應(yīng)用數(shù)值分析(第四版)課后習(xí)題答案第3章

第三章習(xí)題解答1.試討論a取什么值時，下列線性方程組有解，并求出解。解：(1)經(jīng)初等行變換化為當(dāng)時，方程組有解，解為(2)經(jīng)初等行變換化為當(dāng)時，方程組有解，解為2.證明下列方程組Ax=b當(dāng)（1）時無解；（2）時有無窮多組解。解：(1)r(A)=3r(A,b)=4當(dāng)(2)r(A)=3,r(A,b)=3當(dāng)時無解；時有無窮多組解。3.用列主元高斯消元法求解Ax=b(1)x=(2,-2,1)T(2)x=(0,-7,5)T4.證明上（下）三角方陣的逆矩陣任是上（下）三角方陣。證明：設(shè)設(shè)A的逆為由于是上（下）三角方陣，即其中為的代數(shù)余子式，是上三角方陣，所以當(dāng)時，所以為上三角方陣。5.用Gauss-Jordan法求解下列矩陣的逆矩陣。解(1)6.以已知矩陣A=，試對A進(jìn)行cholesky分解A=L1L1T,并利用分解因子陣L1求A的逆矩陣A-1=(L-1)T(L-1).解:A==j=1時,l11=1,l21=2,l31=6j=2時,l22===1,l32=(a32-l31l21)/l32=3;=1j=3時,l33L=L-1=A-1=(L-1)T(L-1)==7.已知線性方程組試用Cholesky分解解:求解問題（1），用對稱分解求解問題（2）。(8)A===LLT解Ly=b,得y=[2.1213,-1.2247,-0.0000]T解LTx=y得x=[1,-1,0]T（2）A===LDLT解Lz=b,得z=[2.0000,0.6000,-0.7143,0.8334]T解Dy=z,得y=[0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999]T解LTx=y得x=[1,1,1,1]T8．設(shè)A是對稱正定陣，試證明不選主元的Cholesky分解的計(jì)算過程是數(shù)值穩(wěn)定的。證明：綜合以上得到結(jié)論：在Cholesky分解中，不選主元的計(jì)算分解式的元素的數(shù)量級不會增長，能得到控制，且方法。恒正，因此，這是一個節(jié)省儲存且計(jì)算過程是數(shù)值穩(wěn)定的9.求解以下三對角方程組(1)解:A===LU解Ly=b,得y=[1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T解Ux=y得x=[1,1，-1,-1]T(2)解:A===LU解Ly=b,得y=[1，2.5，-2，-2]T解Ux=y得x=[0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333]T10.證：11．試求解周期三對角方程組解：12．13．試計(jì)算為正整數(shù)，求14.設(shè)方程組Ax=，其中A=，=1計(jì)算，判斷方程組是否病態(tài)。2用全主元消元法求解，結(jié)果如何？3用105除第一個方程所得方程組是否病態(tài)？解：1105+1又==（1+105）=〉〉1該方程組是病態(tài)2用全主元消元法求解。==〉〉1出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象，結(jié)果失真。3用105除第一個方程得：A1=，=方程組是良態(tài)的。15．設(shè)n階對角矩陣,試計(jì)算det(A)和cond(A)2結(jié)果說明什么。解：行列式小并不能說明矩陣是病態(tài)的。16.已知（2.0，0.1）T是以下方程組的計(jì)算解，=（1.0，1.0）T是精確解，求剩余，，，并分析此結(jié)果。解：（1）（2）（3）（4）由計(jì)算可知道，該方程組是病態(tài)的，相對剩余量為0.053，相對誤差為0.95。由于相對誤差很大，所以相對剩余量雖小，并不能反映近似解的近似程度。17．有線性方程組Ax=b，其中試對A作QR分解（不限方法），并利用A的QR分解求解此方程組。解:解Qy=b,得y=[10-5-5]T解Rx=y得x=[1-11]T18.設(shè)非奇異，有擾動使，若是方程組的解，是方程組的解，，試證明：證明：19．設(shè)方程組的系數(shù)矩陣分別為考察求解此方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。解：Jacobi迭代不收斂。Gauss-Seidel迭代收斂。Jacobi迭代收斂。Gauss-Seidel迭代收斂。20．設(shè)方程組1若用迭代法和迭代法求解方程組是否收斂？2若將方程組交換方程次序如何？解：①用迭代法：BJ=D-1（L+U）=所以迭代法發(fā)散。迭代法：BG=（D-L）-1U=所以迭代法發(fā)散。②交換次序，則用迭代法：BJ=D-1（L+U）=所以迭代法收斂。迭代法：BG=（D-L）-1U=所以迭代法收斂。21.已知方程組若用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，取初值，需要迭代多少次上述兩種方法的誤差小于。解：Jacobi迭代至少需要迭代12次。Gauss-Seidel迭代至少需要迭代10次。22.根據(jù)Gauss-Seidel迭代格式用松弛因子加速收斂的方法，同樣對Jacobi迭代法也用松弛因子加速，給出迭代計(jì)算的分量形式和矩陣表達(dá)式。解：整理得分量形式矩陣形式23.已知試分別導(dǎo)出求解的迭代法和迭代法收斂的充要條件。解：用迭代法：BJ=D-1（L+U）=時方程組收斂，條件是：迭代法：BG=（D-L）-1U=時方程組收斂，條件是：24.設(shè)A為對稱正定陣，其特征值，試證明：當(dāng)滿足時，迭代格式，（）是收斂的？證明：由于是A的特征值，則的特征值為當(dāng)時收斂，此時則有：25．解：26.設(shè)是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，試證明用SOR方法求解Ax=b，取時是收斂的。證明：設(shè)即又所以SOR法當(dāng)27.設(shè)有方程組時是收斂的。（1）寫出用SOR方法求解的分量計(jì)算式；（2）求出最佳松弛