初二數(shù)學(xué)菱形、矩形復(fù)習(xí)題含復(fù)習(xí)資料

初二數(shù)學(xué)菱形、矩形復(fù)習(xí)題矩形：定義：有一個是直角的平行四邊形是矩形性質(zhì)：判定：菱形：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形性質(zhì)：判定：如圖，矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線相交于0點，過點0作AC的垂線EF,分別交AD，BC于E,F點，連接。已，則4CDE的周長為如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，點P在AB上,PE丄AC于E,PF丄BD于F,貝PE+PF等于

如圖，在矩形ABCD中，DE丄AC于E,ZEDC：ZEDA=1：3,且AC=8，則DE的長度是如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD邊AD、BC上的點，且厶ABG，△DCH的面積分別為15和20,則圖中陰影部分的面積為若菱形兩條對角線長分別為6和8，則這個菱形的面積為若菱形的周長為16，兩鄰角度數(shù)之比為1：2，則該菱形的面積為如圖，0是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點，E、F分別是0A、0C的中點.下列結(jié)論:①Saade=SAE0D:②四邊形BFDE也是菱形；③四邊形ABCD的面積為EFXBD:④ZADE=ZED0；⑤ADEF是軸對稱圖形.其中正確的結(jié)論有AEBAEB如果矩形一條較短的邊是5,兩條對角線的夾角是60°,則對角線長是.RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC上一動點，PE丄AB于E,PF丄AC于F,M為EF中點，則AM的最小值為.

如圖，四邊形ABCD為矩形，H、F分別為AD、BC邊的中點，四邊形EFGH為矩形，E、G分別在AB、CD邊上，則圖中四個直角三角形面積之和與矩形EFGH的面積之比為?AHD如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2，BE=DH=1，點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、PF、PG、PH,則△卩已卩和厶PGH的面積和等于.如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F,ZAED=2ZCED，點G是DF的中點，若BE=1,AG=4,則AB的長為.ADAD如圖，點P在第一象限，AABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點A在x軸的正半軸上運動時，點B隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點P到原點的最大距離；若將△ABP的PA邊長改為卜邁，另兩邊長度不變，則點P到原點的最大距離變?yōu)?

如圖，在菱形ABCD中，AD=8,ZABC=120°,E是BC的中點，P為對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,BD為AC的中線，過點C作CE丄BD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF.若AG=13，CF=6，則BG=16．下列命題：①矩形的對角線互相平分且相等；②對角線相等的四邊形是矩形；③菱形的每一條對角線平分一組對角；④一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中正確的命題為（注：把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）如圖，在矩形ABCD中，AE=AF,過點E作EH丄EF交DC于點H,過F作FG丄EF交BC于G,當(dāng)AD、AB滿足（關(guān)系）時，四邊形EFGH為矩形.

如圖，AABC中，AC的中垂線交AC、AB于點D、F,BE丄DF交DF延長線于點E,若ZA=30°,BC=6，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是.19.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=6，BC=8，點D是斜邊AB上任意一點，DE丄AC，DF丄BC，垂足分別是點E、F,點Q是EF的中點，則線段DQ長的最小值等于如圖，矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm，點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度運動，點Q從C開始沿CD邊以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)D時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t(s),當(dāng)七=時，四邊形APQD也為矩形.?