人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊 《單元教學(xué)-組合數(shù)》教學(xué)設(shè)計

《組合數(shù)》教學(xué)設(shè)計一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容本單元包括排列與組合，其中排列和排列數(shù)公式、組合和組合數(shù)公式是本單元的核心內(nèi)容.本單元的知識結(jié)構(gòu)如下：本單元教學(xué)約需4課時，第1課時的主要內(nèi)容是排列的概念，第2課時的主要內(nèi)容是排列數(shù)和排列數(shù)公式，第3課時的主要內(nèi)容是組合的概念，第4課時的主要內(nèi)容是組合數(shù)和組合數(shù)公式，其中第1課時和第3課時屬于概念課，第2課時和第4課時則是原理與規(guī)則課.2.內(nèi)容解析排列與組合是組合學(xué)最基本的概念，其核心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù).排列的本質(zhì)就是從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素排成一列，需要將它們排序；組合的本質(zhì)則是從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素作為一組，而不考慮將它們排序.本單元是在計數(shù)原理的基礎(chǔ)上，將實際問題中抽取的對象抽象為元素，引入排列與組合的概念，然后用字母表示排列數(shù)和組合數(shù)，并給出計算排列數(shù)和組合數(shù)的公式.在此過程中，體現(xiàn)將實際問題轉(zhuǎn)化為排列與組合問題的數(shù)學(xué)抽象，將分類、分步的計數(shù)表示為排列數(shù)和組合數(shù)的數(shù)學(xué)模型，以及通過排列數(shù)與組合數(shù)公式便捷求出計數(shù)結(jié)果的數(shù)學(xué)運算.排列與組合是兩類特殊的計數(shù)問題，是兩個計數(shù)原理的典型應(yīng)用.排列組合與前后知識有著緊密的聯(lián)系.排列組合可用于解決古典概型問題；在下一節(jié)中，二項式系數(shù)就是組合數(shù)；在后續(xù)學(xué)習(xí)中還可看到它們與概率論密不可分.根據(jù)上述分析，可以確定本單元的教學(xué)重點：排列和排列數(shù)公式，組合和組合數(shù)公式.二、單元目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)（1）理解排列、組合的概念.（2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.2.目標(biāo)解析達成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）通過解決實際的計數(shù)問題，能將問題中抽取的具體對象抽象為元素，從而將具體問題歸納為一般問題，得到排列的定義，并能利用定義判斷排列問題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).（2）能在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別排列與排列數(shù).通過利用計數(shù)原理分析和解決具體的排列問題，將所求排列數(shù)的結(jié)果歸納為一般形式，從而得出排列數(shù)公式，并能利用公式求具體問題的排列數(shù)，提高分析和解決問題的能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).（3）通過解決實際的計數(shù)問題，能將問題中抽取的具體對象抽象為元素，從而將具體問題歸納為一般問題，得到組合的定義，并能利用定義判斷組合問題，知道組合問題與排列問題的區(qū)別與聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).（4）能在組合基礎(chǔ)上給出組合數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別組合與組合數(shù)，通過利用計數(shù)原理分析和解決具體的組合問題，由組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系得到所求組合數(shù)，再將具體結(jié)果歸納為一般形式，從而得組合數(shù)公式，并能利用公式求具體問題的組合數(shù)，提高分析和解決問題的能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).三、單元教學(xué)問題診斷分析本單元教學(xué)中，與推導(dǎo)排列數(shù)公式不同，推導(dǎo)組合數(shù)公式不僅需要將具體情況歸納為一般情況，還要研究組合與排列的關(guān)系，通過建立有關(guān)排列數(shù)與組合數(shù)的等量關(guān)系式得到組合數(shù)公式，學(xué)生對此的理解會有一定的困難.教學(xué)中應(yīng)該緊扣實例，引導(dǎo)學(xué)生利用分步乘法計數(shù)原理分析具體問題，發(fā)現(xiàn)排列可以分為“先取元素分組，再對組中元素作全排列”兩個步驟，從而得到“從n個元素中取出m個元素的排列數(shù)”等于“從n個元素中取出m個元素的取法數(shù)”與“將取出的m個元素作全排列的排法數(shù)”的乘積，并認識到所得等式的兩邊是對同一個問題作出的兩個等價解釋.在本單元，排列與組合的應(yīng)用主要是綜合運用計數(shù)原理、排列與組合的有關(guān)概念、公式解決問題.在解決問題中需要正確選擇計數(shù)原理，辨別排列問題和組合問題，正確運用排列數(shù)公式或組合數(shù)公式，這些對學(xué)生來說具有一定的困難.教學(xué)中要結(jié)合具體實例，強調(diào)圍繞“所選元素是否與順序有關(guān)”這一關(guān)鍵辨別是排列問題還是組合問題.另外，還要引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑考慮應(yīng)用問題，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為排列問題或組合問題，并正確運用排列數(shù)或組合數(shù)公式求出結(jié)果的過程，獲得一些解題經(jīng)驗，學(xué)會分析排列問題和組合問題的不同方法，并提高解決應(yīng)用題的能力.本單元的教學(xué)難點是推導(dǎo)組合數(shù)公式，以及排列與組合的應(yīng)用.