建筑與幾何學(xué)三新第八講-

建筑與幾何學(xué)（三）

橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q

張弘

清華大學(xué)建筑學(xué)院《建筑數(shù)學(xué)》第八講拓?fù)鋷缀胃攀鐾負(fù)鋷缀问桥c平面幾何、立體幾何等其他類型幾何學(xué)研究截然不同的幾何門類。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。而拓?fù)鋷缀窝芯康倪^程卻并不用知道棱長及定量關(guān)系、不用計(jì)算面積、體積，也沒有復(fù)雜的計(jì)算公式，事實(shí)上，拓?fù)鋷缀螌?duì)于研究對(duì)象的長短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無關(guān)。它思考問題的基本出發(fā)點(diǎn)是:僅需考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)，以及相互順序關(guān)系。在拓?fù)鋵W(xué)中沒有不能彎曲的元素,每一個(gè)圖形的大小、形狀都可改變，因此，拓?fù)鋷缀我步邢鹌缀?，本課主要內(nèi)容包括橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q、莫比烏斯帶、以及與拓?fù)淅砟钕嚓P(guān)的建筑設(shè)計(jì)案例等。橡皮幾何與拓?fù)渥儞Q橡皮幾何、拓?fù)渫瑯?gòu)、拓?fù)渥儞Q拓?fù)鋷缀巍页雠c其他三張不同的一張拓?fù)鋷缀巍跋鹌缀巍币陨械囊晃怀鞘幸?guī)劃學(xué)者在清華建筑學(xué)院做講座，說到老北京的街道都是南北正交，而中東的城市街道彎曲。兩者的街道形態(tài)在拓?fù)渖稀巴瑯?gòu)”的，每一個(gè)交叉口都是兩條街道相交。一個(gè)幾何圖形任意“拉扯”（就像畫在橡皮上），只要不發(fā)生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓?fù)渥冃巍?。兩個(gè)圖形通過“拓?fù)渥冃巍笨梢宰兊孟嗤瑒t稱這兩個(gè)圖形是“拓?fù)渫瑯?gòu)”。拓?fù)鋷缀巍芯繋缀螆D形在一對(duì)一連續(xù)變換中不變的性質(zhì)。不考慮幾何圖形的尺寸、面積、體積等度量性質(zhì)和具體形狀。北大方正的王選就是研究漢字的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，找到了表達(dá)和識(shí)別漢字的一種優(yōu)化方法，發(fā)明了激光照排系統(tǒng)。上述圓、三角形、方形和任意封閉曲線同構(gòu)在拓?fù)渥儞Q中封閉圍線的“內(nèi)”和“外”的區(qū)分不變，邊線上點(diǎn)的順序不變。上述四個(gè)圖形不同構(gòu)：封閉曲線，開口曲線，有一個(gè)三叉點(diǎn)的開口曲線，有一個(gè)四叉點(diǎn)和兩個(gè)封閉域的封閉曲線

在拓?fù)渥儞Q中。端點(diǎn)、三叉點(diǎn)、四叉點(diǎn)、封閉域數(shù)量不變。拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)

歐美小住宅和中國四合院的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，前者與球同構(gòu)，后者與輪胎同構(gòu)。球和立方體同構(gòu)，與輪胎不同構(gòu)。拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)