馬一:衛(wèi)卩B如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC與BC交于點0,E為CD延長線上的一點，且CD=DE,連接BE分別交AC、AD于點F、G,連接0G,則下列結(jié)論中一定成立的是.(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)①0G斗AB；②與AEGD全等的三角形共有5個；③S四邊形cdgf>Lbf；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE,CE交AD于點F,連接BF，則線段AC、BF、CD之間的關(guān)系式是BF、CD之間的關(guān)系式是◎C如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，并且ZA=ZD.求證：四邊形ABCD為矩形；點E是AB邊的中點，F(xiàn)為AD邊上一點，Z1=2Z2,若CE=4,CF=5，求DF的長.DCAEAEB已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，連接AD,取AD的中點E,過點A作BC的平行線與CE的延長線交于點F,連接DF.求證：AF=DC；請問：AD與CF滿足什么條件時，四邊形AFDC是矩形，并說明理由.FASFAS7)C如圖，在平行四邊形ABCD中，ZDAB=60°,AB=2AD，點E、F分別是AB、CD的中點,過點A作AG〃BD，交CB的延長線于點G.求證：四邊形DEBF是菱形；請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，銳角ZBAC的角平分線AE交BC于點E,AF是CD邊上的中線，且PC丄CD與AE交于點P,QC丄BC與AF交于點Q.求證：四邊形APCQ是菱形.27?矩形ABCD中，E是CD上一點，且AE=CE,F是AC上一點FH丄AE于H,FG丄CD于G,求證：FH+FG=AD.如圖，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P為BC邊上一動點，PG丄AC于點G,PH丄AB于點H.求證：四邊形AGPH是矩形；在點P在運動過程中，GH是否存在最小值？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.ACPACP￡如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分ZBAC交BC于點D,在線段AD上任取一點P(點A除外)，過點P作EF〃AB，分別交AC,BC于點E和點F,作PQ〃AC，交AB于點Q，連接QE.求證：四邊形AEPQ為菱形；當(dāng)點P在何處時，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,BG平分ZABC交AD于E,交AC于G,GF丄BC于F,連接EF.如圖1，求證：四邊形AEFG是菱形；如圖2,若E為BG的中點，過點E作EM〃BC交AC于M,在不添加任何輔助線的情況31．閱讀下面短文：如圖①，AABC是直角三角形，ZC=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩解答問題：設(shè)圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S、S，則SS(填“>”“=”1212或“V”).如圖③，AABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫個，利用圖③把它畫出來.如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC>AC>AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出個，利用圖④把它畫出來.在(3)中所畫出的矩形中，哪一個的周長最??？為什么？如圖1,菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，連接CE、CF.求證：CE=CF；如圖2,若H為AB上一點，連接CH，使ZCHB=2ZECB,求證：CH=AH+AB.

