，峰時段(早上八點到晚上九點）的電價為0.55元/kW·h，谷時段（晚上九點到次日早上八點）的電價為0.35元/kW·h.對于一個平均每月用電量為200kW·h的家庭，要使節(jié)省的電費不少于原來電費的10%,則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為多少kW·h?分析先求出原來用電的費用，再設(shè)出峰時段的用電量建立不等式求解.解原來電費y1=0.52×200=104(元).設(shè)峰時段用電量為xkW·h，谷時段用電量為(200-x)kW·h,電費為y.則y=x×0.55+(200-x)×0.35≤(1-10%)y1,即0.55x+70-0.35x≤93.6,0.2x≤23.6,∴x≤118.即這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為118kW·h.舉一反三2.(改編題)某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):其中x是儀器的月產(chǎn)量.當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?(總收益=總成本+利潤)解析:

設(shè)每月產(chǎn)量為x臺,則總成本為20000+100x,

當(dāng)0≤x≤400時,∴當(dāng)x=300時,有最大值25000;當(dāng)x>400時,f(x)=60000-100x是減函數(shù),f(x)<6000