放射形街道方格形街道拓?fù)鋷缀巍獜耐負(fù)渫瑯?gòu)到拓?fù)渫呱鲜鰞蓮垐D片是否可以通過拓?fù)渥儞Q互相轉(zhuǎn)化？在拓?fù)鋵W(xué)中，兩個(gè)流形，如果可以通過彎曲、延展、變形等操作把其中一個(gè)變?yōu)榱硪粋€(gè)，則認(rèn)為兩者是拓?fù)渫叩模ê喎Q同胚）。如：圓和正方形是同胚的，而球面和環(huán)面就不是同胚的。拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫叩呐卸???拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫叩牡呐卸ㄉ咸谜n曾提提到，對(duì)于于柏拉圖多多面體有:V：頂點(diǎn)數(shù)；；F：面數(shù)；E：棱邊數(shù)拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫吲信卸ǖ臍W拉拉公式歐拉注意到到如果一個(gè)個(gè)閉曲面能能連續(xù)地形形變到一個(gè)個(gè)閉的多面面體，那么么這里h是環(huán)柄個(gè)數(shù)數(shù)（也叫虧虧格數(shù)）2(1-h)稱為歐拉數(shù)拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫吲信卸ǖ臍W拉拉公式右圖上下對(duì)對(duì)應(yīng)圖形為為拓?fù)渫吲咴煨?，自自左到右各各組造型的的環(huán)柄數(shù)分分別為1,2,3拓?fù)鋷缀巍罔F時(shí)空地地圖變換中中的拓?fù)渫咄負(fù)鋷缀巍罔F時(shí)空地地圖變換中中的拓?fù)渫哳^顱拓?fù)浔缺容^，看動(dòng)動(dòng)物的進(jìn)化化。拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)的的應(yīng)用封閉圍線構(gòu)構(gòu)成一個(gè)封封閉圖形，，如何判別別“里”與與“外”呢呢？在圖形形的“外”部確定一點(diǎn)點(diǎn)，這容易易判定，只只要它離圖圖形足夠遠(yuǎn)遠(yuǎn)。從這一一點(diǎn)出發(fā)到到需判定的的點(diǎn)的路徑，如果和圍圍線（邊界界）相交奇數(shù)次次，則需判定定的點(diǎn)在“里”，如果和圍圍線（邊界界）相交偶數(shù)次次，則需判定定的點(diǎn)在“外”。當(dāng)然首選選的出發(fā)點(diǎn)點(diǎn)在“里””，從此點(diǎn)點(diǎn)到需判定定的點(diǎn)的路路徑，如果果和圍線（（邊界）相相交奇數(shù)次次，則需判判定的點(diǎn)在在“外”，，如果和圍圍線（邊界界）相交偶偶數(shù)次，則則需判定的的點(diǎn)在“里里”。拓?fù)鋷缀螒?yīng)應(yīng)用——封閉圖形的的“里”與與“外”拓?fù)鋷缀巍卸ǚ忾]圖圖形的“里里”與“外外”判定方法也也可簡述為為：從外到里，，從里到外外的路徑與與邊界交奇奇數(shù)次；從從外到外，，從里到里里的路徑與與邊界交偶偶數(shù)次。路徑可以是是曲折的，，也可以穿穿過邊界進(jìn)進(jìn)進(jìn)出出。。對(duì)于建筑而而言，房屋屋就是封閉閉圖形（體體），人流流流線就是是“路徑””，墻是““邊界”，，墻上的門門就是“交交點(diǎn)”。上圖四點(diǎn)在曲線線內(nèi)部還是是外部？拓?fù)鋷缀巍淮嬖?種正多面體體的證明解上述不等等式得：i）n=3時(shí)，m=3、4、5ii）n=4時(shí)，，m=3iii)n=5時(shí)，m=3若以表示示這個(gè)正多多面體，則則（3，3））——正四四面體、、（3、4）——正正八面體、、（3、、5）———正二十面面體（4、3））——正六六面體、（5、3））——正十十二面體拓?fù)鋷缀巍淮嬖?種正多面體體的證明平行投影錐形投影拓?fù)渥儞Q如果用拓?fù)鋼鋷缀畏椒ǚㄗC明，首首先可以把把立體幾何何問題轉(zhuǎn)化化為平面幾幾何問題正4-面體正8-面體正6-面體正12-面體正20-面體拓?fù)鋷缀巍淮嬖?