BB￡CFDBB￡CFD如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F,連接DF.證明：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.若AB#CD，試證明四邊形ABCD是菱形；在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得ZEFD=ZBCD，并說明理由.B￡DB￡D將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖方式放置，BD為重合的對角線.重疊部分為四邊形DHBG，試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形，并說明理由；若AB=8，AD=4，求四邊形DHBG的面積.如圖，四邊形ABCD中，AB〃DC,ZB=90°,F為DC上一點，且FC=AB,E為AD上一點,EC交AF于點G.(1)求證：四邊形ABCF是矩形；(2)若EA=EG，求證:ED=EC.如圖1,平行四邊形ABCD，DE丄AB.垂足E在BA的延長線上，BF丄DC，垂足F在DC的延長線上.EEDDCEEDDC(1)求證：四邊形BEDF是矩形；(2)如圖2,若M、N分別為AD、BC的中點，連接EM、EN、FM、FN,求證：四邊形EMFN是平行四邊形．如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°，點D是邊AB的中點，點E在邊BC上,AE=BE,點M是AE的中點，聯(lián)結(jié)CM,點G在線段CM上，作ZGDN=ZAEB交邊BC于N.CADIU1DCADIU1DG產(chǎn)如圖2,當(dāng)點G和點M重合時，求證：四邊形DMEN是菱形;如圖1,當(dāng)點G和點M、C不重合時，求證：DG=DN.參考答案矩形：定義：有一個是直角的平行四邊形是矩形性質(zhì)：

判定：菱形：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形性質(zhì)：如圖，矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線相交于0點，過點0作AC的垂線EF,分別交AD，BC于E,F點，連接。已，則4CDE的周長為AEZ)【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，.??AB=DC,BC=AD，0A=0C=0B=0D，AD〃BC,.\ZED0=ZFB0，?矩形ABCD的周長為20cm，.BC+DC=10cm，EF丄AC,.CE=CF，在厶ODE和厶OBF中，VED0=ZFB0〈OD=OB，lzdoe=zbof.?.△0DE9A0BF(ASA)，.DE=BF，

.?.△CDE的周長=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，點P在AB上，PE丄AC于E,PF丄BD于F,貝PE+PF等于【解答】解：方法一：設(shè)AP=x，PB=3-x.VZEAP=ZEAP，ZAEP=ZABC；VPR???△AEPs^ABC,故圭=號①；543-tPF同理可得厶BFPs^DAB，故「廠②.+②得|■蘭嚴(yán)，APE+PF=-方法二：（面積法）如圖，作BM丄AC于M,貝BM==VS=S+S,△AOB△AOP△POB??.寺?A0?BM吉?A0?PE兮?0B?PF,VOA=OB，.??pe+pf=bm=￥?如圖，在矩形ABCD中，DE丄AC于E,ZEDC：ZEDA=1：3,且AC=8，則DE的長度是陰影陰影△EFG△DCH【解答】解：???四邊形ABCD是矩形,.??ZADC=90°,AC=BD=8,OA=OC令A(yù)C=4,OB=OD吉BD=4,.??OC=OD,AZODC=ZOCD,VZEDC：ZEDA=1：3,ZEDC+ZEDA=90°,???ZEDC=22.5°,ZEDA=67.5°,?DE丄AC,.??ZDEC=90°,AZDCE=90°-ZEDC=67.5°,???Z0DC=Z0CD=67.5°,.??Z0DC+Z0CD+ZD0C=180°,.??ZC0D=45°,.OE=DE,?OE2+DE2=OD2,.2DE2=OD2=16,.??DE=2l2如圖，E,F分別是矩形ABCD邊AD、BC上的點，且厶ABG,△DCH的面積分別為15和20,則圖中陰影部分的面積為.S=S=15；△EFG△ABG同理：S=S=20.S=S=15；△EFG△ABG同理：S=S=20△EFH△DCH.S=S+S=15+20=35.△ADE△E0D△ADE△E0D5．若菱形兩條對角線長分別為6和8，則這個菱形的面積為【解答】解：菱形的面積為：寺X6X8=24.6．若菱形的周長為16，兩鄰角度數(shù)之比為1：2，則該菱形的面積為【解答】解：如圖，???兩鄰角度數(shù)之比為1：2,兩鄰角和為180°,.??ZABC=60°,ZBAD=120°,??周長為16,.邊長AB=4,???菱形的對角線AC=4,BD=2X4sin60°=4\3???面積=￡AC?BD=￡X4X41虧=8主.如圖，0是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點，E、F分別是0A、0C的中點.下列結(jié)論:①S^ade=S^E0D:②四邊形BFDE也是菱形；③四邊形ABCD的面積為EFXBD:④ZADE=ZED0；⑤ADEF是軸對稱圖形.