百校聯(lián)盟2023屆TOP20三月聯(lián)考(全國(guó)II卷)數(shù)學(xué)(理)-Word版含答案

百校聯(lián)盟2023屆TOP20三月聯(lián)考（全國(guó)Ⅱ卷）理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．2.已知是虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)（）A．B．C．D．3.古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中曾出現(xiàn)過(guò)高息借貸的題目：“今有舉取他絹，重作券；要過(guò)限一日，息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過(guò)限一百日，問(wèn)息絹幾何？”題目的意思是：債主拿欠債方的絹?zhàn)龅盅浩?，債?wù)過(guò)期第一天要納利息尺絹，過(guò)期第二天利息是尺，這樣，每天利息比前一天增多尺，若過(guò)期天，欠債方共納利息為（）A．尺B．尺C．尺D．尺4.某山區(qū)希望小學(xué)為豐富學(xué)生的伙食，教師們?cè)谛@附近開辟了如圖所示的四塊菜地，分別種植西紅柿、黃瓜、茄子三種產(chǎn)量大的蔬菜，若這三種蔬菜種植齊全，同一塊地只能種植一種蔬菜，且相鄰的兩塊地不能種植相同的蔬菜，則不同的種植方式共有（）A．種B．種C.種D．種5.函數(shù)的圖像上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，則時(shí)，的取值范圍是（）A．B．C.D．6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，等軸雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，若雙曲線的一條漸近線上存在一點(diǎn)，使得，且的面積為，則雙曲線的方程為（）A．B．C.D．7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A．B．C.D．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．B．C.D．9.當(dāng)時(shí)，下列有關(guān)函數(shù)，的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①是偶函數(shù)；②與有相同的對(duì)稱中心；③函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為；④函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為.A．B．C.D．10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形內(nèi)接于橢圓，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C.D．11.如圖：是圓錐底面圓的直徑，，是圓錐的兩種母線，為底面圓的中心，過(guò)的中點(diǎn)作平行于的平面，使得平面與底面圓的交線長(zhǎng)為，沿圓錐側(cè)面連接點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)曲線段長(zhǎng)度的最小值為時(shí)，則該圓錐的外接球（圓錐的底面圓周及頂點(diǎn)均在球面上）的半徑為（）A．B．C.D．12.已知函數(shù)，，存在，使得的最小值為，則函數(shù)圖象上一點(diǎn)到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的最短距離為（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知菱形的邊長(zhǎng)為，，，，則．14.若，滿足約束條件則的取值范圍為．15.春節(jié)臨近，某火車站三個(gè)安檢入口每天通過(guò)的旅客人數(shù)（單位：人）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)三個(gè)安檢入口均能正常工作，則這三個(gè)安檢入口每天至少有兩個(gè)超過(guò)人的概率為．16.已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，且.則數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求周長(zhǎng)的最大值.18.某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，當(dāng)天每售出個(gè)獲得利潤(rùn)元，未售出的每個(gè)虧損元.根據(jù)以往天的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下需求量表.元日這天，此蛋糕店制作了這款蛋糕個(gè).以（單位：個(gè)，）表示這天的市場(chǎng)需求量.（單位：元）表示這天出售這款蛋糕獲得的利潤(rùn).需求量/個(gè)天數(shù)1525302010（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若時(shí)獲得的利潤(rùn)為，時(shí)獲得的利潤(rùn)為，試比較和的大??；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，根據(jù)上表，從利潤(rùn)不少于元的天數(shù)中，按需求量分層抽樣抽取天，（?。┣筮@天中利潤(rùn)為元的天數(shù)；（ⅱ）再?gòu)倪@天中抽取天做進(jìn)一步分析，設(shè)這天中利潤(rùn)為元的天數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.如圖，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，四邊形為矩形，且，，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的大小.20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)位于拋物線上.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，直線交拋物線于另一點(diǎn)，求直線所過(guò)的定點(diǎn).21.已知函數(shù).（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若不等式恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求的最小值.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程，直線的普通方程；（Ⅱ）把直線向左平移一個(gè)單位得到直線，設(shè)與曲線的交點(diǎn)為,，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求面積的最大值.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最小值為.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若，，求的最小值.試卷答案一、選擇題1-5:DCDBA6-10:BCCCA11、12：DC二、填空題13.14.15.16.三、解答題17.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理，，∴，又為銳角，所以.（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故.所以周長(zhǎng)的最大值為.18.【解析】（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，（元）.當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，（元）.故.（Ⅱ）當(dāng)，即，∴，又，所以，共有天利潤(rùn)大于元.（?。┌捶謱映闃映槿√欤渲欣麧?rùn)為元的天數(shù)有（天）.（ⅱ）根據(jù)題意，隨機(jī)變量的可能取值為，，，，，，，.∴的分布列為0123所以.19.【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，∵為中點(diǎn)，∴，且.∵四邊形為直角梯形，，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危?，，所以，?又，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)椋嗥矫?，∴，所以，因?以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則有令，則，所以，所以平面與平面所成的銳二面角為.20.【解析】（Ⅰ）設(shè)，則，∴，解之得，代入，得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）根據(jù)題意，，設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即，∴.所以，即，所以，即①，因?yàn)?，所以直線的方程是.即，即②，由①②可得.所以直線過(guò)定點(diǎn).21.【解析】（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)?，由題意得，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，∴，，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，∴不可能恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得,∵不等式恒成立，∴，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，，∴滿足即可，∴，∴，令，，令，，由，得，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，∵時(shí)，，時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴時(shí)，取最小值，，∴的最小值為.22.【解析】（Ⅰ）