種正多面體體的證明拓?fù)鋷缀巍淮嬖?種正多面體體的證明拓?fù)渥C明：：頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F的性質(zhì)都可可以由每個(gè)個(gè)面上的邊邊（棱）的的數(shù)目p和每個(gè)頂點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)的棱棱的數(shù)目q給出。由于于每條棱有有兩個(gè)頂點(diǎn)點(diǎn)又在兩個(gè)個(gè)面上，因因此：另一個(gè)關(guān)系系是歐拉公公式:綜合上面等等式，得到到：于是由于，因此：注意到p和q必須大于等等于3，我們可以以容易地找找到所有五五組(p,q)：高校教材《中國建筑史史》第五版P229““拓?fù)渫瑯?gòu)圖圖”拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)與與建筑學(xué)高校教材《中國建筑史史》第五版P228““四、同構(gòu)關(guān)關(guān)系與自然然秩序”拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)與與建筑學(xué)門廳傭人房廚房餐廳客廳書房臥室臥室臥室WCWCWC功能分析圖拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)與與建筑學(xué)萊特設(shè)計(jì)的的三個(gè)住宅宅的平面是是拓?fù)渫瑯?gòu)構(gòu)的。參見《建筑設(shè)計(jì)與與人文科學(xué)學(xué)》拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)與與建筑學(xué)學(xué)生設(shè)計(jì)課課程過程所所做的功能能模式分析析中的拓?fù)鋼渥儞Q.拓?fù)鋷缀巍負(fù)渫瑯?gòu)與與建筑學(xué)莫比烏斯帶帶與克萊因因瓶莫比烏斯帶帶、克萊因因瓶莫比烏斯（（AugustusF.M?bius，1790－1868）德國數(shù)學(xué)家家、天文學(xué)學(xué)家將一個(gè)長方方形紙條的的一端固定定，另一端端扭轉(zhuǎn)半周周后，把兩兩端粘合在在一起，，得到的曲曲面就是莫莫比烏斯帶帶。用一種顏色色，在紙圈圈上面涂抹抹，畫筆沒沒有越過紙紙邊，卻把把整個(gè)紙圈圈涂抹成一一種顏色，，不留下任任何空白。?；?，一個(gè)個(gè)螞蟻不越越出紙邊，，就可以爬爬過紙面所所有表面。。莫比烏斯帶帶M?biusStrip莫比烏斯帶帶M?biusStrip試驗(yàn)：在裁好的一一條紙帶正正中間畫兩兩條線（三三等分帶子子寬度，正正反兩面都都畫上線）），粘成莫莫比烏斯帶帶，然后沿沿線剪開，，結(jié)果又會(huì)會(huì)怎樣？沿沿著線剪的的時(shí)候，要要不要剪完完一條線，，再剪另一一條線？特性總結(jié)：：（1）莫比烏斯帶帶只存在一一個(gè)面。（2）如果沿著莫莫比烏斯帶帶的中間剪剪開，將會(huì)會(huì)形成一個(gè)個(gè)比原來的的莫比烏斯斯帶空間大大一倍的、、具有正反反兩個(gè)面的的環(huán)。（3）如果再沿著著環(huán)的中間間剪開，將將會(huì)形成兩兩個(gè)具有正正反兩個(gè)面面的環(huán)，且且這兩個(gè)環(huán)環(huán)是相互套套在一起的的。