文科數(shù)學(xué)第七章概率統(tǒng)計(jì)初步

第六章概率統(tǒng)計(jì)初步6.1隨機(jī)事件和概率6.2隨機(jī)變量6.3統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析與處理6.4隨機(jī)模擬方法（不講）6.5應(yīng)用實(shí)例（不講）

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分配賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念數(shù)學(xué)期望.概率論的誕生在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。

“太陽每日從東天邊升起”;1.確定性現(xiàn)象

“同性電荷互斥”;“水從高處向低處流”;實(shí)例：自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象6.1隨機(jī)事件和概率6.1.1隨機(jī)事件、概率的統(tǒng)計(jì)定義在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”。2.隨機(jī)現(xiàn)象

“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不連續(xù)”等.結(jié)果：有可能出現(xiàn)正面；

也可能出現(xiàn)反面。確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果。結(jié)果：有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”。

實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”。

實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多枚，觀察炮彈著落點(diǎn)的情況”。結(jié)果:

彈落點(diǎn)(一般)各不相同。實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品”。結(jié)果：可能為:

正品，次品。實(shí)例5

“過馬路交叉口時(shí)，能遇上不同顏色的交通指揮燈”。結(jié)果：可能為紅色,綠色或黃色。實(shí)例6

“一只燈泡的壽命”可長(zhǎng)可短,應(yīng)為0～∞分鐘。2.

隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,這些結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的。那么,什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?歸納：1.

隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關(guān)系無法用一般函數(shù)加以描述。對(duì)某事物特征進(jìn)行觀察,統(tǒng)稱試驗(yàn).若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn),用E

表示試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果

基本術(shù)語

可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果組成的集合稱為樣本空間記為樣本空間的元素,即E

的直接結(jié)果,稱為樣本點(diǎn)(or基本事件)

常記為，={}（基本事件是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件）

基本術(shù)語

例1

給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間有限樣本空間投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度觀察某地區(qū)每天的最高和最低溫度無限樣本空間隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的子集(或某些樣本點(diǎn)的集合)，稱為

E

的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱為事件。

試驗(yàn)中，骰子“出現(xiàn)的是1點(diǎn)”,“出現(xiàn)的是2點(diǎn)”,…,“出現(xiàn)的是6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,

實(shí)例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：隨機(jī)事件。數(shù)為偶數(shù)”等都為“點(diǎn)

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間,樣本空間的子集稱隨機(jī)事件。隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件必然事件、不可能事件Φ是兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件。

寫出擲骰子試驗(yàn)的樣本點(diǎn),樣本空間,基本事件,事件A—出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)和事件B—出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)。解：用

表示擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為

基本事件

例2事件={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}

例3

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E為“將一枚硬幣拋擲3次，觀測(cè)正面H、反面T出現(xiàn)的情況”,則E的樣本空間

={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}；

事件“第一次出現(xiàn)的是正面”

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}；

事件“三次出現(xiàn)的是同一面”

A2={HHH,TTT}；

事件“三次出現(xiàn)兩次正面”

A3={HHT,HTH,THH}。概率的統(tǒng)計(jì)定義性質(zhì)設(shè)

A是隨機(jī)試驗(yàn)E的任一事件,則實(shí)例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大,但隨n

的增大,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f總是在0.5附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的n,所得的f不一定相同;實(shí)驗(yàn)者德.摩根蒲豐K.皮爾遜K.皮爾遜204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要結(jié)論

頻率當(dāng)n較小時(shí)波動(dòng)幅度比較大,當(dāng)n逐漸增大時(shí),頻率趨于穩(wěn)定值,這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小.它就是事件的概率.在隨機(jī)試驗(yàn)中,若事件A出現(xiàn)的頻率m/n隨定義（概率的統(tǒng)計(jì)定義）(1)對(duì)任一事件A,有性質(zhì)(概率統(tǒng)計(jì)定義的性質(zhì))則定義事件A的概率為p,記作P(A)=p.著試驗(yàn)次數(shù)n的增加,趨于某一常數(shù)p,

概率的統(tǒng)計(jì)定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容，但也有不足，即無法根據(jù)此定義計(jì)算某事件的概率。6.1.2隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算則稱為

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件即A與B不可能同時(shí)發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