其中正確的結(jié)論有B【解答】解：①正確?E、F分別是0A、0C的中點.?AE=0E．?/S=￡XAEX0D=￡XOEX0D=S△ADE22△EOD?S=S正確???四邊形ABCD是菱形，E,F分別是OA,0C的中點..?.EF丄OD,OE=OF.?OD=OD．.DE=DF.同理：BE=BF???四邊形BFDE是菱形.正確?菱形ABCD的面積^-ACXBD.E、F分別是OA、OC的中點..EF令A(yù)C.???菱形ABCD的面積=EFXBD.不正確由已知可求得ZFDO=ZEDO,而無法求得ZADE=ZEDO.正確EF丄OD,OE=OF,OD=OD.???△DEO^ADFO..△DEF是軸對稱圖形.???正確的結(jié)論有四個，分別是①②③⑤如果矩形一條較短的邊是5,兩條對角線的夾角是60°，則對角線長是10【解答】解：如圖，在矩形ABCD中，AO=BO,AC、BD的夾角是60°,.?△ABO是等邊三角形，?AO=AB=5,???對角線AC=2AO=2X5=10.故答案為：10.RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC上一動點，PE丄AB于E,PF丄AC于F,cM為EFM為EF中點，則AM的最小值為【解答】解：由題意知，四邊形AFPE是矩形,???點M是矩形對角線EF的中點，貝延長AM應(yīng)過點P,???當(dāng)AP為直角三角形ABC的斜邊上的高時，即AP丄BC時，AM有最小值,此時AM=*AP，由勾股定理知BC「■扯？+應(yīng)嚴(yán)=5,?Saabc4Ab?AC=1tBC?AP，???AP，"12???AM丄AP=.25如圖，四邊形ABCD為矩形，H、F分別為AD、BC邊的中點，四邊形EFGH為矩形，E、G分別在AB、CD邊上，則圖中四個直角三角形面積之和與矩形EFGH的面積之比為一.AHD【解答】解：連接HF，??四邊形ABCD為矩形,

.??AD=BC,AD〃BC,ZD=90°TH、F分別為AD、BC邊的中點，.??DH=CF,DH〃CF,VZD=90°,???四邊形HFCD是矩形，???△HFG的面積是￡cDXDH^-S,矩形HFCD即S=S+S，△HFG△DHG△CFG同理S=S+S，△HEF△BEF△AEH.?.圖中四個直角三角形面積之和與矩形EFGH的面積之比是1：1,故答案為：1：1AHD11.如圖，在矩形11.如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4，點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,TAF=CG=2,AE=CH=4TAF=CG=2,AE=CH=4-1=3,ZA=ZC=90°,△AEF^^CHG,S=S=3；△AEF△CHG同理可證：△FHD9AGEB,S=S=1.5；△FHD△GEBFH=EG,EF=GH，即四邊形EFHG是平行四邊形;且S=S-2S-2S=11；平行四邊形矩形△AEF△FHD

過P作過P作EF、GH的垂線，交EF于M，GH于N；如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F,ZAED=2ZCED,點G是DF的中點，若BE=1，AG=4,則AB的長為EgC【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，點G是DF的中點,.??AG=DG,.\ZADG=ZDAG，?AD〃BC,.\ZADG=ZCED，.\ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZCED,VZAED=2ZCED,.\ZAED=ZAGE,.AE=AG=4，在RtAABE中，AB「嶇2-班2=.；牡-1匸「1￡故答案為：115.如圖，點P在第一象限，AABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點A在x軸的正半軸上運動時，點B隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點P到原點的最大距離是」+空_；若將△ABP的PA邊長改為一邁，另兩邊長度不變，則點P到原點的最大距離變?yōu)?+'：'宅.【解答】解：取AB的中點M,連OM,PM，在RtAABO中，OM=^=1，在等邊三角形ABP中，PM=T^,無論△ABP如何運動，OM和PM的大小不變，當(dāng)OM,PM在一直線上時，P距O最遠(yuǎn),TO到AB的最大值是;AB=1，此時在斜邊的中點M上，由勾股定理得：PM=3,.??OP=l+l3,將厶AOP的PA邊長改為2-..;2,另兩邊長度不變，???ZPBA=90°，由勾股定理得:PM=_；］?+護(hù)=?_.：5,???此時OP=OM+PM=1+T5.故答案為：1+13,1+J5.如圖，在菱形ABCD中，AD=8,ZABC=120°,E是BC的中點，P為對角線AC上的一個動點，貝9PE+PB的最小值為」屯一