馬清清運(yùn)運(yùn)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)的的莫莫比比烏烏斯斯造造型型雕雕塑塑扎哈哈設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)的的莫莫比比烏烏斯斯造造型型雕雕塑塑莫比比烏烏斯斯的的其其他他應(yīng)應(yīng)用用美國國著著名名輪輪胎胎公公司司百百路路馳馳把把傳傳送送帶帶制制成成莫莫比比烏烏斯斯圈圈形形狀狀，，這這樣樣一一來來，，整整條條傳傳送送帶帶環(huán)環(huán)面面各各處處均均勻勻地地承承受受磨磨損損，，避避免免了了普普通通傳傳送送帶帶單單面面受受損損的的情情況況，，使使得得其其壽壽命命延延長長了了近近一一倍倍。。針式式打打印印機(jī)機(jī)靠靠打打印印針針擊擊打打色色帶帶在在紙紙上上留留下下一一個(gè)個(gè)一一個(gè)個(gè)的的墨墨點(diǎn)點(diǎn)，，為為充充分分利利用用色色帶帶的的全全部部表表面面，，色色帶帶也也常常被被設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)成成莫莫比比烏烏斯斯圈圈。。還還有有莫莫比比烏烏斯斯電電阻阻———不會(huì)會(huì)產(chǎn)產(chǎn)生生電電磁磁感感應(yīng)應(yīng)現(xiàn)現(xiàn)象象、、莫比比烏烏斯斯圈圈循循環(huán)環(huán)往往復(fù)復(fù)的的幾幾何何特特征征，，蘊(yùn)蘊(yùn)含含著著永永恒恒、、無無限限的的意意義義，，因因此此常常被被用用于于各各類類標(biāo)標(biāo)志志設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)。。廠廠商商PowerArchitecture的商商標(biāo)標(biāo)就就是是一一條條莫莫比比烏烏斯斯圈圈，，還還有有Aramov公司司的的商商標(biāo)標(biāo)，，甚甚至至垃垃圾圾回回收收標(biāo)標(biāo)志志也也是是由由莫莫比比烏烏斯斯圈圈變變化化而而來來。。莫比比烏烏斯斯帶帶的的建建筑筑造造型型概概念念北京京設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)院院：：北北京京鳳鳳凰凰傳傳媒媒中中心心扭結(jié)結(jié)———三葉葉結(jié)結(jié)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)三三個(gè)個(gè)半半圈圈的的莫莫比比烏烏斯斯帶帶再再剪剪開開后后會(huì)會(huì)形形成成一一個(gè)個(gè)三葉葉結(jié)結(jié)。三葉葉結(jié)結(jié)形形態(tài)態(tài)的的應(yīng)應(yīng)用用埃舍舍爾爾創(chuàng)創(chuàng)作作的的三三葉葉結(jié)結(jié)國家家科科技技館館的的三三葉葉結(jié)結(jié)雕雕塑塑扭結(jié)結(jié)———三葉葉結(jié)結(jié)斯圖圖加加特特梅梅塞塞德德斯斯奔奔馳馳-博物物館館，，UNStudio，2000斯圖圖加加特特梅梅塞塞德德斯斯奔奔馳馳-博物館，UNStudio，2000三葉結(jié)形態(tài)的的應(yīng)用斯圖加特梅塞塞德斯奔馳-博物館，UNStudio，2000克萊因瓶KleinBottle三維空間中的的克萊因瓶，，沒有“內(nèi)部部”和“外部部”之分。由由德國數(shù)學(xué)家家菲利克斯·克萊因提出的的?？巳R因瓶瓶和莫比烏斯斯帶非常相像像?？巳R因瓶瓶的結(jié)構(gòu)是，，一個(gè)瓶子底底部有一個(gè)洞洞，現(xiàn)在延長長瓶子的頸部部，并且扭曲曲地進(jìn)入瓶子子內(nèi)部，然后后和底部的洞洞相連接。這這個(gè)物體沒有有“邊”，它它的表面不會(huì)會(huì)終結(jié)。一只只爬在“瓶外外”的螞蟻，，可以輕松地地通過瓶頸而而爬到“瓶內(nèi)內(nèi)”去。克萊萊因瓶是一個(gè)個(gè)在四維空間間中才可能真真正表現(xiàn)出來來的曲面，把克萊因瓶沿沿著它的對(duì)稱稱線切下去，，得到兩個(gè)莫莫比烏斯帶。?？