四、課時教學(xué)設(shè)計第4課時（6.2.4組合數(shù)）（一）教學(xué)內(nèi)容組合數(shù)的定義和表示，組合數(shù)公式.（二）教學(xué)目標(biāo)1.能在組合基礎(chǔ)上給出組合數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別組合與組合數(shù).2.通過利用計數(shù)原理分析和解決具體的組合問題，利用組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系，得到組合數(shù)公式，并能利用公式求具體問題的組合數(shù).（三）教學(xué)重點與難點重點：組合數(shù)公式.難點：推導(dǎo)和應(yīng)用組合數(shù)公式.（四）教學(xué)過程設(shè)計1.公式的引入問題1：在6.2.3節(jié)中，我們通過列舉數(shù)數(shù)的方式得到各問題的組合個數(shù)，但隨著元素個數(shù)的增加，這樣的方法就越來越煩瑣了，是否能像排列一樣，也能找到計算組合個數(shù)的公式，從而能便捷地求出組合個數(shù)？師生活動：（1）為了便于表達和計算組合個數(shù)，類比排列數(shù)，教師同樣可以先引入組合數(shù)的定義和表示：把從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，并用符號（2）用組合數(shù)符號表示6.2.3節(jié)問題1的組合數(shù)，并說明組合數(shù)與組合有何區(qū)別.設(shè)計意圖：結(jié)合已解決的具體問題，類比排列數(shù)給出組合數(shù)的定義和表示，并與相似的組合概念作對比，引入組合數(shù)公式.2.公式的推導(dǎo)問題2：前面已經(jīng)提到，組合與排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)來求組合數(shù)呢？追問（1）：（1）我們知道，可以利用排列數(shù)公式求出6.2.1節(jié)問題1的排列數(shù)，那么能否在此基礎(chǔ)上求出與之有關(guān)的6.2.3節(jié)問題1的組合數(shù)呢？（2）能否用與（1）同樣的方法，求從4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)？師生活動：我們已經(jīng)知道，6.2.1節(jié)問題1中相同元素的排列有3組，每組的排列數(shù)是2，即排列數(shù)；而6.2.3節(jié)問題1中的每一組都對應(yīng)著6.2.1節(jié)問題1中相同元素的一組排列，且組合數(shù).這樣，我們利用“元素相同、順序不同的兩個組合相同”“元素相同、順序不同的兩個排列不同”，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，建立了排列和組合之間的對應(yīng)關(guān)系，并求得了從3個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，并且.追問（2）：依據(jù)求組合數(shù)和的方法，如何求組合數(shù)？師生活動：求“從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，可以看作由以下兩個步驟得到：第1步，從n個不同元素中取出m個元素，共有種不同的取法.第2步，將取出的m個元素作全排列，共有種不同的排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有.因此，.這里，并且.這個公式叫做組合數(shù)公式.追問（3）：由還可以得到組合數(shù)公式的什么形式？師生活動：因為排列數(shù)公式有兩種形式，由可以得到組合數(shù)公式的另一種形式.設(shè)計意圖：通過利用排列數(shù)求出具體問題的組合數(shù)，由具體到一般，用同樣的方法得組合數(shù)公式.3.公式的辨析問題3：上述組合數(shù)公式有什么特點？使用公式需要注意什么？師生活動：在解決問題3的過程中，教師可向?qū)W生提出以下問題：（1）與排列數(shù)公式比較，二者有什么相似和不同？（2）在求組合數(shù)時，應(yīng)該如何選擇兩個公式？設(shè)計意圖：通過辨析公式，把握公式的特點，以便更好地記憶公式，加深對公式的理解，并規(guī)定.4.公式的應(yīng)用例1計算：（1）；（2）；（3）；（4）.師生活動：在完成例1的過程中，可以向?qū)W生提出下列問題：（1）比較用不同形式的組合數(shù)公式和結(jié)論求上述各題，你對公式和結(jié)論的選擇有什么想法？（2）分別觀察例中（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想？設(shè)計意圖：通過利用公式求組合數(shù)，以把握公式的結(jié)構(gòu)，加深對公式的理解.課堂練習(xí)1先計算，然后用計算工具檢驗：（1）；（2）；（3）；（4）.課堂練習(xí)2求證：.設(shè)計意圖：選擇合適的組合數(shù)公式進行運算和證明，促進學(xué)生記住公式，并掌握公式的使用條件.例2在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？師生活動：在完成例2的過程中，可以向?qū)W生提出下列問題：（1）這是一個排列問題還是組合問題？（2）應(yīng)該根據(jù)什么計數(shù)原理解決問題？（3）能否對同一問題給出不同的方法？（4）能否歸納求組合問題的一般方法？設(shè)計意圖：通過應(yīng)用公式解決問題，及時鞏固組合數(shù)公式，形成解決組合問題的一般方法.課堂練習(xí)3有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績，現(xiàn)要從中選3門成績.（1）共有多少種不同的選法？（2）如果物理和化學(xué)恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法？（3）如果物理和化學(xué)至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法？設(shè)計意圖：通過應(yīng)用，進一步鞏固公式，熟悉解決組合問題的一般方法，提高分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).5.課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問題：（1）提出一個組合問題，并結(jié)合問題說明組合與組合數(shù)的區(qū)別.（2）組合數(shù)公式是如何推導(dǎo)的？（3）如何解決組合問題？應(yīng)用組合數(shù)公式時需要注意什么？設(shè)計意圖：通過問題形式，明確組合數(shù)的概念