上海金川中學2021-2022學年高三數(shù)學文期末試題含解析

上海金川中學2021-2022學年高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.若，則“”的一個充分不必要條件是A． B． C． D．參考答案：C，，當且僅當時取等號.故“”是“”的充分不必要條件.3.某種實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有A．24種

B．48種

C．96種

D．144種參考答案：C4.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x－4）＝f（x），且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則當時不等式參考答案：A5.過雙曲線上任意一點，作與軸平行的直線，交兩漸近線于兩點，若，則該雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.6.已知平面向量，，，則||的最小值是（

）

A.2

B.

C.

D.參考答案：D7.設(shè)變量x，y滿足則x＋2y的最大值和最小值分別為

()A．1，－1

B．2，－2

C．1，－2

D．2，－1參考答案：B8.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．的圖像關(guān)于直線對稱

B．的圖像關(guān)于點對稱C．的最小正周期為

D．在上為增函數(shù)參考答案：D由，所以在上為增函數(shù)，故選D。9.函數(shù)的反函數(shù)是A．

B．C．

D．參考答案：答案：A10.過平面區(qū)域內(nèi)一點作圓的兩條切線，切點分別為，記，則當最小時的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：因為,而,所以最大時,最小,最小.結(jié)合圖象可知點,故的最大值為,則,應(yīng)選C.考點：線性規(guī)劃、二倍角的余弦等有關(guān)知識的綜合運用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)若是的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是_____

_.(寫出所有正確結(jié)論的序號)①②③若參考答案：①②③略12.（07年寧夏、海南卷文）已知是等差數(shù)列，，其前5項和，則其公差．參考答案：答案：解析：

13.函數(shù)的零點為

.參考答案：114.在三角形ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的長分別為a，b，c，若a=2，B=，c=2，則b=

.13.參考答案：2.

由余弦定理知，.15.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是__________.參考答案：答案：

16.已知二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式中含項的系數(shù)是_

_.參考答案：10

【知識點】二項式定理J3解析：由得，，令得，故含項的系數(shù)為．【思路點撥】先由二項式的展開式的二項式系數(shù)之和求出n,再利用二項式展開式的性質(zhì)即可.17.設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函數(shù)y=f（x）存在與直線2x﹣y=0平行的切線，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知a＞1設(shè)g（x）=f（x）+，若g（x）有極大值點x1，求證：x1lnx1﹣ax12+1＞0．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，問題轉(zhuǎn)化為證明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】（1）解：因為f′（x）=﹣2a，x＞0，因為函數(shù)y=f（x）存在與直線2x﹣y=0平行的切線，所以f′（x）=2在（0，+∞上有解，即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，所以2+2a＞0，得a＞﹣1，故所求實數(shù)a的取值范圍是（﹣1，+∞）；（2）證明：因為g（x）=x2+lnx﹣2ax，因為g′（x）=，①當﹣1≤a≤1時，g（x）單調(diào)遞增無極值點，不符合題意，②當a＞1或a＜﹣1時，令g′（x）=0，設(shè)x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2，因為x1為函數(shù)g（x）的極大值點，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=﹣2ax1+=0，則a=，要證明+＞a，只需要證明x1lnx1+1＞a，因為x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣﹣+lnx，記p（x）=﹣﹣+lnx，x∈（0，1），則p′（x）=﹣3x+=，當0＜x＜時，p′（x）＞0，當＜x＜1時，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以h（x）＞h（1）=0，原題得證．19.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上(如圖1)，且BE=BF，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′(如圖2).（1）求證：A′D⊥EF；（2）BFBC時，求點A′到平面DEF的距離.參考答案：（1）證明見解析.（2）【分析】（1）推導(dǎo)出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由線面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得證.

（2）設(shè)點A′到平面DEF的距離為d，由VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，能求出點A′到平面DEF的距離.【詳解】（1）由ABCD正方形及折疊方式，得：A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF?平面A′EF，∴A′D⊥EF.（2）∵，∴，∴，∴DE=DF，∴，設(shè)點A′到平面DEF的距離為d，∵VA′﹣DEF=VD﹣A′EF，∴，解得d.∴點A′到平面DEF的距離為.【點睛】本題主要考查線線垂直，線面垂直的轉(zhuǎn)化以及等體積法球點到面的距離，還考查轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理，運算求解的能力，屬于中檔題.20.（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項和為，通項滿足（是常數(shù)，且）。

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）當時，證明；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若對都成立，求正整數(shù)的值。參考答案：解：（Ⅰ）由題意，得

所以…1分

當時，，所以

……………2分

故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列

所以

……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，

所以

………7分（Ⅲ）因為所以

………………9分

所以

所以

………………11分

由對都成立，即對都成立

須有

而當時，隨的增大而增大

所以

…………………13分

又為正整數(shù)，所以的值為1,2,3

所以使對都成立的正整數(shù)的值為1,2,3.

…14分略21.（2015?萬州區(qū)模擬）已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|x﹣2|≤（a+）（+b）對任意正實數(shù)a、b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．參考答案：【考點】：絕對值不等式的解法．【專題】：計算題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：將不等式的右邊化簡，運用基本不等式可得最小值為4，則需解不等式|x+1|+|x﹣2|≤4，討論當x≤﹣1時，當﹣1＜x＜2時，當x≥2時，去絕對值，解不等式，最后求并集即可．解析：由于a，b＞0，（a+）（+b）=2+ab+=4，當且僅當ab=1時取“=”號，∴（a+）（+b）的最小值為4，∴|x+1|+|x﹣2|≤4，當x≤﹣1時，﹣x﹣1+2﹣x≤4，解得，x≥﹣，則有﹣≤x≤﹣1；當﹣1＜x＜2時，x+1+2﹣x≤4，即3≤4成立，則有﹣1＜x＜2；當x≥2時，x+1+x﹣2≤4，解得，x≤，則有2≤x≤．綜上x的取值范圍是[﹣，]．【點評】：本題考查絕對值不等式的解法，考查基本不等式的運用：求最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．22.已知拋物線的焦點為，定點與點在拋物線的兩側(cè)，拋物線上的動點到點的距離與到其準線的距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與圓和拋物線交于四個不同點，從左到右依次為，且是與拋物線的交點，若直線的傾斜角互補，求的值.參考答案：(1)；(2).試題分析：(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(2)借助題設(shè)運用直線與拋物線的位置關(guān)系建立方程探求.試題解析：（1）過作于，則，當共線時，取最小值.解得或.當時，拋物線的方程為，此時，點與點在拋物線同側(cè)，這與已知不符.∴，拋物線的方程為.（