工程力學(xué)：彎曲應(yīng)力

第10章彎曲應(yīng)力

§10–1純彎曲一、純彎曲純彎曲:只有M而無Q的平面彎曲.橫力彎曲或剪切彎曲:既有M又有Q的平面彎曲.PPABaaP(+)(-)Q圖-PPa(+)M圖橫力彎曲（剪切彎曲）:橫截面上同時(shí)有剪力和彎矩.純彎曲:如果橫截面上剪力等于零，而彎矩為一常數(shù)，即只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力.

二、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力（由實(shí)驗(yàn)觀察得如下現(xiàn)象：）

a.變形后，所有橫向線仍保持為直線，只是相對傾斜了一個(gè)角度。

b.變形后，所有縱向線變成曲線，仍保持平行;上、下部分的縱向線分別縮短和伸長。中性層：梁內(nèi)存在一個(gè)縱向?qū)樱谧冃螘r(shí)，該層的縱向纖維即不伸長也不縮短，稱為中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。

根據(jù)上述現(xiàn)象，設(shè)想梁內(nèi)部的變形與外表觀察到的現(xiàn)象相一致，可提出如下假設(shè)：

a.平面假設(shè)：變形前橫截面是平面，變形后仍是平面，只是轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，仍垂直于變形后梁的軸線。

b.各縱向纖維間無正應(yīng)力假設(shè)：梁由無數(shù)縱向纖維組成，各纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓為了研究純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律及計(jì)算，要綜合考慮變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系及靜力平衡關(guān)系。

研究距中性層y處縱向纖維ab的變形：

2、物理關(guān)系

——中性層彎曲后的曲率半徑

1、幾何關(guān)系MzσCxy3、靜力學(xué)關(guān)系MzσdAyCxyz(1)確定中性軸的位置結(jié)論:中性軸通過形心,與形心軸重合.靜矩MzσdAyCxyz橫截面對z軸的靜矩——中性軸Z一定通過橫截面形心(2)確定形心主軸結(jié)論:yz軸必為形心主軸慣性積MzσdAyCxyz(3)導(dǎo)出彎曲正應(yīng)力公式慣性矩解出:MzσdAyCxyz——截面的抗彎剛度，反映梁抵抗彎曲變形的能力1、平面彎曲；2、具有縱向?qū)ΨQ面的梁；3、材料在彈性范圍內(nèi)。三、正應(yīng)力公式的使用條件

§10–2

橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫截面上的最大正應(yīng)力全梁的最大正應(yīng)力(1)等直梁令--抗彎截面模量矩形:圓形:空心圓:(3)無水平對稱稱軸的梁彎曲強(qiáng)度條條件最大彎曲拉拉應(yīng)力最大彎曲壓壓應(yīng)力(2)變截面梁:綜合考慮M和確定σmaxy2y2y1yz拉壓抗拉壓強(qiáng)度度不等的材材料強(qiáng)度計(jì)算的的步驟根據(jù)正應(yīng)力力強(qiáng)度條件件，可解決決工程中的的三類問題題：⑴強(qiáng)度校核

⑵截面設(shè)計(jì)⑶確定容許荷載

例題：1、一外伸梁梁受力如圖圖所示，材材料的許用用應(yīng)力[]=160MPa,橫截面為h/b=3的矩形，試試確定此梁梁橫截面尺尺寸h和b。例2：有一外伸梁受力情況如圖所示，截面采用T型截面，已知材料的容許拉應(yīng)力為容許壓應(yīng)力試校核梁的強(qiáng)度。

Z解（一）作梁梁的彎矩圖圖如圖最大正彎矩矩最大負(fù)彎矩矩(三)截面對中性軸的慣性矩

截面形心距底邊

（二）確定中性軸的位置

1.拉應(yīng)力強(qiáng)度校核

A截面為負(fù)彎矩，上部受拉

C截面為正彎矩，下部受拉

由于

，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面下邊緣

拉應(yīng)力強(qiáng)度足夠。

（四）校核核梁的強(qiáng)度度（繪出應(yīng)應(yīng)力分布圖圖）A截面C截面A截面下部受壓

：

C截面上部受壓

：

由于，最大壓應(yīng)力發(fā)生在A截面的下邊緣

壓應(yīng)力強(qiáng)度足夠。

2．壓應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度校核A截面C截面①假設(shè)矩形截面上剪應(yīng)力的方向和剪力Q的方向相同。

②假設(shè)截面上剪應(yīng)力沿寬度b是均勻分布的。

導(dǎo)出的剪應(yīng)應(yīng)力計(jì)算式式為：矩形截面梁的剪應(yīng)力（推導(dǎo)略）

在推導(dǎo)矩形截面梁的剪應(yīng)力公式時(shí)，作如下兩點(diǎn)假設(shè)：

§10–4彎曲剪應(yīng)力1、矩形截面梁梁式中：

Q—橫截面上剪力

—需求剪應(yīng)力處，水平線以下（或以上）部分面積對中性軸的靜矩。

—整個(gè)橫截面對中性軸的慣性矩。

b—需求剪應(yīng)力處橫截面寬度。

在處，在處，剪應(yīng)力最大，即：

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的

1.5倍。

從上式可知，剪應(yīng)力分布是沿梁的高度按拋物線規(guī)律分布.圖7-42.工字型截面梁的的剪應(yīng)力主要考慮工字型截面梁腹板上的剪應(yīng)力計(jì)算。