【解答】解：連接BD，DE，???四邊形ABCD是菱形，???B、D關(guān)于直線AC對稱,???DE的長即為PE+PB的最小值，?ABC=120°，ZBCD=60°,?△BCD是等邊三角形，E是BC的中點，DE丄BC,CE^-BC^-X8=4,?:DE=述護(hù)-CE—/—4S2故答案為：4■帀.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,BD為AC的中線，過點C作CE丄BD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG、DF.若AG=13,CF=6,則BG=5【解答】解:VAG#BD,BD=FG,???四邊形BGFD是平行四邊形,VCF丄BD,.??CF丄AG,又???點D是AC中點，.??BD=DF=*AC,???四邊形BGFD是菱形，設(shè)GF=x，則AF=13-x,AC=2x,??在RtAACF中,ZCFA=90°,.??AF2+CF2=AC2,即（13-x）2+62=（2x）2,解得：x=5,即BG=5．故答案是：5．16．下列命題：矩形的對角線互相平分且相等；對角線相等的四邊形是矩形；菱形的每一條對角線平分一組對角；一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中正確的命題為①③④（注：把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）【解答】解：①矩形的對角線互相平分且相等；故正確；對角線相等的四邊形是矩形，不能正確判定，故錯誤；菱形的每一條對角線平分一組對角，這是菱形的一條重要性質(zhì)，故正確；一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，故正確.故答案為：①③④.如圖，在矩形ABCD中，AE=AF,過點E作EH丄EF交DC于點H,過F作FG丄EF交BC于G,當(dāng)AD、AB滿足AB=AD（關(guān)系）時，四邊形EFGH為矩形.【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，???ZA=90°.?AE=AF,???ZAFE=ZAEF=45°.又VEH丄EF,FG丄EF.\ZGFB=ZHED=45°,???△DHE和厶BGF都是等腰直角三角形.如果四邊形EFGH是矩形，則EH=FG,?ED=FB又VAE=AF,?AD=AB.故答案是：AD=AB.OBQC如圖，AABC中，AC的中垂線交AC、AB于點D、F,BE丄DF交DF延長線于點E,若ZA=30°,BC=6,AF=BF，則四邊形BCDE的面積是1&一：占.【解答】解：VAF=BF,即F為AB的中點，又DE垂直平分AC,即D為AC的中點,???DF為三角形ABC的中位線，.??DE〃BC,DF令BC,又ZADF=90°,ZC=ZADF=90°,又BE丄DE,DE丄AC,ZCDE=ZE=90°,?四邊形BCDE為矩形,?.?BC=6,DF令BC=3,在RtAADF中，ZA=30°,DF=3,tan30°=晉［"，即AD=3Jg,.??CD=AD=3T3,則矩形BCDE的面積S=CD?BC=18〕3.故答案為：1&3.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點D是斜邊AB上任意一點，DE丄AC,DF丄BC，垂足分別是點E、F,點Q是EF的中點，則線段DQ長的最小值等于2.4【解答】解：???在△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,.AB=10，連接CD,DE丄AC,DF丄BC,.四邊形EDFC是矩形,EF=CD,ZEDF=90°,?點Q是EF的中點,DQ令EF令CD,當(dāng)CD最小時，則DQ最小，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CD丄AB時，則CD最小,1116XS??皿尹尹亍.=2.4,故答案為：2.4．如圖，矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm，點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度運動，點Q從C開始沿CD邊以lcm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)D時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t(s),當(dāng)t=4時，四邊形APQD也為矩形．罕氣一:AP百【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)AP=DQ時，四邊形APQD為矩形.此時，4t=20-t,解得t=4(s).故答案是：4．如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC與BC交于點0,E為CD延長線上的一點，且CD=DE，連接BE分別交AC、AD于點F、G,連接0G,則下列結(jié)論中一定成立的是①④.