事件的運(yùn)算滿足的規(guī)律古典型隨機(jī)試驗(yàn)如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下特征1、試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；2、每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。6.1.3古典概型問題1：向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？有限性等可能性問題2：某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果有：“命中10環(huán)”、“命中9環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”。你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？有限性等可能性1099998888777766665555

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成,A為E的任意一個(gè)事件,且包含

m個(gè)樣本點(diǎn),則事件A出現(xiàn)的概率記為:古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

古典概型的基本模型（摸球模型)(1)

無放回地摸球(無放回抽樣)問題1

設(shè)袋中有M個(gè)白球和

N個(gè)黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出m+n個(gè)球,求所取球恰好含m個(gè)白球n個(gè)黑球的概率?樣本點(diǎn)總數(shù)為：A所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為：解：設(shè)A=“所取球恰好含m個(gè)白球,n個(gè)黑球”，。(2)

有放回地摸球(有放回抽樣)問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求“前2次摸到黑球,第3次摸到紅球”以及“至少摸到一只黑球”的概率.解第1次摸球10種每次摸球10種10種第1次摸到黑球6×6種前2次摸到黑球4種第3次摸到紅球樣本點(diǎn)總數(shù)為A所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為課堂練習(xí)2o

電話號(hào)碼問題

在7位數(shù)的電話號(hào)碼中,求各位數(shù)字互不相同的概率.

3o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.設(shè)B={至少摸到一只黑球},則p(B)=1-=0.064.1o將一枚硬幣連拋3次,求恰有一次出現(xiàn)正面及至少有一次出現(xiàn)正面的概率.答案：3/8；1-1/8=7/8.古典概型的基本模型（放球入盒模型)(1)

盒子容量無限問題1

把

4個(gè)球放到

3個(gè)盒子中去,求第1、2個(gè)盒子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)盒子可放任意多個(gè)球.

解:4球放3盒的所有放法數(shù)為因此第1、2個(gè)盒子中各有兩個(gè)球的概率為:(2)

每個(gè)盒子只能放一個(gè)球問題2

把4個(gè)球放到10個(gè)盒子中去,每個(gè)盒子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)盒子各放一個(gè)球的概率.解:第1至第4個(gè)盒子各放一個(gè)球的概率為1.加法公式

對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有特別地，（1）若A與B互不相容，則（2）若A與B為對(duì)立事件，則可推廣到有限多個(gè)互不相容事件：若A1，A2，…，An兩兩之間互不相容，則6.1.4加法公式與乘法公式（3）證明：例5

設(shè)、為兩事件，且設(shè)，求解:而所以于是例5：某家庭中有兩個(gè)孩子，已有一個(gè)孩子是女孩的條件下，求另一個(gè)也是女孩的概率．解：

=｛男男，男女，女男，女女｝

B=｛已有一個(gè)孩子是女孩｝在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，通常稱為條件概率，記為P(A|B).從而2.條件概率和乘法公式A=｛另一個(gè)也是女孩｝=｛男女，女男，女女｝=｛女女｝例6

設(shè)某種動(dòng)物從出生起活20歲以上的概率為80%，活25歲以上的概率為40%．如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，求它能活25歲以上的概率．

解：設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件，

B表示“能活25歲以上”的事件,則有所求概率為由于BA,所以P(AB)=P(B),由條件概率公式容易得到下面定理．定理設(shè)A與B是同一樣本空間中的兩個(gè)事件，如果P(A)>0，則

如果P(B)>0，則

上面均稱為事件概率的乘法公式．定理1容易推廣到求多個(gè)事件積事件概率的情況．事實(shí)上可進(jìn)一步推廣如下:右側(cè)的條件概率均有意義,解:

設(shè)事件A={取到的整數(shù)能被6整除},事件B={取到的整數(shù)能被8整除},則所求概率

P()=P()=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-{[2000/6]/2000+[2000/8]/2000-[2000/([6,8])]/2000}=1-333/2000-250/2000+83/2000=3/4.典型例題例7

在1～2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù).求取到的整數(shù)既不能被6也不能被8整除的概率.

