九年級(jí)二模數(shù)學(xué)匯編：尺規(guī)作圖

14/14初三二模數(shù)學(xué)匯編：尺規(guī)作圖一．填空題（共1小題）1．（2021?東城區(qū)二模）數(shù)學(xué)課上，李老師提出如下問題：已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于C．求作：弧BC的中點(diǎn)D．同學(xué)們分享了四種方案：①如圖1，連接BC，作BC的垂直平分線，交⊙O于點(diǎn)D．②如圖2，過點(diǎn)O作AC的平行線，交⊙O于點(diǎn)D．③如圖3，作∠BAC的平分線，交⊙O于點(diǎn)D．④如圖4，在射線AC上截取AE，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點(diǎn)D．上述四種方案中，正確的方案的序號(hào)是．二．解答題（共8小題）2．（2021?朝陽區(qū)二模）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＞AC．求作：BC邊上的高AD．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)B，E為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F（不與點(diǎn)A重合）；③連接AF交BC于點(diǎn)D．線段AD就是所求作的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接AE，EF，BF．∵AB＝AE＝EF＝BF，∴四邊形ABFE是（）（填推理依據(jù)）．∴AF⊥BE．即AD是△ABC中BC邊上的高．3．（2021?海淀區(qū)二模）已知：∠MAN，B為射線AN上一點(diǎn)．求作：△ABC，使得點(diǎn)C在射線AM上，且∠ABC＝∠CAB．作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AM于點(diǎn)D，交射線AN的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；②以點(diǎn)E為圓心，BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F；③連接FB，交射線AM于點(diǎn)C．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BD，EF，AF，∵點(diǎn)B，E，F(xiàn)在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（）（填寫推理的依據(jù)）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝．∴∠ABC＝∠CAB．4．（2021?房山區(qū)二模）已知：射線AB．求作：△ACD，使得點(diǎn)C在射線AB上，∠D＝90°，∠A＝30°．作法：如圖，①在射線AB上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓，與射線AB相交于點(diǎn)C；②以C為圓心，OC為半徑作弧，在射線AB上方交⊙O于點(diǎn)D；③連接AD，CD．則△ACD即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接OD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADC＝°．∵OD＝OC＝CD，∴△OCD等邊三角形．∴∠DOC＝60°．∵點(diǎn)A，D都在⊙O上，∴∠DAC＝．（填推理的依據(jù)）∴∠DAC＝30°．△ACD即為所求的三角形．5．（2021?西城區(qū)二模）下面是小華設(shè)計(jì)的“作∠AOB的角平分線”的尺規(guī)作圖過程，請(qǐng)幫助小華完成尺規(guī)作圖并填空（保留作圖痕跡）．步驟作法推斷第一步在OB上任取一點(diǎn)C，以點(diǎn)C為圓心，OC為半徑作半圓，分別交射線OA，OB于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，連接PQ∠OPQ＝°，理由是第二步過點(diǎn)C作PQ的垂線，交PQ于點(diǎn)D，交于點(diǎn)EPD＝DQ，＝第三步作射線OE射線OE平分∠AOB射線OE為所求作6．（2021?順義區(qū)二模）已知：直線l和l外一點(diǎn)P．求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P．作法：①在直線l上任取兩點(diǎn)A、B；②分別以點(diǎn)A、B為圓心，AP，BP長(zhǎng)為半徑作弧，在直線l下方兩弧交于點(diǎn)C；③作直線PC．所以直線PC為所求作的垂線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連結(jié)AP、AC、BP、BC．∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（填推理依據(jù)）．∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥AB（填推理依據(jù)）．7．（2021?東城區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)C在∠MON的邊OM上．求作：射線CD，使CD∥ON，且點(diǎn)D在∠MON的角平分線上．作法：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線OM，ON于點(diǎn)A，B；②分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)Q；③畫射線OQ；④以點(diǎn)C為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線OQ于點(diǎn)D；⑤畫射線CD．射線CD就是所求作的射線．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依據(jù)）．8．（2021?石景山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)．求作：線段DE，使得點(diǎn)E在線段AC上，且DE＝BC．作法：①分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)；②作直線MN，交AC于點(diǎn)E；③連接DE．所以線段DE即為所求的線段．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵AM＝CM，AN＝CN，∴MN是AC的垂直平分線（）．（填推理的依據(jù)）∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DE＝BC（）．（填推理的依據(jù)）9．（2021?昌平區(qū)二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程．已知：∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．作法：如圖，①在射線OB上任取一點(diǎn)C；②作線段OC的垂直平分線，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，連接DC．所以∠ADC即為所求的角．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明（說明：括號(hào)里填寫作圖依據(jù)）．證明：∵DE是線段OC的垂直平分線，∴OD＝（），∴∠AOB＝（），∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB．

