2023屆T8（華師一附中、湖南師大附中等）高三上學期第一次學業(yè)質(zhì)量評價數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆T8（華師一附中、湖南師大附中等）高三上學期第一次學業(yè)質(zhì)量評價數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出等式右側復數(shù)的模，然后表示出復數(shù)z，再化簡變形求得結果.【詳解】由已知，可得，∴.故選：C．2．若集合，則（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合，根據(jù)集合的并集運算即可得答案.【詳解】解得，解得，故得，故，故選：B．3．已知是數(shù)列的前n項和，則“”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】，則，是遞增數(shù)列，充分性；的符號不確定，不必要，得到答案.【詳解】若，則，是遞增數(shù)列，“”是“是遞增數(shù)列”的充分條件；若是遞增數(shù)列，則，，但是的符號不確定，“”不是“是遞增數(shù)列”的必要條件.故選：A4．某同學擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)5次的統(tǒng)計結果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（

）A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2C．方差是，平均數(shù)是2 D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是2【答案】C【分析】舉特例可說明的正誤，利用方差的計算公式可判斷C.【詳解】選項A：有可能出現(xiàn)點數(shù)6，例如；選項B：有可能出現(xiàn)點數(shù)6，例如；選項C：設這5次的點數(shù)為，則方差如果出現(xiàn)點數(shù)6，而，則方差大于或等于3.2，故不可能出現(xiàn)點數(shù)6；選項D：有可能出現(xiàn)點數(shù)6，例如，故選：C．5．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將已知等式整理化簡成一個三角函數(shù)形式，再利用誘導公式轉化為余弦二倍角公式求解.【詳解】∵，∴.故選：B．6．已知圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺的兩個底面和側面均相切，則該圓臺的側面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圖，找出圖中的幾何關系，求出母線長和球的半徑即可.【詳解】上圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長定理可知：，設圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長為l，球的半徑為，則有，過點D作BC的垂線，垂直是G，則有，∴，在中，，∴圓臺的側面積與球的表面積之比為；故選：D．7．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【分析】先根據(jù)為偶函數(shù)得到，兩邊取的導數(shù)可得：求，進而得到，在根據(jù)導函數(shù)為奇函數(shù)可得到導函數(shù)的遞推公，然后根據(jù)遞推公式即可求解.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，即，兩邊同時對x求導得，即，令，則，∵為奇函數(shù)，∴，又，即，聯(lián)立得，即，∴，故選：C．8．已知橢圓，直線l過坐標原點并交橢圓于兩點（P在第一象限），點A是x軸正半軸上一點，其橫坐標是點P橫坐標的2倍，直線交橢圓于點B，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設,則由直線恰好是以為直徑的圓的切線,可得，再利用點差的方法可得，即得，從而可得的關系，即可求得橢圓離心率.【詳解】依題意，設，直線的斜率一定存在,分別為，直線恰好是以為直徑的圓的切線,則,則,則，∴，∵，兩式相減得，∴，即，∴，∴，∴，∴橢圓的離心率，故選:D．二、多選題9．在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．與所成的角是【答案】ABD【分析】A．利用三角形中位線進行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進行判斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10．將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，若的圖像與的圖像關于y軸對稱，則下列說法正確的有（

）A．B．C．的對稱軸過的對稱中心D．，使得【答案】AC【分析】根據(jù)平移法則結合得到，得到A正確B錯誤；計算對稱軸代入函數(shù)得到C正確，根據(jù)范圍計算兩個函數(shù)的值域得到D錯誤，得到答案.【詳解】，的圖像與的圖像關于y軸對稱，，即，，，經(jīng)檢驗，滿足題意，故選項A正確，選項B不正確；，，的對稱軸滿足，即，，即的對稱軸過的對稱中心，故選項C正確；當時，，的值域為，當時，，的值域為，，故選項D不正確．故選：AC11．設數(shù)列的前n項和為，且，若，則下列結論正確的有（