例8

有n個(gè)人,每個(gè)人都以同樣的概率1/N被分配在間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)指定某n間房中各有一人;(2)恰有n間房,其中各有一人；

(3)指定某一間房中恰有人。

解:先求樣本空間中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)：把n個(gè)人分到N間房中去共有種分法；然后求每種情形下事件所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)：(2)恰有n間房中各有一人，所有可能的分法為

：(1)指定某n間房中各有一人，所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可能的的分法為：(3)指定某一房間中恰有m人，可能的分為：

于是有下述三種情形下事件的概率:(1)

（2）

(3)

上述分房問題中,若令則可演化為生日問題。設(shè)全班學(xué)生30人，當(dāng)

(1)指定某30天,每位學(xué)生生日各占一天的概率；

(2)全班學(xué)生生日各不相同的概率；(3)全年某天,恰有二人在這一天同生日的概率。

在上述條件下，其概率分別為:(1)

(2)(3)

由(2)即知,全班30人至少有2人生日相同的概率等于1－0.294=0.706,這個(gè)值大于70%。一般地

假設(shè)每人的生日,在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率,并對(duì)這類問題做一般討論。

64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解:。例9

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的。

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的。解:周一周二周三周四周五周六周日77777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有……小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的(稱實(shí)際推斷原理)

,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的。周一周二周三周四周五周六周日周二周四2222212次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為……例10某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，試求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率．

解：設(shè)A=“任取的一件是合格品”，

B="任取的一件是一等品"．因?yàn)?/p>

且B

A所以例11.某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)．求他撥號(hào)不超過三次而接通電話的概率．若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？解：設(shè)Ai=“第i次接通電話”，i

=1，2，3，

B=“撥號(hào)不超過3次接通電話”，則事件B的表達(dá)式為利用概率的加法公式和乘法公式

若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場(chǎng)券5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場(chǎng)券”，其余的什么也沒寫.將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

到底誰說的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！蓖ㄟ^規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.下面介紹用公理給出的概率定義.1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡(jiǎn)單，但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.6.1.5概率的公理化定義設(shè)

E是隨機(jī)試驗(yàn),

Ω是它的樣本空間,對(duì)于E

的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù),記為P

(A),若P滿足：則稱P(A)為事件A的概率.概率的公理化定義概率的性質(zhì):

1.

(有限可加性）若隨機(jī)事件兩兩互斥,則4.(加法定理）對(duì)任意事件A,

B,

有2.對(duì)任一事件A,有3.(減法定理）對(duì)任意事件A,

B,

若,則有獨(dú)立事件由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會(huì)出現(xiàn)：則有引例注.

1o說明

事件A

與B相互獨(dú)立,是指事件A

的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥若A與B互斥，則AB=B發(fā)生時(shí)，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會(huì)影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨(dú)立.理解:BA若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立.①②③注

稱此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.甲,乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.解:設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}B={乙擊中敵機(jī)}C={敵機(jī)被擊中}依題設(shè),∴A與B不互斥例12(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(AB))由于甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,進(jìn)而=0.8三事件兩兩相互獨(dú)立的概念定義

設(shè)A1，A2，…，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

n

個(gè)事件的獨(dú)立性定義若事件A1，A2，…，An

中任意兩個(gè)事件相互獨(dú)立，即對(duì)于一切1≤i<j≤n,有定義兩個(gè)結(jié)論n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用則“

至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為

P(A1…An)=1-(1-p1)…(1-pn)若設(shè)n個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個(gè)不發(fā)生”的概率為“=1-p1

…pn

對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化：例13三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人編號(hào)為1，2，3，所求為

P(A1+A2+A3)記

Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}i=1,2,3記

Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}i=1,2,312所求為

P(A1+A2+A3)已知,

P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

P(A1+A2+A3)=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]3例14加工某一零件共需經(jīng)過四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率3%,假定各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.解:本題應(yīng)先計(jì)算合格品率,這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)便.設(shè)為四道工序發(fā)生次品事件,加工出來的零件為次品的事件,的事件,則為產(chǎn)品合格故有為分別是2%,3%,5%,

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>06.1.6全概率公式與貝葉斯公式ΩA1A2A3A4A6A7A5A8B由概率的可加性及乘法公式,有

這個(gè)公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式.

