22.3實際問題與二次函數(shù) 九年級上冊人教版數(shù)學(xué)教學(xué)課件

九年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)22.3實際問題與二次函數(shù)第1課時寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并寫出其最值.(1)

y=x2-4x-5；(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：(1)y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=(x-2)2-9.開口方向：向上；對稱軸：x=2；頂點坐標(biāo)：(2，-9)；最小值：-9.

知識回顧1.分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.2.會運用二次函數(shù)求實際問題中的最大值或最小值.3.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形中最大面積問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)問題從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關(guān)系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)．小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2課堂導(dǎo)入？?最高點(頂點)解法一：配方法∴t=3時，hmax=45.所以小球運動時間為3s時，小球最高，小球運動中

的最大高度為45m.∵h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45，解法二：公式法所以小球運動時間為3s時，小球最高，小球運動中

的最大高度為45m.∵h=30t-5t2新知探究

一般地，當(dāng)a>0(a<0)時，拋物線y=ax2

+

bx+c的頂點是最低（高）點，也就是說當(dāng)時，二次函數(shù)

y=ax2

+

bx+c有最?。ù螅┲?知識點例1

用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當(dāng)l是多少米時，場地的面積S最大？即S=-l2+30l(0<l<30).S=l(30-l),解：根據(jù)題意得

也就是說，當(dāng)l是15m時，場地的面積S最大.矩形周長為60m一邊長為lm,另一邊長為(30-l)m例2

如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，這個矩形的長、寬分別為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少?解：根據(jù)題意設(shè)矩形菜園平行于墻的一邊長為lm，菜園的面積為Sm2，

因為0<l≤18，所以l=18時，S取得最大值，即當(dāng)矩形的長為21m，寬是18m時，菜園的面積最大，最大面積為378m2.

當(dāng)l<30時，S隨l

的增大而增大，注意：實際問題中求解二次函數(shù)最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據(jù)自變量的取值范圍進行分析.通過前兩道例題的對比，希望同學(xué)們能夠理解函數(shù)圖象的頂點、端點與最值的關(guān)系，并能結(jié)合實際問題，判斷何時在頂點處取最值.、何時在端點處取最值.用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：1.審：仔細審題，厘清題意.2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù).3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式.4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題.5.檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.二次函數(shù)解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.檢查求得的最大值或最小值對應(yīng)的自變量的值是否在自變量的取值范圍內(nèi).

在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC

兩邊)，設(shè)AB=xm，花園面積為Sm2.(1)求S

與x

之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x

為何值時，S有最大值？請求出最大值.解：(1)由題意得AD=(28-x)m，則S=x(28-x)=-x2+28x(0<x<28).(2)因為S=-x2+28x=-(x-14)2+196，所以當(dāng)x=14時，S有最大值，最大值是196.跟蹤訓(xùn)練新知探究1.已知直角三角形兩條直角邊的和等于8，兩條直角邊分別為多少時，這個直角三角形的面積最大？最大值是多少？

隨堂練習(xí)2.如圖，在一面靠墻的空地上用長24m的籬笆，圍成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的一邊AB的長為xm，面積為Sm2.(1)求S

與x

之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x

的取值范圍；

解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，∴當(dāng)x=3時，S最大值=36.

2.如圖，在一面靠墻的空地上用長24m的籬笆，圍成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的一邊AB的長為xm，面積為Sm2.(2)當(dāng)x

取何值時，圍成的花圃面積最大，最大面積是多少？答：當(dāng)x取3時圍成的花圃面積最大，最大面積是36m2．解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，由(2)知，當(dāng)x>3時，S隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=4時，S取得最大值，且S最大值=32.答：當(dāng)x取4時所圍成的花圃面積最大，最大面積是32m2．2.如圖，在一面靠墻的空地上用長24m的籬笆，圍成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的一邊AB的長為xm，面積為Sm2.(3)若墻的最大可用長度為8m，則花圃的最大面積是多少？3.如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備用籬笆圍成一塊矩形花圃ABCD，為了節(jié)省籬笆，一邊利用足夠長的墻，另外三邊用籬笆圍著，再用兩段籬笆EF

與GH

將矩形ABCD分割成①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等，現(xiàn)有總長80m的籬笆，當(dāng)圍成的花圃ABCD

的面積ym2最大時，AB的長為

m.