巳R因瓶KleinBottle把克萊因瓶投投影到平面上上，是和中國國陰陽圖同構(gòu)構(gòu)的。復(fù)雜的克萊因因瓶克萊因瓶KleinBottleTheLawson-Kleinbottle克萊因瓶KleinBottleThe8-Kleinbottle克萊因瓶KleinBottle克萊因瓶KleinBottle七橋、四色問問題與突變理理論七橋問題與一一筆畫判定、、四色問題與與地圖染色突變理論與拓拓?fù)淠Ｐ透缒崴贡て邩驑騿栴}哥尼斯堡城，，城中有一座座島，普雷格格爾河的兩條條支流環(huán)繞其其旁，并將整整個(gè)城市分成成北區(qū)、東區(qū)區(qū)、南區(qū)和島島區(qū)4個(gè)區(qū)域，全城城共有7座橋?qū)?個(gè)城區(qū)連接起起來，如左圖圖所示。問題題是，一個(gè)人人是否能在一一次步行中穿穿越全部的七七座橋后回到到起點(diǎn)，且每每座橋只經(jīng)過過一次。哥尼斯堡七橋橋問題1736年，當(dāng)人們將將這一問題向向歐拉請(qǐng)教時(shí)時(shí)，歐拉用A、B、C、D表示4個(gè)城區(qū)，用7條線表示7座橋，將哥尼尼斯堡七橋問問題抽象為一一個(gè)圖的模型型，如右圖所所示，求經(jīng)過過圖中每條邊邊一次且僅一一次的回路（（歐拉回路）），歐拉論證證了在哥尼斯斯堡七橋問題題中，這樣的的回路不存在在。拓?fù)渫瑯?gòu)下減減少地下管線線的交叉。上上圖：水、氣氣、電供2個(gè)建筑，下圖圖供3個(gè)建筑。哥尼斯堡七橋橋問題的應(yīng)用用哥尼斯堡七橋橋問題后來歐拉將這這一問題進(jìn)行行了一般化處處理：對(duì)于任任意多的節(jié)點(diǎn)點(diǎn)和任意多的的連線，給出出了是否存在在歐拉回路的的判定規(guī)則：：

（1）如果連接奇奇數(shù)條線的節(jié)節(jié)點(diǎn)多于兩個(gè)個(gè)，則不存在在歐拉回路；；

（2）如果連接奇奇數(shù)條線的節(jié)節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)個(gè)，可以從其其中之一出發(fā)發(fā)，到另一節(jié)節(jié)點(diǎn)結(jié)束，找找到歐拉回路路；（（3）如果沒有一一個(gè)節(jié)點(diǎn)連接接奇數(shù)條線，，則無論從哪哪里出發(fā)，都都能找到歐拉拉回路。一個(gè)線狀圖能能一筆畫的充充分必要條件件是：沒有奇奇點(diǎn)或者只有有兩個(gè)奇點(diǎn)。。一筆畫判定一筆畫判定一筆畫判定1852年，英國的一一個(gè)大學(xué)生格格思里（FrancisGuthrie）在一家科研研單位搞地圖圖著色時(shí)，發(fā)發(fā)現(xiàn)了一種有有趣的現(xiàn)象：：“任何一張地圖圖只用四種顏顏色就能使具具有共同邊界界的國家著上上不同的顏色色?！薄纳ɡ?。此后一百多年年，四色問題題仍未解決。。1969年，赫切（HeinrichHeesch）發(fā)表了一個(gè)個(gè)用計(jì)算機(jī)解解決此問題的的方法。直到到1976年，美國伊利利諾斯大學(xué)的的阿佩爾(Appel)和哈肯(Haken)在電子計(jì)算機(jī)機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了了100億判斷，完成了四色色定理的證明明，轟動(dòng)了世世界。四色定理是第第一個(gè)主要由由電腦證明的的理論，這一一證明并不被被所有的數(shù)學(xué)學(xué)家接受，因因?yàn)椴捎玫姆椒椒ú荒苡扇巳斯ぶ苯域?yàn)證證。最終，人人們必須對(duì)電電腦編譯的正正確性以及運(yùn)運(yùn)行這一程序序的硬件設(shè)備備充分信任。。