全概率公式

利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算問題，化為若干互不相容的較簡(jiǎn)單情形，分別求概率然后求和．例15

市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30％、20％、50％,且三家工廠的次品率分別為3％、3％、1％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率.設(shè)A1、A2、A3分別表示買到一件甲、乙、丙的產(chǎn)品；B表示買到一件次品，解:加權(quán)平均顯然A1、A2、A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組，由題意有由全概率公式，例16

袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？解分別記A,B為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式,

在上面例15中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到貝葉斯公式.(貝葉斯公式)

定理貝葉斯公式

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因Ak的概率.所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的.例17已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為30％、20％、50％,次品率分別為3％、3％、1％.如果買了一件商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少?0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解

全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”

,而貝葉斯公式的作用在于“由結(jié)果推原因”

:現(xiàn)在一個(gè)“結(jié)果”

A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了這一結(jié)果？

故貝葉斯公式也稱為“逆概公式”.

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為比如原來認(rèn)為作案可能性較小的某丙，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情細(xì)節(jié)后,這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(A1|B)知道B發(fā)生后P(A2

|B)P(A3|B)偏小最大解:例1810個(gè)乒乓球有7個(gè)新球3個(gè)舊球.第一次比賽時(shí)隨機(jī)取出2個(gè)，用過后放回.現(xiàn)在第二次比賽又取出2個(gè)，問第二次取到幾個(gè)新球的概率最大？

具體計(jì)算得

由全概率公式，

所以第二次取到一個(gè)新球的概率最大.

則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努里概型.若n

次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：1)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A或2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，(在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）6.1.7貝努里概型一般地，對(duì)于貝努里概型，有如下公式：定理如果在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：二項(xiàng)概率公式推導(dǎo)如下：且兩兩互不相容.稱上式為二項(xiàng)分布.記為例19某種小樹移栽后的成活率為90%,區(qū)移栽了20棵,一居民小求能成活18棵的概率.解觀察一棵小樹是否成活是隨機(jī)試驗(yàn)每棵小樹只有“成活”或“沒成活”兩種可能結(jié)果,且可以認(rèn)為,小樹成活與否是彼此獨(dú)立的,因此觀察20棵小樹是否成活設(shè)所求概率為則由伯努利公式可得努利試驗(yàn).的20重伯可以看成是概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律

性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，

就要用數(shù)

學(xué)分析的方法來研究，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量

化.當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示

時(shí)，

就建立起了隨機(jī)變量的概念．

6.2隨機(jī)變量引例1

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,

觀察摸出球的顏色.

S={紅色、白色}

非數(shù)量

將S數(shù)量化

可采用下列方法

紅色白色隨機(jī)變量的引入

即有

X(紅色)=1,

X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的

S={紅色，白色}數(shù)量化了.

引例2

拋擲骰子,

觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量

恒等變換且有

無論是數(shù)量性質(zhì)的還是非數(shù)量性質(zhì)的試驗(yàn),都可以用數(shù)值來表示其試驗(yàn)結(jié)果.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是Ω,若對(duì)其中每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)ξ(ω)與之對(duì)應(yīng),則稱這個(gè)實(shí)值函數(shù)ξ(ω)

為隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為ξ.隨機(jī)變量的分類離散型(1)離散型

定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)R,且只取有限個(gè)或可列個(gè)值的隨機(jī)變量,叫做一維離散型隨機(jī)變量.

觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它實(shí)例2

若隨機(jī)變量X記為

“連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”,

則X

的可能值是:

(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”則X的取值范圍.實(shí)例2

隨機(jī)變量X為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)誤差”.則X的取值范圍為

(a,b)內(nèi)的任一值.說明：

（1）概率分布（分布列）定義：6.2.1離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量的分布列也可表示為

X

012

P0.30.60.1例20.在3件正品2件次品組成的產(chǎn)品中,任取2件,求取到次品數(shù)X的概率分布。解：X

所有可能取值為0，1，2{X=0}表示“所取2件全為正品”，故同理（2）幾種常見的離散型概率分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從（0—1）分布或兩點(diǎn)分布.1.兩點(diǎn)分布實(shí)例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.

隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為實(shí)例2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明2.二項(xiàng)分布實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布例21

在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從b

(5,0.6)的二項(xiàng)分布.解：因此例22計(jì)算繁瑣！

有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則解：例23故所求概率為二項(xiàng)分布

泊松分布計(jì)算量太大！3.泊松分布

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,

去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.6.2.1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布對(duì)于隨機(jī)變量ξ

,

稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱分布函數(shù).密度函數(shù)的基本性質(zhì)若存在非負(fù)函數(shù)f(x),

使得隨機(jī)變量ξ

的分布函數(shù)F(x)可以表示成則稱f(x)為ξ的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱密度函數(shù).概率密度函數(shù)的性質(zhì)1o2o這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某X的概率密度函數(shù)的充要條件.

f(x)xo面積為1由此得1)對(duì)連續(xù)型X,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,可見，由P(A)=0,不能推出

并非必然事件由P(B)=1,不能推出

B=若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從上的均勻分布。記為幾種常見的連續(xù)型概率分布1.均勻分布

均勻分布的概率密度和分布函數(shù)圖形如下：分布函數(shù)：則稱

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.若隨機(jī)變量

X具有概率密度常簡(jiǎn)記為

X~E().2.指數(shù)分布

分布函數(shù)：思考題若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中μ，為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為μ和的正態(tài)分布記為3.正態(tài)分布

正態(tài)分布的圖形具有如下特點(diǎn)：1.f(x)為關(guān)于x=μ的對(duì)稱鐘形曲線2.f(x)為在x=μ取得最大值μ，σ對(duì)概率密度曲線的影響正態(tài)分布的分布函數(shù)：特別地，當(dāng)時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。記為其概率密度為：相應(yīng)的分布函數(shù)記為：若則例：若一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表概率計(jì)算：例26若，試求：解：1.2.3.練習(xí)：設(shè)試計(jì)算解：例273原理解一次試驗(yàn)中,ξ

落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9973,而超出此區(qū)間可能性很小例28某大公司員工的月收入服從μ=3000元,σ

=800元的正態(tài)分布.求該公司月收入在3000至4000元的員工的百分比.解.

設(shè)員工的月收入為ξ，則

ξ~N(3000,640000).故約有39.435%的員工月收入在3000至4000元.例29乘汽車從某市的一所大學(xué)到火車站有兩條路線可走,第一條路線路程較短,但交通擁擠,所需時(shí)間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N(50,400);第二條路線路程較長(zhǎng),但阻塞較少,所需時(shí)間(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N(60,16).現(xiàn)有65分鐘的時(shí)間可用,應(yīng)走哪一條路線?解：設(shè)行車時(shí)間為ξ,第一條線路：第二條線路：應(yīng)該走概率大的第二條路線.上一頁下一頁返回引例:某班有10名學(xué)生,某科期中考試成績(jī)?nèi)缦?60分和75分的各兩名,85分的有3名,90分、95分和100分的各一名.求平均成績(jī)是多少?解:平均成績(jī)上式可改為:（1）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望6.2.3數(shù)學(xué)期望上一頁下一頁返回現(xiàn)從10名學(xué)生中任意抽一名,問抽到考60分的學(xué)生(事件A)的可能性有多大?抽到考100分的學(xué)生的可能性抽到考85分的學(xué)生的可能性抽到考90分的學(xué)生的可能性抽到考95分的學(xué)生的可能性同理,抽到考75分的學(xué)生的可能性上一頁下一頁返回用X表示任意抽一名學(xué)生的考試成績(jī),則X是離散的.其概率分布為：定義1.離散隨機(jī)變量X的一切可能取值xk與對(duì)應(yīng)概率pk的乘積之和稱為X的(數(shù)學(xué))期望.也稱為均值或xk以概率pk為權(quán)的加權(quán)平均.記作E(X).上一頁下一頁返回(1).若X的可能值為有限個(gè):對(duì)應(yīng)的概率為:(2).若X的可能值為無限可列個(gè):對(duì)應(yīng)的概率為:這里要求此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.從而級(jí)數(shù)的和與各項(xiàng)的次序無關(guān).注:隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的量綱就是X的量綱.試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?例30誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解平均起來甲射手每槍擊中9.3環(huán),乙射手每槍擊中9.1環(huán).因此甲射手的技術(shù)要高一些.例31

