選修44坐標(biāo)系及全參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

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坐標(biāo)系與參數(shù)方程

選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱領(lǐng)求：

1．坐標(biāo)系：

①理解坐標(biāo)系的作用.

②認(rèn)識(shí)在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化狀況.

③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的地址，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的地址的差異，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

④能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.經(jīng)過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適合坐標(biāo)系的意義.

2．參數(shù)方程：①認(rèn)識(shí)參數(shù)方程，認(rèn)識(shí)參數(shù)的意義.

②能選擇適合的參數(shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.

第一講

一、平面直角坐標(biāo)系

xx,(0),伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的隨意一點(diǎn)，在變換:y,(的作用y0).下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x,y)，稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換。

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方法1：求伸縮變換后的圖形。

由伸縮變換公式解出x、y,代入已知曲線方程即可求得伸縮變換后的曲線方程。

例:：在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,求以下方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形。

方法2：待定系數(shù)法求伸縮變換。

求伸縮變換時(shí)，先設(shè)出變換，再代入原方程或變換后的方程，求出其中系數(shù)即可。

例：在同一平面直角坐標(biāo)系中,求以以下列圖形變換的伸縮變換:優(yōu)秀文檔合用標(biāo)準(zhǔn)文案

二、極坐標(biāo)

極坐標(biāo)系的見(jiàn)解：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(平時(shí)取弧度)及其正方向(平時(shí)取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就成立了一個(gè)極坐標(biāo)系。

2.點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為；以

極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為。有序數(shù)對(duì)(,)叫做點(diǎn)M的

極坐標(biāo)，記為M(,).

極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,)(R).

3.若0,則0,規(guī)定點(diǎn)(,)與點(diǎn)(,)對(duì)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即(,)與(,)表示同一點(diǎn)。

若是規(guī)定0,02，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時(shí)，極

坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。

4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：2x2y2,xcos,ysin,tany(x0)x以以以下列圖，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，設(shè)隨意一點(diǎn)M

的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x，y)，(ρ，θ)．

極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)

直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)

ρ2＝x2＋y2，

ytanθ＝x（x≠0）.優(yōu)秀文檔合用標(biāo)準(zhǔn)文案

方法3：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

例：

（1）點(diǎn)M2，23的極坐標(biāo)是

（2）點(diǎn)M2,2的直角坐標(biāo)是3

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三、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

1.圓的極坐標(biāo)方程：

(1)特別狀況以下表：圓心地址極坐標(biāo)方程圖形ρ＝r圓心在極點(diǎn)(0，0)(0≤θ<2π)ρ＝2rcos_θ圓心在點(diǎn)(r，0)ππ(－2≤θ<2)πρ＝2rsin_θ圓心在點(diǎn)(r，2)(0≤θ<π)ρ＝－2rcos_θ圓心在點(diǎn)(r，π)3ππ(2≤θ<2)ρ＝－2rsin_θ3π圓心在點(diǎn)(r，2)(－π<θ≤0)

一般狀況：設(shè)圓心C(ρ0，θ0)，半徑為r，M(ρ，θ)為圓上隨意一點(diǎn)，則|CM|＝r，

0|，依照余弦定理可得圓222C的極坐標(biāo)方程為ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0∠COM＝|θ－θ－2ρ－r＝0即

r22220cos(0)0直線的極坐標(biāo)方程：

特別狀況以下表：優(yōu)秀文檔合用標(biāo)準(zhǔn)文案

直線地址極坐標(biāo)方程圖形

θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R)

過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為α

θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)

ρcos_θ＝a

過(guò)點(diǎn)(a，0)，且與極軸

垂直ππ－2<θ<2過(guò)點(diǎn)a，πρsin_θ＝a，且與極2軸平行(0<θ<π)

ρsin(α－θ)＝asinα

過(guò)點(diǎn)(a，0)傾斜角為α

(0<θ<π)

(2)一般狀況，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(ρ0，θ0)，傾斜角為α，M(ρ，θ)為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則在△OPM中利用正弦定理可得直線l的極坐標(biāo)方程為ρα－θ＝ρ0sin(α－θ0)．sin( )