3.如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備用籬笆圍成一塊矩形花圃ABCD，為了節(jié)省籬笆，一邊利用足夠長的墻，另外三邊用籬笆圍著，再用兩段籬笆EF

與GH

將矩形ABCD分割成①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等，現(xiàn)有總長80m的籬笆，當(dāng)圍成的花圃ABCD

的面積ym2最大時，AB的長為

m.15幾何面積最值問題一個關(guān)鍵一個注意建立函數(shù)關(guān)系式常見幾何圖形的面積公式依據(jù)最值有時不在頂點處，需要利用函數(shù)的增減性來確定課堂小結(jié)1.在一個腰長為10cm

的等腰直角三角形的內(nèi)部截一個矩形ABCD，使三角形的直角為矩形的一個內(nèi)角，則矩形ABCD

面積的最大值是

.25cm2解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=10cm，∠E=∠F=45°.∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，∴∠ECD=45°，∴ED=CD.設(shè)AD=xcm，矩形面積為ycm2，∴ED=CD=(10-x）cm，y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，∴當(dāng)x=5時，y取最大值為25．對接中考

2.有一條長7.2m的木料，做成如圖所示的“日”字形的窗框，窗框的高和寬各取多少米時，這個窗的面積最大？(不考慮木料加工時的損耗和中間木框所占的面積)3.如圖，在足夠大的空地上有一段長為a

m的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100m木欄.(1)若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450m2，求所利用舊墻AD

的長；解：(1)設(shè)AB=t

m，則BC=(100-2t)m，根據(jù)題意得t(100-2t)=450，解得t1=5，t2=45，當(dāng)t=5時，100-2t=90＞20，不合題意，舍去；當(dāng)t=45時，100-2t=10.答：AD的長為10

m.

3.如圖，在足夠大的空地上有一段長為am的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100m木欄.(2)求矩形菜園ABCD

面積的最大值.22.3實際問題與二次函數(shù)九年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)第2課時知識回顧

一般地，當(dāng)a>0，拋物線y=ax2+bx+c有最低點，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最小值，即當(dāng)時，.當(dāng)a<0時，拋物線y=ax2+bx+c有最高點，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值，即當(dāng)時，.求函數(shù)最值問題的方法有：公式法和配方法，但注意實際問題自變量的取值范圍，有必要時結(jié)合函數(shù)的增減性來求最值.1.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過程中的最大利潤問題.2.弄清商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系及自變量的取值范圍.

學(xué)習(xí)目標(biāo)銷售問題中的數(shù)量關(guān)系：(1)銷售額=售價×銷售量；(2)單件利潤=售價-進價；(3)利潤=銷售額-總成本=單件利潤×銷售量.課堂導(dǎo)入探究某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？銷售模式：降價或漲價都可以哦！新知探究探究某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？模式一：漲價銷售①每件漲價x元，每星期售出商品的利潤

y元，則每件商品的利潤為(20+x)元，每星期賣出(300-10x)件，所得的利潤為y=(20+x)(300-10x),即y=-10x2+100x+6000.知識點②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價格上漲，銷量下降，銷量不能為負，故300-10x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤30.③漲價多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？y=-10x2+100x+6000，

即定價為65元時，最大利潤是6250元.探究某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？模式二：降價銷售①每件降價x元，每星期售出商品的利潤

y元，則每件商品的利潤為(20-x)元，每星期賣出(300+20x)件，所得的利潤為y=(20-x)(300+20x),即y=-20x2+100x+6000.②自變量x的取值范圍如何確定？營銷規(guī)律是價格下降，銷量上升，因此售價不能低于成本，故20-x≥0，且x≥0,因此自變量的取值范圍是0≤x≤20.③漲價多少元時，利潤最大，是多少？