(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)0G寺B；與AEGD全等的三角形共有5個；S>S；四邊形CDGF△ABF由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，.??AB=BC=CD=DA,AB〃CD,OA=OC,OB=OD,AC丄BD,.??ZBAG=ZEDG,AAB09ABC09ACD09AA0D,?CD=DE，.AB=DE,rZBAG=ZEDG在厶ABG和厶DEG中，工蹙GE二上DGE,:AB=DE.?.△ABG^ADEG(AAS),.AG=DG，.??0G是厶ACD的中位線，OG二寺CD=*AB，①正確；?.?AB〃CE,AB=DE,???四邊形ABDE是平行四邊形，VZBCD=ZBAD=60°,.?.△ABD、ABCD是等邊三角形，.??AB=BD=AD,Z0DC=60°,???OD=AG，四邊形ABDE是菱形，④正確；.AD丄BE,由菱形的性質(zhì)得：△ABG9ABDG9ADEG,rOD=AG在厶ABG和厶。。。中,Z0DC二二,iAB=DC.?.△ABG9ADC0(SAS),.?.△AB09ABC09ACD09AA0D^△ABG^^BDG^^DEG，②不正確；?0B=0D，AG=DG，.??0G是厶ABD的中位線，

.??OG〃AB,OG令A(yù)B,.?.△GODsAABD,AABFsAOGF,.△GOD的面積^△ABD的面積，AABF的面積=^0GF的面積的4倍，AF：0F=2：1,4???△AFG的面積=^0GF的面積的2倍，又???△GOD的面積=^A0G的面積=^B0G的面積,.S四邊形ODGF=S△ABF.S四邊形ODGF=S△ABF不正確；正確的是①④．故答案為：①④.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE,CE交AD于點F,連接BF，則線段AC、BF、CD之間的關(guān)系式是一AC2+BF2=4CD2.5EC5EC【解答】解：???五邊形abcde是正五邊形，.??AB〃CE,AD〃BC,.四邊形ABCF是平行四邊形，又?AB=BC=CD=DE=EA,.四邊形ABCF是菱形,?AC丄BF,.OB2+OC2=BC2,?AC=2OC,BF=2OB,.AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2又?BC=CD,.AC2+BF2=4CD2.故答案為：AC2+BF2=4CD2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，并且ZA=ZD.(1)求證：四邊形ABCD為矩形；(2)點E是AB邊的中點，F(xiàn)為AD邊上一點，Z1=2Z2,若CE=4,CF=5,求DF的長.【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,.??AB〃CD,AZA+ZD=180°,又ZA=ZD,AZA=ZD=90°,???平行四邊形ABCD為矩形；(2)解：延長DA,CE交于點G,?四邊形ABCD是矩形，.\ZDAB=ZB=90°,AD〃BC,.\ZGAE=90°,ZG=ZECB,E是AB邊的中點，?AE=BE,VG=ZECB在厶AGE和厶BCE中，ZG包E二ZE二90°二EE.?.△AGE^ABCE(AAS),?AG=BC,若CE=4，CF=5，設(shè)DF=x，根據(jù)勾股定理得：CD2=CF2-DF2=CG2-DG2,即52-X2=82-(5+X)2,解得：x=￡，即DF=g~.已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，連接AD,取AD的中點E,過點A作BC的平行線與CE的延長線交于點F,連接DF.求證：AF=DC；請問：AD與CF滿足什么條件時，四邊形AFDC是矩形，并說明理由.【解答】(1)證明:VAF#BC，.\ZAFE=ZDCE，又TE為AD的中點，.??AE=DE,rZAFE=ZDCE在厶AE卩和厶DEC中，"三怔F二藝DEC，二DE.?.△AEF^ADEC(AAS)，.AF=DC；(2)解：當(dāng)AD=CF時，四邊形AFDC是矩形；理由如下:由(1)得：AF=DC且AF〃DC,.四邊形AFDC是平行四邊形，又VAD=CF,???四邊形AFDC是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形).如圖，在平行四邊形ABCD中，ZDAB=60°,AB=2AD，點E、F分別是AB、CD的中點,過點A作AG〃BD，交CB的延長線于點G.求證：四邊形DEBF是菱形；請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明.