方法4：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化優(yōu)秀文檔合用標(biāo)準(zhǔn)文案

方法5：極坐標(biāo)系下的運(yùn)算

方法6：曲線極坐標(biāo)方程的求法

四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介（認(rèn)識(shí)）

1、柱坐標(biāo)系

(1)定義：一般地，如圖成立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間隨意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q，

用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的地址可用有序數(shù)組（ρ，θ，z）(z∈R)

表示．這樣，我們成立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把成立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)

系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．

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x＝ρcosθ(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)之間的變換公式為y＝ρsinθ．z＝z2、球坐標(biāo)系

(1)定義：一般地，如圖成立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間隨意一點(diǎn)，連結(jié)OP，記|OP|＝r，OP與

Oz軸正向所夾的角為φ，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ，這樣點(diǎn)P的地址就能夠用有序數(shù)組(r，φ，θ)表示，這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，φ，θ)之間成立

了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．把成立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，φ，θ)，叫

做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．

x＝rsinφcosθ

(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換公式為y＝rsinφsinθ．

z＝rcosφ

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第二講

一、參數(shù)方程的見(jiàn)解：在平面直角坐標(biāo)系中，若是曲線上隨意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變

xf(t),數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)同意值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線yg(t),

上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。

有對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做一般方程。

二、參數(shù)方程和一般方程的互化

曲線的參數(shù)方程和一般方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表示曲線的方程的兩種不一樣樣形式，兩種方程是等價(jià)的能夠互相轉(zhuǎn)變．

將曲線的參數(shù)方程化為一般方程，有利于鑒識(shí)曲線的種類(lèi)．參數(shù)方程經(jīng)過(guò)消去參數(shù)即可獲取一般方

程．

一般方程化參數(shù)方程，第一確定變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，比方x＝f(t)，其次將x＝f(t)代

x＝f（t）

入一般方程解出y＝g(t)，則(t為參數(shù))就是曲線的參數(shù)方程．y＝g（t）

(4)在成立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與一般方程的互化中，必定使x,y的取值范圍保持一致.

三、圓的參數(shù)方程

1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程

如圖圓O與x軸正半軸交點(diǎn)M0(r，0)．優(yōu)秀文檔合用標(biāo)準(zhǔn)文案

x＝rcosθ

(1)設(shè)M(x，y)為圓O上任一點(diǎn)，以O(shè)M為終邊的角設(shè)為θ，則以θ為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程是y＝rsinθ

(θ為參數(shù))．

其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的地址時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度．

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，則OM0經(jīng)過(guò)時(shí)間t轉(zhuǎn)過(guò)的

x＝rcosωt

角θ＝ωt，則以t為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．y＝rsinωt

其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

2．圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程

圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程能夠看作將圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)平移獲取，所

x＝a＋rcosθ，

以其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．y＝b＋rsinθ

四、圓錐曲線的參數(shù)方程

1、橢圓的參數(shù)方程

x2y2x＝acosφ(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φy＝bsinφ的取值范圍是[0，2π)．y2x2x＝bcosφ(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φy＝asinφ的取值范圍是[0，2π)．(3)中心在(h，k)的橢圓一般方程為（x－h(huán)）2（y－k）2x＝h＋acosφa2＋b2＝1，則其參數(shù)方程為(φ是參數(shù))．y＝k＋bsinφ

2．雙曲線的參數(shù)方程

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2y2x＝asecφx(1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線a2－b2＝1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φ的取y＝btanφπ3π值范圍為φ∈[0，2π)且φ≠2，φ≠2．y2x2x＝btanφ(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(φ為參數(shù))．y軸上的雙曲線a2－b2＝1的參數(shù)方程是y＝asecφ

3．拋物線的參數(shù)方程

x＝2pt2(1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．y＝2pt

參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除極點(diǎn)外的隨意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)．方法1：參數(shù)方程和一般方程的互化