求解最大利潤問題的一般步驟：(1)建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式：運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”.(2)結(jié)合實際意義，確定自變量的取值范圍.(3)在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：可以利用配方法或公式法求出最大利潤，也可以畫出函數(shù)的圖象，利用圖象的性質(zhì)求出.例為早日實現(xiàn)脫貧奔小康的宏偉目標(biāo)，我市結(jié)合本地豐富的山水資源，大力發(fā)展旅游業(yè).王家莊在當(dāng)?shù)卣闹С窒?，辦起了民宿合作社，專門接待游客，合作社共有80間客房.根據(jù)合作社提供的房間單價x(元)和游客居住房間數(shù)y(間)的信息，樂樂繪制出y

與x

的函數(shù)圖象如圖所示.(1)求y

與x

之間的函數(shù)關(guān)系式.

(70,75)(80,70)(2)合作社規(guī)定每個房間價格不低于60元且不超過150元，對于游客所居住的每個房間，合作社每天需要支出20元的各種費用，房價定為多少時，合作社每天獲利最大？最大利潤是多少？(2)設(shè)合作社每天獲得的利潤為w元，由(1)可知游客居住房間數(shù)為y=-0.5x+110,

則w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+110)=-0.5x2+120x-2200=-0.5(x-120)2+5000.因為60≤x≤150，所以當(dāng)x=120時，w取得最大值，此時w=5000，故當(dāng)房價定為120元時，合作社每天獲利最大，最大利潤是5000元.某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價格為25元/件時，每天的銷售量為250件，銷售價格每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.(1)請你寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w元與銷售價格x元/件之間的函數(shù)關(guān)系式；解：(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]

=-10x2+700x-10000.新知探究跟蹤訓(xùn)練某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價格為25元/件時，每天的銷售量為250件，銷售價格每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.(2)銷售價格為多少時，每天的銷售利潤最大？解：(2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250(0≤x≤50)，故當(dāng)x=35時，w有最大值2250.即銷售價格為35元/件時，每天的銷售利潤最大.某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價格為25元/件時，每天的銷售量為250件，銷售價格每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.(3)商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A，B兩種營銷方案.方案A：該文具的銷售價格高于進價且不超過30元/件.方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元.請通過計算說明哪種方案的最大利潤更高.解：(3)方案A：由題意得w=-10(x-35)2+2250(20<x≤30).因為-10<0，拋物線的對稱軸為直線x=35，所以拋物線開口向下，在對稱軸的左側(cè)，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=30時，w取最大值2000.當(dāng)對稱軸不在定義域內(nèi)時，則要結(jié)合函數(shù)圖象的增減性來求最值.

1.某種商品每件的進價為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x

元出售，可賣出(100-x)件，應(yīng)該如何定價才能使利潤最大？解：設(shè)最大利潤為w元則w=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225，∵30≤x≤100，∴當(dāng)x=65時，二次函數(shù)有最大值1225，∴定價是65元時，利潤最大．隨堂練習(xí)最大利潤問題建立函數(shù)關(guān)系式總利潤=單件利潤×銷售量或總利潤=總售價-總成本.確定自變量取值范圍漲價：要保證銷售量≥0；降價：要保證單件利潤≥0.確定最大利潤利用配方法或公式法求最大值或利用函數(shù)圖象和性質(zhì)求出.課堂小結(jié)（2020?鄂州中考）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y(件)與售價x(元/件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x/（元/件）456y/件1000095009000（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；對接中考解:(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b(k≠0),∴y＝﹣500x+12000；（2020?鄂州中考）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y(件)與售價x(元件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x/（元/件）456y/件1000095009000（2）在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元？解：(2)由題意得解得3≤x≤12.解：（2）設(shè)利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝(x-3)y＝(x-3)(-500x+12000)＝-500x2+13500x-36000＝-500(x-13.5)2+55125，∵﹣500＜0，∴當(dāng)x＜13.5時，w隨x的增大而增大.∵3≤x≤12，∴當(dāng)x＝12時，w取最大值-500×(12-13.5)2+55125＝54000.答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為12元.（2020?鄂州中考）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y(件)與售價x(元件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x/（元/件）456y/件1000095009000（3）抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機構(gòu)捐贈m元（1≤m≤6），捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大．請直接寫出m的取值范圍．解：(3)根據(jù)題意得，w＝(x-3-m)(-500x+12000)