主要是因?yàn)闉榇俗C明缺乏乏數(shù)學(xué)應(yīng)有的的規(guī)范，以至至于有人這樣樣評(píng)論“一個(gè)個(gè)好的數(shù)學(xué)證證明應(yīng)當(dāng)像一一首詩——而這純粹是一一本電話簿?。　彼纳ɡ黼m然四色定理理證明了任何何地圖可以只只用四個(gè)顏色色著色，但是是這個(gè)結(jié)論對(duì)對(duì)于現(xiàn)實(shí)上的的應(yīng)用卻相當(dāng)當(dāng)有限?，F(xiàn)實(shí)實(shí)中的地圖常常會(huì)出現(xiàn)飛地地，即兩個(gè)不不連通的區(qū)域域?qū)儆谕粋€(gè)個(gè)國家的情況況（例如美國國的阿拉斯加加州），而制制作地圖時(shí)我我們?nèi)詴?huì)要求求這兩個(gè)區(qū)域域被涂上同樣樣的顏色，在在這種情況下下，四個(gè)顏色色將會(huì)是不夠夠用的。四色定理兩色填充條件件——單線輪廓三色填充的一一般情況四色填充簡化化模型突變論catastrophetheory在自然界和人人類社會(huì)活動(dòng)動(dòng)中，除了漸漸變的和連續(xù)續(xù)光滑的變化化現(xiàn)象外，還還存在著大量量的突然變化化的現(xiàn)象，如如水的沸騰、、地層的斷裂裂，火山的噴噴發(fā)、橋梁的的崩塌、細(xì)胞胞的分裂、生生物的變異、、人的休克、、情緒的波動(dòng)動(dòng)、戰(zhàn)爭(zhēng)、市市場(chǎng)變化、經(jīng)經(jīng)濟(jì)危機(jī)等等等。突變論用形象象而精確的數(shù)數(shù)學(xué)模型（拓拓?fù)淠Ｐ停﹣韥砻枋龊皖A(yù)測(cè)測(cè)事物的連續(xù)續(xù)性中斷的突突變過程。突突變論是20世紀(jì)60年代末法國數(shù)學(xué)家家托姆提出來的。。1967年托姆發(fā)表表《形態(tài)發(fā)生動(dòng)動(dòng)力學(xué)》一文，闡述述突變論的的基本思想想，1968年發(fā)表《生物學(xué)中的的拓?fù)淠Ｐ托汀?，用拓?fù)淠Ｐ偷男问奖硎鍪隽松锛?xì)細(xì)胞分裂中中的各種情情況，為突突變論奠定定了基礎(chǔ)。。突變論catastrophetheory更為形象地地解釋這一一理論：假假想有一只只玻璃瓶放放在桌面上上，它處處在一個(gè)穩(wěn)穩(wěn)定的狀態(tài)態(tài)，沒有任任何變化，，此為穩(wěn)定定平衡（StableEquilibrium），用手指指輕推瓶頸頸，不要太太用力。這這時(shí)變化產(chǎn)產(chǎn)生，玻璃璃瓶晃動(dòng)起起來，它在在通過一種種連續(xù)性的的方式來吸吸收變化，，此為不不穩(wěn)定平衡衡（UnstableEquilibrium）。如果停停止推力，，玻璃瓶將將恢復(fù)到它它的理想穩(wěn)穩(wěn)定狀態(tài)。。然而，如如果繼續(xù)用用力推下去去，在推力力達(dá)到一定定程度的時(shí)時(shí)候，玻璃璃瓶便會(huì)倒倒下，由由此又進(jìn)入入了一種新新的穩(wěn)定平平衡狀態(tài)。。玻璃瓶的的狀態(tài)在這這一瞬間就就發(fā)生了突突變，一一個(gè)非連續(xù)續(xù)性的變化化就這樣產(chǎn)產(chǎn)生了：在在玻璃瓶下下跌的過程程中，沒有有任何可能能的穩(wěn)定中中間狀態(tài)，，直到它完完全倒伏在在桌面上為為止。再比如拆一一堵墻，如如果從上面面開始一塊塊塊地把磚磚頭拆下來來，整個(gè)過過程就是結(jié)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的的漸變過程程。如果從從底腳開始始拆墻，拆拆到一定程程度，就會(huì)會(huì)破壞墻的的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定定性，墻就就會(huì)嘩啦一一聲，倒塌塌下來，這這種結(jié)構(gòu)不不穩(wěn)定性就就是突變。。