）A．B．當時，取得最小值C．當時，n的最小值為7D．當時，取得最小值【答案】ABD【分析】對于A，由變形求得，利用累加法求得，進而求得，求出，即可判斷；對于B，判斷的單調(diào)性，即可判斷；對于C，判斷單調(diào)遞增，并計算的值，即可判斷；對于D，根據(jù)，的值的正負以及單調(diào)性，判斷的值正負以及單調(diào)性，即可判斷.【詳解】由得，∴，累加得，，故，當時，滿足上式，∴，當時，，∴，故選項A正確；由于函數(shù)，其圖象對稱軸為，當時函數(shù)遞增，故當時，單調(diào)遞增，又，∴單調(diào)遞增，且，∴當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，且，∴當時，取得最小值，故選項B正確；當時，單調(diào)遞增，又，∴當時，n的最小值為8，故選項C錯誤；當時，；當時，；當時，，∴當時，考慮的最小值，又當時，恒為正且單調(diào)遞減，恒為負且單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞增，∴當時，取得最小值，故選項D正確，故選：．12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若，則下列結論正確的是（

）A．B．C．方程有兩個解D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】設，求導得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到，計算得到A正確；計算得到B正確；設，計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到得到C正確；，求導確定函數(shù)在上得到答案.【詳解】設，則，設，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，，當時，，當時，，故當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，即，選項A正確；，故，選項B錯誤；設，則，設，則當時，；當時，，且，故；當時，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，，使得，即當時，，當時，；綜上：當時，，即，單調(diào)遞增；當時，，即，單調(diào)遞減，，當時，，當時，，，且當趨于正無窮時，趨于0，又，方程有兩個解，即方程有兩個解，選項C正確；由可得，，令，則，由以上分析可知，當時，，即，單調(diào)遞增，，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項D正確．故選：ACD【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，構造新函數(shù)確定新函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵.三、填空題13．二項式展開式中的系數(shù)為____________．【答案】5【分析】將化為，利用二項式系數(shù)結合組合數(shù)的計算，求得答案.【詳解】因為，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：514．已知非零向量滿足，則的夾角大小是_________．【答案】【分析】將由平方得，結合化簡推出，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由平方得，∵，∴,即，代入得，即，∴，而，∴的夾角為，故答案為：另解：作向量，則，由題意可知，，且，∴，∴的夾角為，故答案為：15．若關于x的不等式有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為_______________．【答案】【分析】令，求導計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，題目轉化為，計算，得到，計算得到答案.【詳解】令，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，且當時，，當時，，，原不等式等價于或（不存在整數(shù)解），有且只有一個整數(shù)解，，故，即實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)解決方程的解的個數(shù)問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中構造函數(shù)確定單調(diào)性，將題目轉化為是解題的關鍵.四、雙空題16．已知雙曲線的左、右焦點分別為和，O為坐標原點，過作漸近線的垂線，垂足為P，若，則雙曲線的離心率為__________;又過點P作雙曲線的切線交另一條漸近線于點Q，且的面積，則該雙曲線的方程為_____________．【答案】