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五、直線的參數(shù)方程

1．直線的參數(shù)方程

x＝x0＋tcosα

經(jīng)過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．y＝y(tǒng)0＋tsinα

2．直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義

參數(shù)t的絕對(duì)值表示參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離．

→→取負(fù)數(shù)，當(dāng)M與M0重合(2)當(dāng)M0M與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，t取正數(shù)．當(dāng)M0M與e反向時(shí)，t時(shí)，t＝0．3．直線參數(shù)方程的其他形式對(duì)于同一條直線的一般方程，采用的參數(shù)不一樣樣，會(huì)獲取不一樣樣的參數(shù)方程．我們把過(guò)點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜x＝x0＋tcosα角為α的直線，采用參數(shù)t＝M0M獲取的參數(shù)方程(t為參數(shù))稱(chēng)為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，y＝y(tǒng)0＋tsinα此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義．0(x0x＝x0＋at一般地，過(guò)點(diǎn)M0)，斜率k＝b(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為(t為參數(shù))，稱(chēng)為直線，yay＝y(tǒng)0＋bt參數(shù)方程的一般形式，此時(shí)的參數(shù)t不擁有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義．

方法2：求直線參數(shù)方程

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方法3：參數(shù)方程問(wèn)題的解決方法

解決參數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本思路：將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐话惴匠?，今后在直角坐?biāo)系下解決問(wèn)題。

方法4：利用參數(shù)的幾何意義解題優(yōu)秀文檔合用標(biāo)準(zhǔn)文案

六、漸開(kāi)線與擺線（認(rèn)識(shí)）

1．漸開(kāi)線的見(jiàn)解及參數(shù)方程

漸開(kāi)線的產(chǎn)生過(guò)程及定義

把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，漸漸張開(kāi)，鉛筆畫(huà)出的曲線叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓．

圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程

以基圓圓心O為原點(diǎn)，直線OA為x軸，成立以以以下列圖的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)基圓的半徑為r，繩子外

x＝r（cosφ＋φsinφ），

端M的坐標(biāo)為(x，y)，則有(φ是參數(shù))．這就是圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程．y＝r（sinφ－φcosφ）

2．?dāng)[線的見(jiàn)解及參數(shù)方程

擺線的產(chǎn)生過(guò)程及定義

平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)固定點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的軌跡，叫做平擺線，簡(jiǎn)稱(chēng)擺線，又叫旋輪線．

半徑為r的圓所產(chǎn)生擺線的參數(shù)方程為

x＝r（φ－sinφ），

(φ是參數(shù))．y＝r（1－cosφ）

練習(xí)

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x25t(t為參數(shù))與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（1．曲線12t）．y2、1B．(0,1、1C．(0,4)、(8,0)5、A．(0,)(,0))(,0)D．(0,)(8,0)525292．把方程xy1化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是（）．1xsintxcostxtantxt2A．1B．y1C．1D．1yt2sintycostytant3．若直線的參數(shù)方程為x12t為參數(shù))，則直線的斜率為（）．y23t(tA．2B．2C．3D．333224．點(diǎn)(1,2)在圓x18cos的（）．y8sin

A．內(nèi)部B．外面C．圓上D．與θ的值相關(guān)

xt15t(t為參數(shù))表示的曲線是（）．．參數(shù)方程為y2A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線6x32cosx3cos．兩圓42sin與3sin的地址關(guān)系是（）．yyA．內(nèi)切B．外切C．相離D．內(nèi)含7．與參數(shù)方程為xt(t為參數(shù))等價(jià)的一般方程為（）．y21tA．x2y21B．x2y21(0x1)442y21(0y2)2y21(0x1,0y2)C．x4D．x48x5cos)的長(zhǎng)度是（）．．曲線5sin(y3A．5B．10C．5D．10339．點(diǎn)P(x,y)是橢圓2x23y212上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則x2y的最大值為（）．

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A．22B．23C．11D．22x11t10．直線2為參數(shù)和圓22交于兩點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）．)xy16A,B3t(ty332A．(3,3)B．(3,3)C．(3,3)D．(3,3)11Fx4t2上，則|PF|等于（．若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線為參數(shù)）．P(3,m