2022年全國統(tǒng)一高考沖刺數(shù)學(xué)沖刺（文科）（新課標(biāo)ⅲ）

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2}2．（5分）若z（1+i）＝2i，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是（）A． B． C． D．4．（5分）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.85．（5分）函數(shù)f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3+4a1，則a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．27．（5分）已知曲線y＝aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，則（）A．a(chǎn)＝e，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝e，b＝1 C．a(chǎn)＝e﹣1，b＝1 D．a(chǎn)＝e﹣1，b＝﹣18．（5分）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（）A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線 B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線 C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線 D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線9．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的?為0.01，則輸出s的值等于（）A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣10．（5分）已知F是雙曲線C：﹣＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為（）A． B． C． D．11．（5分）記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈．命題p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；命題q：?（x，y）∈D，2x+y≤12．下面給出了四個(gè)命題①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④12．（5分）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2） B．f（log3）＞f（2）＞f（2） C．f（2）＞f（2）＞f（log3） D．f（2）＞f（2）＞f（log3）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（2，2），＝（﹣8，6），則cos＜，＞＝．14．（5分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝．15．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為．16．（5分）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．19．（12分）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2．（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，記f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值為M，最小值為m，求M﹣m的取值范圍．21．（12分）已知曲線C：y＝，D為直線y＝﹣上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點(diǎn)．（2）若以E（0，）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，π），弧，，所在圓的圓心分別是（1，0），（1，），（1，π），曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是?。?）分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；（2）曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥成立，證明：a≤﹣3或a≥﹣1．

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2}【解答】解：因?yàn)锳＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故選：A．2．（5分）若z（1+i）＝2i，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故選：D．3．（5分）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個(gè)人排列，有A33A22＝12種排法，再所有的4個(gè)人全排列有：A44＝24種排法，利用古典概型求概率原理得：p＝＝，故選：D．4．（5分）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解答】解：某中學(xué)為了了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，作出維恩圖，得：∴該學(xué)校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70人，則該學(xué)校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該學(xué)校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為：＝0.7．故選：C．5．（5分）函數(shù)f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即：2sinx﹣sin2x＝0在區(qū)間[0，2π]的根個(gè)數(shù)，即2sinx＝sin2x，令左右為新函數(shù)h（x）和g（x），h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，作圖求兩函數(shù)在區(qū)間[0，2π]的圖象可知：h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，在區(qū)間[0，2π]的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)．故選：B．6．（5分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3+4a1，則a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．2【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），則由前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3+4a1，有，∴，∴，故選：C．7．（5分）已知曲線y＝aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，則（）A．a(chǎn)＝e，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝e，b＝1 C．a(chǎn)＝e﹣1，b＝1 D．a(chǎn)＝e﹣1，b＝﹣1【解答】解：y＝aex+xlnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝aex+lnx+1，由在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切點(diǎn)為（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故選：D．8．（5分）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（）A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線 B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線 C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線 D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【解答】解：∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，∴BM?平面BDE，EN?平面BDE，∵BM是△BDE中DE邊上的中線，EN是△BDE中BD邊上的中線，∴直線BM，EN是相交直線，設(shè)DE＝a，則BD＝，BE＝＝，∴BM＝a，EN＝＝a，∴BM≠EN，故選：B．9．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的?