##

【分析】第一空：設，由題意可求得，結合求得，從而解，利用正弦定理求得，即可求得雙曲線得離心率.第二空，過P點的切線與雙曲線切于點，設，表示出，利用雙曲線的切線方程聯(lián)立漸近線方程求得，從而根據(jù)三角形面積求得b，即可求得雙曲線方程.【詳解】設，則有，又垂直于漸近線即，,∴，而,∴，在中,，由正弦定理：，∴,∴，∴，∴，∴，另解：依題意，可得的方程為，聯(lián)立，可得，∴，又，在中，，即，化簡得，∴.如圖，過P點的切線與雙曲線切于點，設，又P，Q均在雙曲線的漸近線上，故設，又，∴，∴，過M點的切線方程為，即，代入，化簡得，又，∴，即，∴，∴，∴，∴，故雙曲線的方程為,故答案為:,【點睛】難點點睛:該題考查雙曲線離心率的求解以及雙曲線標準方程,由題意可以求得的關系，而難點在于利用求得a或b的值，此時解答時設出，關鍵要利用過雙曲線上一點的切線方程聯(lián)立漸近線方程求得，進而利用三角形面積求得答案.五、解答題17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，記為的前項和，是等比數(shù)列，．(1)求;(2)記，求數(shù)列的前10項和．【答案】(1)(2)760【分析】（1）利用是等差數(shù)列和是等比數(shù)列列方程組解出的值，由對數(shù)的運算性質(zhì)可得等比，進而即可得的通項公式；（2）由（1）得，令，則，則數(shù)列的前10項和等于4倍數(shù)列的前10項和.【詳解】（1）由題意得，所以①，又是等比數(shù)列，所以，因為，所以②，又，故由①②聯(lián)立解得，又是等差數(shù)列，所以為定值，即為定值，故為等比數(shù)列，首項，公比，所以的通項公式為．（2）由（1）得，所以，即是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，令，則，記的前n項和為，所以，數(shù)列的前10項和為760．18．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且．(1)求角A、B、C;(2)若，延長至D，使的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡得到，根據(jù)等比數(shù)列得到，計算得到答案.（2）根據(jù)面積計算得到，，根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，，，，即，成等比數(shù)列，故，，故，，，當且僅當時，等號成立，，又，．（2），，，即，故，，在中，，，即，故．19．黨的二十大的勝利召開為我們建設社會主義現(xiàn)代化國家指引了前進的方向．為謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程，增進高中學生對黨的二十大的理解，某校組織開展黨的二十大知識競賽活動，以班級為單位參加比賽，最終甲、乙兩班進行到了最后決賽，決賽采取五局三勝制，約定先勝三局者贏得比賽．已知每局比賽中必決出勝負，每一局若甲班先答題，則甲獲勝的概率為，若乙班先答題，則甲獲勝的概率為，每一局輸?shù)囊环皆诮酉聛淼囊痪种邢却痤}，第一局由乙班先答題．(1)求比賽一共進行了四局并且甲班最終贏得比賽的概率；(2)若規(guī)定每一局比賽中勝者得2分，負者得0分，記X為比賽結束時甲班的總得分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）因為比賽一共進行了四局并且甲班最終贏得比賽，所以最后一局甲班獲勝，在前三局中分情況討論，從而求出比賽一共進行了四局并且甲班最終贏得比賽的概率；（2）X的所有可能取值有0，2，4，6，即比賽三局且甲三局全輸；比賽四局且甲贏一局；比賽五局且甲贏二局；比賽五局且甲贏三局，從而計算事件的概率，寫出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）記表示“第i局甲獲勝”，設A表示“比賽一共進行了四局并且甲班最終獲勝”，則事件A包括三種情況：，這三種情況互斥，且相互獨立，∴．（2）由題意，X的所有可能取值有0，2，4，6，，，；；∴X的分布列為：X0246P∴．20．如圖（1），菱形中，，動點E，F(xiàn)分別在邊上（不含端點），且，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖（2）所示．(1)當為何值時，;(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面和平面夾角的大小．【答案】(1)(2)．【分析】（1）證明，延長交于點N，確定O為的重心，計算得到答案.（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，根據(jù)線面夾角得到，再計算兩個平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）菱形中，，故，，是等邊三角形，又，故，故也是等邊三角形，取的中點O，連接，則，平面平面，平面，平面平面，故平面，平面，故，由，而，故平面，平面，故，延長交于點N，則，，故O為的重心，又O點在上，，故，即．（2）以O為坐標原點，以為x軸，y軸，之軸建立空間直角坐標系（如圖所示），設菱形邊長為2，則，，，，，平面，即為與平面所成的角，，解得，平面，故即為平面的法向量．設平面的法向量為，則即，取，則，，平面與平面的夾角為．21．已知拋物線的準線與x軸的交點為H，直線過拋物線C的焦點F且與C交于A，B兩點，的面積的最小值為4．(1)求拋物線C的方程；(2)若過點的動直線l交C于M，N兩點，試問拋物線C上是否存在定點E，使得對任意的直線l，都有，若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由．【答案】(1)(2)存在定點【分析】（1）設，代入拋物線，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關系，確定，計算得到答案.（2）設的方程為，代入拋物線得到根與系數(shù)的關系，根據(jù)垂直關系得到，計算得到定點.【詳解】（1）斜率不為零，設代入，，設，則，，當時，取最小值