托姆詳細(xì)研研究了各種種突變現(xiàn)象象以后，用用數(shù)學(xué)拓?fù)鋼淠Ｐ瓦M(jìn)行行了描述和和分類。他他證明并得得出結(jié)論，，在控制空空間不超過過四維的情情況下，盡盡管突變現(xiàn)現(xiàn)象形形色色色，但總總可以歸納納為：折疊疊、尖點(diǎn)、、燕尾、蝴蝴蝶、橢圓圓型臍點(diǎn)、、雙曲型臍臍點(diǎn)、拋物物型臍點(diǎn)等等七種基本類類型，其中每一一種都有其其基本特征征。這樣，，他在奇點(diǎn)點(diǎn)理論的基基礎(chǔ)上，以以結(jié)構(gòu)穩(wěn)定定這一拓?fù)鋼鋵W(xué)命題為為基本概念念。1972年，托姆出出版了《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性性和形態(tài)發(fā)發(fā)生學(xué)》一書，建立立了突變理論。。突變論catastrophetheory尖點(diǎn)型突變變蝴蝶型突變變狗咬人是一一種進(jìn)攻行行為，這種種進(jìn)攻行為為受兩個(gè)互互相矛盾的的傾向所約約束：發(fā)怒怒或恐懼。。這兩種因因素在某種種程度上可可以測(cè)量出出來，而這這兩種行為為之間的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變是一種種不連續(xù)的的變化。一一只狗的發(fā)發(fā)怒情況和和張嘴、露露齒的程度度有關(guān)，而而恐懼程度度則可以由由它的耳朵朵向后拉平平程度反映映出來。把把這兩種行行為和數(shù)學(xué)學(xué)模型結(jié)合合起來，就就可計(jì)算出出狗是進(jìn)攻攻還是逃跑跑。用“突變論論”一詞在在百度上搜搜索，可以以看到突變變論的廣泛泛應(yīng)用：突變論在經(jīng)經(jīng)濟(jì)預(yù)警中中的應(yīng)用淺析突變論論對(duì)心理學(xué)學(xué)的影響試探《周易》與突變論突變論───關(guān)于漢字字起源方式式的探索突變論在預(yù)預(yù)防硫化礦礦自燃中的的應(yīng)用研究究基于突變論論的林火蔓蔓延分析突變視域下下的企業(yè)發(fā)發(fā)展與管理理人類大腦進(jìn)進(jìn)化基因突突變論：高高智商緣于于短下巴多目標(biāo)突變變論在城市市用地發(fā)展展方向決策策中的應(yīng)用用——以撫順市為為例突變論catastrophetheory拓?fù)鋷缀卧谠诮ㄖO(shè)計(jì)計(jì)的應(yīng)用莫比烏斯住住宅、丹麥麥館、哈薩薩克國立圖圖書館、奔奔馳博物館館UNStudio將莫比烏斯環(huán)環(huán)的概念發(fā)展展成了一座建建筑，位于阿阿姆斯特丹近近郊的莫比烏斯住宅宅。建筑師以以人在一天的的活動(dòng)、位移移為主線，運(yùn)運(yùn)用數(shù)字技術(shù)術(shù)，將拓?fù)鋵W(xué)學(xué)中的莫比烏烏斯環(huán)作為建建筑生成的概概念。左圖描繪了夫夫婦兩人如何何一起生活、、分開工作又又如何相遇在在共享空間。。兩個(gè)人運(yùn)行行自己的軌跡跡，有時(shí)匯合合，有時(shí)甚至至可能會(huì)互換換角色。這個(gè)個(gè)住宅混合了了多種情況，，將不同的行行為置于一個(gè)個(gè)環(huán)形結(jié)構(gòu)之之中，工作、、家庭生活、、獨(dú)處都能在在環(huán)形中找到到自己的位置置。材料（主主要是玻璃和和混凝土）相相互依賴又轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換位置，混混凝土結(jié)構(gòu)在在內(nèi)部成為家家具而立面上上的玻璃在內(nèi)內(nèi)部成為了隔隔墻。莫比烏斯住宅宅UNStudio在這幢住宅里