2021北京八區(qū)初三二模數(shù)學(xué)匯編：尺規(guī)作圖參考答案一．填空題（共1小題）1．【分析】①利用垂徑定理可以證明＝．②證明BC⊥OD，可得結(jié)論．③利用圓周角定理可得結(jié)論．④利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如圖2中，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∴＝．④如圖4中，連接AD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，圓周角定理解決問題，屬于中考?？碱}型．二．解答題（共8小題）2．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）證明四邊形ABFE是菱形，可得結(jié)論．【解答】解：（1）依作法補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）連接AE，EF，BF．∵AB＝AE＝EF＝BF，∴四邊形ABFE是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形），∴AF⊥BE．即AD是△ABC中BC邊上的高．故答案為：菱形，四條邊相等的四邊形是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．3．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）連接EF，AF，利用圓周角定理證明可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖即為所求．（2）連接EF，AF，∵點(diǎn)B，E，F(xiàn)在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）（填寫推理的依據(jù)）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝∠EAF，∴∠ABC＝∠CAB．故答案為：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，∠EAF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．4．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）連接OD，證明△ODC是等邊三角形可得結(jié)論．【解答】解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示：（2）連接OD．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°．∵OD＝OC＝CD，∴△OCD等邊三角形．∴∠DOC＝60°．∵點(diǎn)A，D都在⊙O上，∴∠DAC＝∠DOC（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半），∴∠DAC＝30°．△ACD即為所求的三角形．故答案為：90，（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．【分析】根據(jù)要求作出圖形，再利用圓周角定理可證∠OPQ＝90，利用垂徑定理可證＝．【解答】解：如圖，射線OE即為所求作．理由：∵OQ是直徑，∴∠OPQ＝90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∵OE⊥PQ，∴PD＝DQ，＝，∴OE平分∠AOB．故答案為：90，直徑所對(duì)的圓周角是直角，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓周角定理，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．6．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）根據(jù)SSS證明△APB≌△ACB即可．【解答】解：（1）如圖，直線PC即為所求作．（2）連結(jié)AP、AC、BP、BC．∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（SSS），∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥AB（等腰三角形三線合一）．故答案為：（SSS），（等腰三角形三線合一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．7．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義證明∠CDO＝∠DON即可．【解答】解：（1）如圖，射線CD即為所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．故答案為：∠NOD，∠CDO，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形，屬于中考?？碱}型．8．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形即可；（2）先根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理判斷MN是AC的垂直平分線，則點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到DE＝BC．【解答】（1）解：如圖，（2）證明：∵AM＝CM，AN＝CN，∴MN是AC的垂直平分線（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）；∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DE＝BC（三角形中位線性質(zhì)）．故答案為到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；三角形中位線性質(zhì)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．9．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OD＝DC，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠O＝∠DCO，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ADC＝2∠AOB．【解答】解：（1）如圖，∠ADC即為所求作：（2）證明：∵ED是線段OC的垂直平分線，∴OD＝DC（線段垂直平分