二項(xiàng)分布

則有

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,其分布律為則兩點(diǎn)分布b(1,p)的數(shù)學(xué)期望為

p.=np例32

泊松分布

則有（2）連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義例33

均勻分布則有結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).例34

指數(shù)分布

則有

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待的服務(wù)的時(shí)間

X(以分計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間?解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).例35

顧客平均等待多長(zhǎng)時(shí)間?例36

正態(tài)分布則有上一頁下一頁返回定理:設(shè)隨機(jī)變量X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y)存在.（3）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)若X為離散型隨機(jī)變量，分布律為Y=f(X)為X的函數(shù)則Y的期望為1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

（4）隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（不作要求）2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X是連續(xù)型的,它的分布密度為p(x)則解例37

求:上一頁下一頁返回例38

設(shè)圓的直徑X～U(a,b)，求圓的面積的期望。引例

甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個(gè)射手的技術(shù)較好？解

首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3有五個(gè)不同數(shù)有四個(gè)不同數(shù)§4.2方差6.2.4方差再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙E[X-E(X)]2若E[X-E(X)]2

存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,

記為D(X)或Var(X)

兩者量綱相同概念D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——

數(shù)（1）方差的定義方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好.方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差（2）隨機(jī)變量方差的計(jì)算公式利用定義計(jì)算

證明利用公式計(jì)算證明（3）方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明1.

兩點(diǎn)分布

已知隨機(jī)變量X

的分布律為則有（4）重要概率分布的期望和方差2.

二項(xiàng)分布

則有

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,其分布律為3.

泊松分布

則有所以4.

均勻分布則有結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).5.

指數(shù)分布

則有6.

正態(tài)分布則有分布參數(shù)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布解例39于是解例40解例41

例42.設(shè)隨機(jī)變量ξ

的概率密度為求：D(ξ).解：數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的是如何對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行觀察并收集數(shù)據(jù)（即抽樣技術(shù)），以及如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行組織，并從數(shù)據(jù)中獲得信息，導(dǎo)出關(guān)于所研究的隨機(jī)變量的某些結(jié)論（即統(tǒng)計(jì)推斷技術(shù)）.6.3統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析與處理每個(gè)個(gè)體代表一次試驗(yàn)的觀察值,不同個(gè)體可以有相同取值.

將試驗(yàn)的全部可能的觀察值稱為總體;每一個(gè)可能的觀察值稱為個(gè)體;總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量;容量為有限的總體稱為有限總體;容量為無限的總體稱為無限總體.注意:

全部學(xué)生視力一個(gè)學(xué)生視力全部學(xué)生人數(shù)6.3.1總體與樣本實(shí)際應(yīng)用中，為了研究總體的特性，總是從總體中抽出部分個(gè)體進(jìn)行觀察和試驗(yàn)，根據(jù)觀察或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)．我們把從總體中抽出的部分個(gè)體稱為樣本，把樣本中包含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量，把對(duì)樣本的觀察或試驗(yàn)的過程稱為抽樣，把觀察或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)稱為樣本觀測(cè)值（觀測(cè)數(shù)據(jù)），簡(jiǎn)稱樣本值．這批燈泡中每個(gè)燈泡的使用期限的全體;其中每一個(gè)燈泡的使用期限；

被抽取進(jìn)行檢查的80個(gè)燈泡的每個(gè)燈泡的

使用期限的集體.例43

電燈泡廠要檢查一批燈泡的使用期限.抽取80個(gè)燈泡進(jìn)行檢查,用這部分燈泡的使用期限,去估計(jì)這批燈泡的使用期限.總體個(gè)體樣本樣本容量是80.無單位例44

為了解海淀區(qū)大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的身高,有關(guān)部門從大一中抽取200名學(xué)生測(cè)量他們的身高,然后根據(jù)這一部分學(xué)生的身高去估計(jì)海淀區(qū)所有大一學(xué)生的平均身高.

總體個(gè)體樣本樣本容量海淀區(qū)大學(xué)一年級(jí)學(xué)生每人身高的全體;每名學(xué)生的身高;從中抽取的200名學(xué)生的每人身高的集體;200.