為0.01，則輸出s的值等于（）A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件x＜0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1+，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件x＜0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1++，x＝，不滿足退出循環(huán)的條件x＜0.01；…由于＞0.01，而＜0.01，可得：當(dāng)s＝1++++…，x＝，此時(shí)，滿足退出循環(huán)的條件x＜0.01，輸出s＝1+++…＝2﹣．故選：C．10．（5分）已知F是雙曲線C：﹣＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，不妨設(shè)F為雙曲線C：﹣＝1的右焦點(diǎn)，P為第一象限點(diǎn)．由雙曲線方程可得，a2＝4，b2＝5，則，則以O(shè)為圓心，以3為半徑的圓的方程為x2+y2＝9．聯(lián)立，解得P（，）．∴sin∠POF＝．則．故選：B．11．（5分）記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈．命題p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；命題q：?（x，y）∈D，2x+y≤12．下面給出了四個(gè)命題①p∨q②￢p∨q③p∧￢q④￢p∧￢q這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④【解答】解：作出等式組的平面區(qū)域?yàn)镈．在圖形可行域范圍內(nèi)可知：命題p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命題，則￢p假命題；命題q：?（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命題，則￢q真命題；所以：由或且非邏輯連詞連接的命題判斷真假有：①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；故答案①③真，正確．故選：A．12．（5分）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2） B．f（log3）＞f（2）＞f（2） C．f（2）＞f（2）＞f（log3） D．f（2）＞f（2）＞f（log3）【解答】解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)∴，∵log34＞log33＝1，，∴0f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴＞＞，故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知向量＝（2，2），＝（﹣8，6），則cos＜，＞＝﹣．【解答】解：＝2×（﹣8）+2×6＝﹣4，||＝＝2，||＝＝10，cos＜，＞＝＝﹣．故答案為：﹣14．（5分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a3＝5，a7＝13，則S10＝100．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，由a3＝5，a7＝13，得d＝，∴a1＝a3﹣2d＝5﹣4＝1．則．故答案為：100．15．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為（3，）．【解答】解：設(shè)M（m，n），m，n＞0，橢圓C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8，即m＝3，n＝；6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，）．故答案為：（3，）．16．（5分）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為118.8g．【解答】解：該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H，分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，∴該模型體積為：﹣VO﹣EFGH＝6×6×4﹣＝144﹣12＝132（cm3），∵3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132×0.9＝118.8（g）．故答案為：118.8．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．【解答】解：（1）C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．則由頻率分布直方圖得：，解得乙離子殘留百分比直方圖中a＝0.35，b＝0.10．（2）估計(jì)甲離子殘留百分比的平均值為：＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．乙離子殘留百分比的平均值為：＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6.00．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asin＝bsinA．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【解答】解：（1）asin＝bsinA，即為asin＝acos＝bsinA，可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，∵sinA＞0，∴cos＝2sincos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，解得＜a＜2，可得△ABC面積S＝a?sin＝a∈（，）．19．（12分）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2．（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積．【解答】解：（1）證明：由已知可得AD∥BE，CG∥BE，即有AD∥CG，則AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面；由四邊形ABED為矩形，可得AB⊥BE，由△ABC為直角三角形，可得AB⊥BC，又BC∩BE＝E，可得AB⊥平面BCGE，AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；（2）連接BG，AG，由AB⊥平面BCGE，可得AB⊥BG，在△BCG中，BC＝CG＝2，∠BCG＝120°，可得BG＝2BCsin60°＝2，可得AG＝＝，在△ACG中，AC＝，CG＝2，AG＝，可得cos∠ACG＝＝﹣，即有sin∠ACG＝，則平行四邊形ACGD的面積為2××＝4．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，記f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值為M，最小值為m，求M﹣m的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f′（x）＝0，得x＝0或x＝．若a＞0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）∪（）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，0），（）上單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；若a＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a＜0，則當(dāng)x∈（﹣∞，）∪（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（，0）時(shí)，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（，0）上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由（1）知，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，1）上單調(diào)遞增，∴f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為，最大值為f（0）＝2或f（1）＝4﹣a．于是，m＝，M＝．∴M﹣m＝．當(dāng)0＜a＜2時(shí)，可知2﹣a+單調(diào)遞減，∴M﹣m的取值范圍是（）；當(dāng)2≤a＜3時(shí)，單調(diào)遞增，∴M﹣m的取值范圍是[，1）．綜上，M﹣m的取值范圍[，2）．21．（12分）已知曲線C：y＝，D為直線y＝﹣上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點(diǎn)．（2）若以E（0，）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程．【解答】（1）證明：設(shè)D（t，﹣），A（x1，y1），則，由于y′＝x，∴切線DA的斜率為x1，故，整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．設(shè)B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．故直線AB的方程為2tx﹣2y+1＝0．∴直線AB過定點(diǎn)（0，）；（2）解：由（1）得直線AB的方程y＝tx+．由，可得x2﹣2tx﹣1＝0．于是．設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M（t，），由于，而，與向量（1，t）平行，∴t+（t2﹣2