＝-500x2+(13500+500m)x-36000-12000m，∵﹣500＜0，∴當(dāng)x≤13.5+0.5m時，w隨x的增大而增大.∵捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3.∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．22.3實際問題與二次函數(shù)九年級上冊RJ初中數(shù)學(xué)第3課時知識回顧利用函數(shù)解決實際問題的一般步驟：一建：選取適當(dāng)?shù)狞c建立直角坐標(biāo)系.二設(shè)：設(shè)自變量和因變量.三找：找函數(shù)關(guān)系.四列：列出函數(shù)關(guān)系式.五解：根據(jù)題意進行解答.六答：根據(jù)題目要求進行作答.1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．2.利用二次函數(shù)解決拱橋及運動中的有關(guān)問題．3.能運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行決策．學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入探究

圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2

m時，水面寬4

m．水面下降1

m，水面寬度增加多少？1m水面下降1m，水面的寬度怎么計算呢？圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬

4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？分析：我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)．為解題簡便，以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為

y

軸建立直角坐標(biāo)系(如圖）．知識點1新知探究

除了這種建坐標(biāo)系的方式外，還有其他建坐標(biāo)系的方式嗎？xyO①P(2,2)A(4,0)M

xyO②P(-2,2)B(-4,0)

MxOP(0,2)A(2,0)

③xyOA(2,-2)

M解決橋拱形狀為拋物線形的實際問題時，一般分為以下四個步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)根據(jù)條件，把已知的線段長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)恰當(dāng)選用二次函數(shù)的解析式形式，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(4)利用拋物線解析式求出與問題相關(guān)的點的坐標(biāo)，進而得到實際問題的解.注意：同一個問題中，建立平面直角坐標(biāo)系的方法有多種，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系能簡化函數(shù)解析式.通常應(yīng)使已知點在坐標(biāo)軸上.解：(1)答案不唯一.如以AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示，則A(-4,0)，B(4,0)，C(0,6).設(shè)這條拋物線的解析式為y=a(x-4)(x+4).本題源于《教材幫》一條單車道的拋物線形隧道如圖所示.隧道中公路的寬度AB=8m，隧道的最高點C

到公路的距離為6m.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的解析式；跟蹤訓(xùn)練新知探究

本題源于《教材幫》一條單車道的拋物線形隧道如圖所示.隧道中公路的寬度AB=8m，隧道的最高點C

到公路的距離為6m.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的解析式；跟蹤訓(xùn)練新知探究

一條單車道的拋物線形隧道如圖所示.隧道中公路的寬度AB=8m，隧道的最高點C

到公路的距離為6m.(2)現(xiàn)有一輛貨車的高度是4.4m，貨車的寬度是2m.為了保證安全，車頂距離隧道頂部至少0.5m，通過計算說明這輛貨車能否安全通過這條隧道.2m4.4m

知識點2新知探究（0,1）1.55m5m

知識點2新知探究（0,1）1.55m5m

1.如圖，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，寬為20m，若水位上升3m，水面就會達到警戒線CD，這時水面寬度為10m.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；隨堂練習(xí)

關(guān)于此類問題的解題技巧詳見初中《教材幫》數(shù)學(xué)RJ九上22.3節(jié)方法幫.如圖，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時，寬為20m，若水位上升3m，水面就會達到警戒線CD，這時水面寬度為10m.(2)若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開