可按照矩形截面梁的剪應(yīng)力公式計(jì)算：

式中：d—腹板寬度

—圖中因陰影部分面積對中性軸之靜矩。

圖7-5由式可知：時(shí)，最小；時(shí)，最大。（按拋物線規(guī)律分布）

圖7-53.圓形截面梁橫橫截面上的最最大剪應(yīng)力a.圓截面：最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的倍。

b.薄壁圓截面最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處：

最大剪應(yīng)力是平均剪應(yīng)力的2倍。

4.剪應(yīng)力強(qiáng)度條條件梁內(nèi)最大剪應(yīng)應(yīng)力一般發(fā)生生在剪力最大大的橫截面的的中性軸上，，若以表表示中中性軸以下（（或以上）部部分面積對中中性軸的靜矩矩，則梁的剪剪應(yīng)力強(qiáng)度條條件為：在校核梁的強(qiáng)強(qiáng)度或進(jìn)行截截面設(shè)計(jì)時(shí)，，必須同時(shí)滿滿足梁的正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度條件件和剪應(yīng)力強(qiáng)強(qiáng)度條件。在在工程中，通通常先按正應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度條件件設(shè)計(jì)出截面面尺寸，然后后進(jìn)行剪應(yīng)力力強(qiáng)度校核。。例題：試為圖示外外伸梁選擇一一工字形截面面，材料的的許用應(yīng)力[]=160MPa，[]=80MPa。§10–5提高彎曲強(qiáng)度度的措施1選擇合理的形形狀和截面較大可以提高梁的彎曲曲強(qiáng)度.(P107表7.1)2適當(dāng)布置載荷荷和支座的位位置適當(dāng)布置載荷荷和支座的位位置可以降低最大大彎曲數(shù)值提高梁的彎曲強(qiáng)度度yxM0(+)qxlABAxM0qxyAB0.2l0.2ll3等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁:梁上各橫截面面上的最大應(yīng)力都相等等且等于許用用應(yīng)力.FABl/2l/2Chxb(x)bmin1.h=c,b=b(x)xM(+)02.b=ch=h(x)hminh(x)魚腹梁階梯軸9、靜夜四無鄰鄰，荒居舊業(yè)業(yè)貧。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。14:36:1714:36:1714:361/6/20232:36:17PM11、以我獨(dú)沈久久，愧君相見見頻。。1月-2314:36:1714:36Jan-2306-Jan-2312、故人人江海海別，，幾度度隔山山川。。。14:36:1714:36:1714:36Friday,January6,202313、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。1月-231月-2314:36:1714:36:17January6,202314、他鄉(xiāng)生白白發(fā)，舊國國見青山。。。06一月月20232:36:17下下午14:36:171月-2315、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。一月232:36下下午1月-2314:36January6,202316、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2023/1/614:36:1814:36:1806January202317、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時(shí)時(shí)，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點(diǎn)的的射線線向前前。。。2:36:18下下午2:36下下午午14:36:181月-239、沒有失敗敗，只有暫暫時(shí)停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有結(jié)結(jié)果果，，但但是是不不努努力力卻卻什什么么改改變變也也沒沒有有。。。。14:36:1814:36:1814:361/6/20232:36:18PM11、成功就就是日復(fù)復(fù)一日那那一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小努努力的積積累。。。1月-2314:36:1814:36Jan-2306-Jan-2312、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對對圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無無限限完完美美。。。。14:36:1814:36:1814:36Friday,January6,202313、不知香積積寺，數(shù)里里入云峰。。。1月-231月-2314:36:1814:36:18January6,202314、意意志志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像像泥泥塊塊一一樣樣任任意意揉揉捏捏。。06一一月月20232:36:18下下午午14:36:181月月-2315、楚塞三湘湘接，荊門門九派通。。。。一月232:36下下午1月-2314:36January6,202316、少年年十五五二十十時(shí)，，步行行奪得得胡馬馬騎。。。2023/1/614:36:1814:36:1806January202317、空山新新雨后，，天氣晚晚來秋。。。2:36:18下午午2:36下午午14:36:181月-239、楊柳散散和風(fēng)，，青山澹澹吾慮。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、閱讀一切切好書如同同和過去最最杰出的人人談話。14:36:1914:36:1914:361/6/20232:36:19PM11、越是是沒有有本領(lǐng)領(lǐng)的就就越加加自命命不凡凡。1月-2314:36:1914:36Jan-2306-Jan-2312、越越是是無無能能的的人人，，越越喜喜歡歡挑挑剔剔別別人人的的錯(cuò)錯(cuò)兒兒。。14:36:1914:36:1914:36Friday,January6,202313、知人人者智智，自自知者者明。。勝人人者有有力，，自勝勝者強(qiáng)強(qiáng)。1月-231月-2314:36:1914:36:19January6,202314、意志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)的人人能把世世界放在在手中像像泥塊一一樣任意意揉捏。。06一一月20232:36:19下午午14:36:191月-2315、最最具具挑挑戰(zhàn)戰(zhàn)性性的的挑挑戰(zhàn)戰(zhàn)莫莫過過于于提提升升自自我我。。。。一月月232:36下下午午1月月-2314:36January6,202316、業(yè)余余生活活要有有意義義，不不要越越軌。。2023/1/614:36:1914