全等三角形輔助線做法講義

龍文教育 中小學(xué)龍文教育 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法巧添輔助線一一一倍長(zhǎng)中線【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：AABC中， 是/BAC的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作D，于，作D，于，證明二次全等方法：輔助線同上，利用面積方法3：倍長(zhǎng)中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法—-倍長(zhǎng)中線AA△ABC中AD是BC邊中線B方式1：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長(zhǎng)AE【經(jīng)典例題】作CF±于，作BE±的延長(zhǎng)線于連接BE延長(zhǎng)到，使,連接CD例1：^ABC中，AB=5,AC=3,求中線AD的取值范圍例2：已知在4ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F,<DF=EF,求證：BD=CE例3：已知在4ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G,連接BG,證明△ 皿三角形BEG是等腰三角形龍文教育 中小學(xué)龍文教育 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處 龍文教育教務(wù)處 C例5：已知CD=AB,NBDA=NBAD,AE是4的中線，求證：NC=NBAE提示：倍長(zhǎng)AE至F,連結(jié)DF證明△ 2A ()進(jìn)而證明4 2A ()【融會(huì)貫通】1、在四邊形ABCD中，AB〃c為邊的中點(diǎn)，NBAE=NEAF,AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)、交于證明=所以2、如圖，AD為AABC的中線， 平分/BDA交AB于E,DF平分/ADC交AC于F.求證:BE+CF>EF3、已知：如圖，AABC中，/C=90。，CM1AB于M,AT平分ZBAC交CM于D,交BC于T,過(guò)D作DE//AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過(guò)T作TNL于TE證明△皿

TE截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線思路：當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、有下列情況時(shí)：［±8=□，如直接證不出來(lái)，可采用截

長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等，這兩

種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。通過(guò)線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集例1如圖，通過(guò)線段的截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集例1如圖，D C中起來(lái)。中，N2。D C中起來(lái)。中，N2。+CD延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使得AF=AB在4ABD和4AFD中^AB=AF。Zl=Z2AD=AD/.△ABD^^AFDCA）???NB=NF???NACB=2NB.??NACB=2NF而NACB=NF+NFDC.??NF=NFDC.??CD=CF而AF=AC+CF.??AF=AC+CD.??AB=AC+CD證法二（截長(zhǎng)法）例2如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,NBAC=90°CELBD交BD的延長(zhǎng)線于E,證明：BD=2CE。在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE在在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE在4AED和4ACD中工9=AC<Zl=Z2AD=AD/.△AED^^ACDCAS：.DE=DC,乙4即=/C：.2ZB=/B+/EDB/.乙B=AEDB：.EB=ED=DC：.AB=AE+EB=AC+DC F，N1=N2， \/\CE—pg—_1(jpCE交于F,證ABEF2△BEC,得 2 ，再證AABD2AACF,得BD=CF。i如圖，AABC中，AB ACAD平分/BAC，且ADBD求證：CDXAC2如圖，AC〃BD,EAE盼別平分/CABNDBA,CD過(guò)點(diǎn)E, D求證A吃ACBD 相W D曾、如圖，已知在口ABC內(nèi)，/BAC=600,/C=400,,分別在BBC,CA上，并且A,B分別是/BAC,/ABC的角平分線。求證：BBAABB4如圖，在四邊形ABCD中，BOBAAFCD,BD平分/ABC,求證：/A+ZC=1800BB已知：如圖，AABC中，人口平分/8人0若NCNB證明：ABACCDB己知：如圖，&BC中，NA60NB與NC的平分線BEC交于點(diǎn)，求證：BCBFCE己知：如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分NCBE交CD于求證：BECFAE龍文教育 中小學(xué)龍文教育 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處龍文教育 中小學(xué)龍文教育 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家龍文教育教務(wù)處 龍文教育教務(wù)處 B與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：、對(duì)稱(chēng)性；、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。（）截取構(gòu)全等如圖,NCO如取,并連接、，則有△ ^^F從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例.如圖-，平分/B例.如圖-，平分/B平分/，點(diǎn)在上，求證： 。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段上截取,再證明,從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自己證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自己試一試。例.已知：如圖, 2NN, =求證±分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自己證明。證:例3已知：如圖,在4中，NN證:例3已知：如圖,在4中，NN平分/A求圖C分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。練習(xí)已知在△中，平分/ANN,求證：已知：在4 中，NNb 平分/交于，，求證:已知：在4中， 為N的平分線，為上任一點(diǎn)。求證:已知：是4的N 的外角的平分線上的任一點(diǎn)，連接、證求證:（）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。求證：NN分析：可由向N的兩邊作垂線。近而證N與N之和為平角。例求證：NN分析：可由向N的兩邊作垂線。近而證N與N之和為平角。的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例.如圖-在4中，N, =NN、求證：分析：過(guò)作，于，則 ，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段例3已知如圖,4 的角平分線、相交于點(diǎn)。求證：N的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)。龍文教育龍文教育龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處斤：連接P證平分/即可，也就是證到中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家的距離相等/XA如果/XA如果平分/A已知：如圖 在正方形 中，為的中點(diǎn)，為練習(xí):1如圖NN則()2已知在△中，N求。.已知：如圖NN12( )求證：NN上的點(diǎn)，NN。求證:已知：如圖-在△中，N Xb垂足為平分/交于，過(guò)作交于H求證()、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交)。例.已知：如圖 -NNa X于，是.、一 1求證： -( )分析：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。龍文教育 中小學(xué)龍文教育 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處.已知：如圖的平分線，以求證:分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖分別N 的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)作垂直交的延長(zhǎng)線于F連結(jié)并延長(zhǎng)交于。而有求證:分析:是N 內(nèi)外角平分線，可得!,所以想到利用比例線段證相等。N圖己知：如圖-在4中，平分/、，一一.、一 1交延長(zhǎng)線于。求證：=分析:題設(shè)中給出了角平分線，自然想到以,,、，一 一，， ，一一一i作^關(guān)于的對(duì)稱(chēng)△,然后只需證-關(guān)于的對(duì)稱(chēng)4,也可嘗試作^)a即是N 的平分線，且 ±圖于，連接，求2已知分別是△的N的內(nèi)角與外角的平分線，，于，以于，連接分別交于MN求證(4)、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線龍文教育 中小學(xué)龍文教育 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家龍文教育教務(wù)處龍文教育教務(wù)處和圖所示。例如圖， NN2求證:例如圖， ,平分/B且求證：N+ i例如圖，〃，、分別平分/練習(xí)：已知，如圖，NN, 。2已知：如圖， ，N=23已知、是4的角平分線，C一—B-C- ，、一 D c各N，求證： 。/\A B求證：△ 是直角三角形。A RAB,求證：±B D… AN ,求證： AA有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖BDC?已知：如圖在△中，/分線，求證:的平、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)尸，在ABEF和ABEC中，VZ1=Z2,BE二BE,ZBEF=ZBEC=90°,???ABEF2ABEC,???EF二EC,從而CF=2CE。又N1+NF=N3+NF=90°,故N1=N3。在AABD和^AACF中，??，N1=N3,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°,AABD2AACF,???BD二CF,??.BD=2CE。相交注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。相交（六）、借助角平