全等三角形輔助線做法講義

龍文教育 中小學龍文教育 中小學1對1課外輔導專家龍文教育教務處龍文教育教務處全等三角形問題中常見的輔助線的作法巧添輔助線一一一倍長中線【夯實基礎】例：AABC中， 是/BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作D，于，作D，于，證明二次全等方法：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法—-倍長中線AA△ABC中AD是BC邊中線B方式1：延長AD到E,使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長AE【經(jīng)典例題】作CF±于，作BE±的延長線于連接BE延長到，使,連接CD例1：^ABC中，AB=5,AC=3,求中線AD的取值范圍例2：已知在4ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F,<DF=EF,求證：BD=CE例3：已知在4ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC,延長BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長AD至G,連接BG,證明△ 皿三角形BEG是等腰三角形龍文教育 中小學龍文教育 中小學1對1課外輔導專家龍文教育教務處龍文教育教務處龍文教育教務處 龍文教育教務處 C例5：已知CD=AB,NBDA=NBAD,AE是4的中線，求證：NC=NBAE提示：倍長AE至F,連結DF證明△ 2A ()進而證明4 2A ()【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，AB〃c為邊的中點，NBAE=NEAF,AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論提示：延長、交于證明=所以2、如圖，AD為AABC的中線， 平分/BDA交AB于E,DF平分/ADC交AC于F.求證:BE+CF>EF3、已知：如圖，AABC中，/C=90。，CM1AB于M,AT平分ZBAC交CM于D,交BC于T,過D作DE//AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TNL于TE證明△皿

TE截長補短法引輔助線思路：當已知或求證中涉及到線段a、有下列情況時：［±8=□，如直接證不出來，可采用截

長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等，這兩

種方法放在一起叫截長補短法。通過線段的截長補短，構造全等把分散的條件集例1如圖，通過線段的截長補短，構造全等把分散的條件集例1如圖，D C中起來。中，N2。D C中起來。中，N2。+CD延長AC至點F,使得AF=AB在4ABD和4AFD中^AB=AF。Zl=Z2AD=AD/.△ABD^^AFDCA）???NB=NF???NACB=2NB.??NACB=2NF而NACB=NF+NFDC.??NF=NFDC.??CD=CF而AF=AC+CF.??AF=AC+CD.??AB=AC+CD證法二（截長法）例2如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,NBAC=90°CELBD交BD的延長線于E,證明：BD=2CE。在AB上截取AE=AC,連結DE在在AB上截取AE=AC,連結DE在4AED和4ACD中工9=AC<Zl=Z2AD=AD/.△AED^^ACDCAS：.DE=DC,乙4即=/C：.2ZB=/B+/EDB/.乙B=AEDB：.EB=ED=DC：.AB=AE+EB=AC+DC F，N1=N2， \/\CE—pg—_1(jpCE交于F,證ABEF2△BEC,得 2 ，再證AABD2AACF,得BD=CF。i如圖，AABC中，AB ACAD平分/BAC，且ADBD求證：CDXAC2如圖，AC〃BD,EAE盼別平分/CABNDBA,CD過點E, D求證A吃ACBD 相W D曾、如圖，已知在口ABC內(nèi)，/BAC=600,/C=400,,分別在BBC,CA上，并且A,B分別是/BAC,/ABC的角平分線。求證：BBAABB4如圖，在四邊形ABCD中，BOBAAFCD,BD平分/ABC,求證：/A+ZC=1800BB已知：如圖，AABC中，人口平分/8人0若NCNB證明：ABACCDB己知：如圖，&BC中，NA60NB與NC的平分線BEC交于點，求證：BCBFCE己知：如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分NCBE交CD于求證：BECFAE龍文教育 中小學龍文教育 中小學1對1課外輔導專家龍文教育教務處龍文教育教務處龍文教育 中小學龍文教育 中小學1對1課外輔導專家龍文教育教務處 龍文教育教務處 B與角平分線有關的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：、對稱性；、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。（）截取構全等如圖,NCO如取,并連接、，則有△ ^^F從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例.如圖-，平分/B例.如圖-，平分/B平分/，點在上，求證： 。簡證：在此題中可在長線段上截取,再證明,從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自己證明。此題的證明也可以延長與的延長線交于一點來證明。自己試一試。例.已知：如圖, 2NN, =求證±分析：此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自己證明。證:例3已知：如圖,在4中，NN證:例3已知：如圖,在4中，NN平分/A求圖C分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。練習已知在△中，平分/ANN,求證：已知：在4 中，NNb 平分/交于，，求證:已知：在4中， 為N的平分線，為上任一點。求證:已知：是4的N 的外角的平分線上的任一點，連接、證求證:（）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。求證：NN分析：可由向N的兩邊作垂線。近而證N與N之和為平角。例求證：NN分析：可由向N的兩邊作垂線。近而證N與N之和為平角。的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。的和差倍分問題，從中利用了相當于截取的方法。例.如圖-在4中，N, =NN、求證：分析：過作，于，則 ，則構造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段例3已知如圖,4 的角平分線、相交于點。求證：N的平分線也經(jīng)過點。龍文教育龍文教育龍文教育教務處龍文教育教務處斤：連接P證平分/即可，也就是證到中小學1對1課外輔導專家的距離相等/XA如果/XA如果平分/A已知：如圖 在正方形 中，為的中點，為練習:1如圖NN則()2已知在△中，N求。.已知：如圖NN12( )求證：NN上的點，NN。求證:已知：如圖-在△中，N Xb垂足為平分/交于，過作交于H求證()、作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交)。例.已知：如圖 -NNa X于，是.、一 1求證： -( )分析：延長交于點，則可得全等三角形。問題可證。龍文教育 中小學龍文教育 中小學1對1課外輔導專家龍文教育教務處龍文教育教務處.已知：如圖的平分線，以求證:分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交近而構造出等腰三角形。例3已知：如圖分別N 的內(nèi)、外角平分線，過頂點作垂直交的延長線于F連結并延長交于。而有求證:分析:是N 內(nèi)外角平分線，可得!,所以想到利用比例線段證相等。N圖己知：如圖-在4中，平分/、，一一.、一 1交延長線于。求證：=分析:題設中給出了角平分線，自然想到以,,、，一 一，， ，一一一i作^關于的對稱△,然后只需證-關于的對稱4,也可嘗試作^)a即是N 的平分線，且 ±圖于，連接，求2已知分別是△的N的內(nèi)角與外角的平分線，，于，以于，連接分別交于MN求證(4)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線龍文教育 中小學龍文教育 中小學1對1課外輔導專家龍文教育教務處龍文教育教務處和圖所示。例如圖， NN2求證:例如圖， ,平分/B且求證：N+ i例如圖，〃，、分別平分/練習：已知，如圖，NN, 。2已知：如圖， ，N=23已知、是4的角平分線，C一—B-C- ，、一 D c各N，求證： 。/\A B求證：△ 是直角三角形。A RAB,求證：±B D… AN ,求證： AA有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖BDC?已知：如圖在△中，/分線，求證:的平、且垂直一線段，應想到、角平分線等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,BD平分/ABC交AC于點D,CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA,CE交于點尸，在ABEF和ABEC中，VZ1=Z2,BE二BE,ZBEF=ZBEC=90°,???ABEF2ABEC,???EF二EC,從而CF=2CE。又N1+NF=N3+NF=90°,故N1=N3。在AABD和^AACF中，??，N1=N3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,AABD2AACF,???BD二CF,??.BD=2CE。相交注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。相交（六）、借助角平