【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形???AB〃CD且AB=CD，AD〃BC且AD=BCE，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，.?.BE令A(yù)B,DF=*CD,?BE=DF，???四邊形DEBF是平行四邊形在厶ABD中，E是AB的中點，.??AE=BE=*AB=AD,而ZDAB=60°.?.△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE???平行四邊形DEBF是菱形.(2)解：四邊形AGBD是矩形，理由如下:?AD〃BC且AG〃DB???四邊形AGBD是平行四邊形由(1)的證明知AD=DE=AE=BE，/.ZADE=ZDEA=60°，ZEDB=ZDBE=30°故ZADB=90°???平行四邊形AGBD是矩形.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,BC=CD，銳角ZBAC的角平分線AE交BC于點E,AF是CD邊上的中線，且PC丄CD與AE交于點P,QC丄BC與AF交于點Q.求證：四邊形APCQ是菱形.【解答】證明：TACrAD,AF是CD邊上的中線,.??ZAFC=90°,.\ZACF+ZCAF=90°，VZACF+ZPCA=90°,.\ZPCA=ZCAF,.??PC〃AQ,同理：AP〃QC,???四邊形APCQ是平行四邊形.?.?AF〃CP,AE〃CQ,/.ZEPC=ZPAF=ZFQC,TAB=AC,AE平分ZBAC,.??CE=BE=+cB（等腰三角三線合一），TAF是CD邊上的中線，.??CF令CD,TCB=DC，.CE=CF，?.?PC丄CD,QC丄BC,ZECP+ZPCQ=ZQCF+ZPCQ=90°，.??ZPCE=ZQCF,.?.△PEC^AQFC(AAS),.PC=QC,.四邊形APCQ是菱形．矩形ABCD中，E是CD上一點，且AE=CE,F是AC上一點FH丄AE于H,FG丄CD于G,求證：FH+FG=AD.—【解答】證明：連接EF，如圖所示：VFH丄AE于H,FG丄CD于G,.?.△ACE的面積=^AEF的面積+△CEF的面積^-AE?Fh￥cE?FG,VAE=CE,.△ACE的面積=*：E(FH+FG),又???四邊形ABCD是矩形，.AD丄CD,.△ACE的面積=^CE?AD,.FH+FG=AD.如圖，在△ABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P為BC邊上一動點，PG丄AC于點G,PH丄AB于點H.求證：四邊形AGPH是矩形；在點P在運動過程中，GH是否存在最小值？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.【解答】（1）證明VAC=9AB=12BC=15,.??AC2=81,AB2=144,BC2=225，.°.AC2+AB2二BC2,???ZA=90°.VPG丄AC,PH丄AB,.\ZAGP=ZAHP=90°,???四邊形AGPH是矩形；存在.理由如下：連結(jié)AP..GH=AP.???當(dāng)AP丄BC時AP最短..9X12=15?AP.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分ZBAC交BC于點D,在線段AD上任取一點P(點A除外)，過點P作EF〃AB，分別交AC,BC于點E和點F,作PQ〃AC，交AB于點Q，連接QE.求證：四邊形AEPQ為菱形；當(dāng)點P在何處時，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？【解答】(1)證明:???EF〃AB,PQ〃AC,???四邊形AEPQ為平行四邊形，.\ZBAD=ZEPA,AB=AC,AD平分ZCAB,.\ZCAD=ZBAD,.\ZCAD=ZEPA,?EA=EP，???四邊形AEPQ為菱形.91(2)解：P為EF中點，即AP^-AD時，S卄=^S菱形AEPQ四邊形EFBQ?四邊形AEPQ為菱形，.?.AD丄EQ,AB=AC,AD平分ZBAC,.AD丄BC,.??EQ〃BC,又?EF〃AB,???四邊形EFBQ為平行四邊形.作EN丄AB于N,如圖所示：沖Q在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,BG平分ZABC交AD于E,交AC于G,GF丄BC于F,連接EF.如圖1,求證：四邊形AEFG是菱形；如圖2,若E為BG的中點，過點E作EM〃BC交AC于M,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中是CM長倍的所有線段.【解答】(1)證明:TAD丄BC,GF丄BC,.\ZADF=ZGFC=90°,.??AE〃GF,在厶ABG和^FBG中，VBAG=ZBFG〈ZABG=ZFBG,tBG=BG.?.△ABG^AFBG,?AG=FG,VZFBG+ZBED=90°,VZBED=ZAEG,/.ZFBG+ZAEG=90°,VZABG+ZAGE=90°,VZABG=ZFBG,.??ZAEG=ZAGE,.??AE=AG,.??AE=FG,?