在應(yīng)用中，我們從總體中抽出的個(gè)體必須具有代表性，樣本中個(gè)體之間要具有相互獨(dú)立性，為保證這兩點(diǎn)，一般采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．

定義

一種抽樣方法若滿足下面兩點(diǎn)，稱其為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：

(1)總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的；

(2)樣本中的個(gè)體相互獨(dú)立．由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．如果沒有特殊說明,以后所說樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．

如前所述，數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的實(shí)際問題（總體）的分布一般來說是未知的，需要通過樣本來推斷．但如果對(duì)總體一無所知，那么，做出推斷的可信度一般也極為有限．在很多情況下，我們往往可以通過具體的應(yīng)用背景或以往的經(jīng)驗(yàn)，再通過觀察樣本觀測(cè)值的分布情況，對(duì)總體的分布形式有個(gè)大致了解．觀察樣本觀測(cè)值的分布規(guī)律，了解總體X的概率密度和分布函數(shù)，常用直方圖和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).6.3.2直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)1.直方圖直方圖是對(duì)一組數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的分布情況的圖形描述．將數(shù)據(jù)的取值范圍分成若干區(qū)間（一般是等間隔的），在等間隔的情況，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度稱為組距．考察這些數(shù)據(jù)落入每一個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)和頻率，在每一個(gè)區(qū)間上畫一個(gè)矩形，它的寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距，所得直方圖分別稱為頻數(shù)直方圖、頻率直方圖和密度直方圖．圖6-1密度直方圖如果數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn是來自連續(xù)總體X的樣本觀測(cè)值，其密度直方圖中，每一個(gè)矩形的面積恰好是觀測(cè)數(shù)據(jù)落入對(duì)應(yīng)區(qū)間的頻率，這種密度直方圖可以用來估計(jì)總體的概率密度（用密度直方圖的頂部折線估計(jì)X的概率密度曲線）．組距對(duì)直方圖的形態(tài)有很大的影響，組距太小或太大，直方圖反映概率密度的形態(tài)就不夠準(zhǔn)確．

分布函數(shù)是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征，既然總體可以用隨機(jī)變量來表示，而樣本又可對(duì)總體的信息進(jìn)行提取。因此，怎樣用樣本(X1,…,Xn)估計(jì)總體X的分布函數(shù)F(x)?任意給定自變量x，則

F(x)=P(X<x)．用事件{X<x)發(fā)生的頻率作為其估計(jì)即可。這就引出了下面所謂經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的概念。

2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為了解總體X的分布形式，根據(jù)樣本觀測(cè)值x1，x2，...，xn構(gòu)造一個(gè)函數(shù)Fn(x)來近似總體X的分布函數(shù)，函數(shù)Fn(x)稱為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)．它的構(gòu)造方法是這樣的，將樣本觀測(cè)值x1，x2，...，xn按從小到大可排成，定義

例45

總體X，樣本觀察值1，2，2，2，3，3，3，4，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如右圖所示：6.3.3樣本均值與樣本方差樣本均值樣本方差設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，x1，x2，...，xn為樣本觀測(cè)值，由概率論中的大數(shù)定律，樣本均值和樣本方差常用來作為總體期望（均值）和總體方差的估計(jì)量，n越大，估計(jì)越精確。例46從一大批燈管中隨機(jī)地取了3根，測(cè)得其壽命分別為1200小時(shí)、1500小時(shí)、1500小時(shí).由此，可以得到樣本均值例47從一個(gè)單位隨機(jī)地找4個(gè)人了解其月收入，得到數(shù)據(jù)為2000元、2500元、1500元、2400元.則樣本均值為例48用測(cè)溫儀對(duì)某物體的溫度測(cè)量了5次,其樣本值為:1250,1265,1245,1260,1275,單位為攝氏度,求樣本方差.解:樣本均值為故樣本方差為變量間的關(guān)系確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系y=f(x)人的身高和體重家庭的收入和消費(fèi)商品的廣告費(fèi)和銷售額糧食的施肥量和產(chǎn)量非確定性關(guān)系稱這種非確定性關(guān)系為統(tǒng)計(jì)關(guān)系或相關(guān)(相依)關(guān)系.xY相關(guān)關(guān)系6.3.4一元線性回歸

以下設(shè)x為自變量(普通變量)Y為因變量(隨機(jī)變量).現(xiàn)給定