°?四邊形AEFG是平行四邊形，?.?AE=AG???四邊形AEFG是菱形.(2)解：???四邊形AEFG是菱形，.AE=AG,BE=EG,ZBAG=90°,.AE=BE=EG,.△AEG是等邊三角形,ZAGE=60°,在RTAABG中，?.?ZABG=30°,.??AB=l3AG,VZC=30°,.BC=2AB,BE=GE,EF〃AC,EM〃BC,.BF=FC,CM=GM,在RT^AEM中，?ZAME=ZC=30°,ZGEM+ZGME=60°,ZGEM=ZGME=30°,.EG=AG=GM=CM,EM〃FC,EF〃CM,???四邊形EFCM是平行四邊形，.??AB=BF=CF=EM=T3CM,??.是CM長運倍的所有線段有AB、BF、CF、EM.31．閱讀下面短文：如圖①，AABC是直角三角形，ZC=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩解答問題：設(shè)圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S、S,貝則S=S(填“〉”“=”或1212“V”).如圖③，AABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫1個，利用圖③把它畫岀來.如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC>AC>AB,按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫出3個，利用圖④把它畫岀來.在(3)中所畫岀的矩形中，哪一個的周長最??？為什么？【解答】解：(1)=(2)13以AB為邊長的矩形周長最小，設(shè)矩形BCED,ACHQ，ABGF的周長分別為.，.，L3,BC=a，AC=b，AB=c.易得三個矩形的面積相等，設(shè)為S，.??L=+2a；L=+2b；L=+2c.123°.°L-L=2(a-b)'而a-b>0,ab-s>0,ab>012.L-L>0,12.L>L,同理可得L>L1223.以AB為邊長的矩形周長最小.AEDPCE打AEDPCE打如圖1,菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，連接CE、CF.求證：CE=CF；如圖2,若H為AB上一點，連接CH,使ZCHB=2ZECB,求證：CH=AH+AB.￡B￡CAF圏￡B￡CAF圏1【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是菱形,.\ZB=ZD,AB=BC=CD=AD,??點E、F分別為AB、AD的中點,.?.be=￡ab,df=￡ad,.BE=DF,在DCF中，'BC=DC〈ZB=ZD,RE=DF.?.△BCE^ADCF(SAS),.??CE=CF；(2)證明：延長BA與CF,交于點G,???四邊形ABCD是菱形，.\ZB=ZD,AB=BC=CD=AD,AF〃BC,AB〃CD,AZG=ZFCD,??點F分別為AD的中點，且AG〃CD,.AG=AB,?△BCE^^DCF,.\ZECB=ZDCF,VZCHB=2ZECB,.\ZCHB=2ZG,VZCHB=ZG+ZHCG,AZG=ZHCG,.GH=CH,.CH=AH+AG=AH+AB．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一點，BE交AC于F,連接DF.證明：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE.若AB#CD，試證明四邊形ABCD是菱形；在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得ZEFD=ZBCD，并說明理由.【解答】(1)證明：在厶ABC和厶ADC中,'AB=AD〈BC=DC,、AC=AC.?.△ABC^AADC(SSS),.\ZBAC=ZDAC,在厶ABF和厶ADF中，"AB=AD<ZBAF^ZDAF,tAF=AF.?.△ABF^AADF(SAS),.\ZAFD=ZAFB,VZAFB=ZCFE,.\ZAFD=ZCFE；證明：???AB〃CD,.\ZBAC=ZACD,又VZBAC=ZDAC,.\ZCAD=ZACD,.AD=CD,?AB=AD,CB=CD,.AB=CB=CD=AD,.四邊形ABCD是菱形；當(dāng)EB丄CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，ZEFD=ZBCD,理由：??四邊形ABCD為菱形，?.BC=CD,ZBCF=ZDCF,在厶BCF和ADCF中，宜二CD<ZBCF=ZDCF,[CF=CF.?.△BCF^ADCF(SAS),.\ZCBF=ZCDF,TBE丄CD,.??ZBEC=ZDEF=90°,.\ZBCD+ZCBE=ZCDF+ZEFD,.\ZEFD=ZBCD.將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