江蘇省海門市東洲國際學校高三數(shù)學二輪復習：微專題13 不等式恒成立問題

微專題13不等式恒成立問題例1已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,ex)在x＝0處的切線方程為y＝x.(1)求實數(shù)a的值；(2)若對任意的x∈(0，2)，都有f(x)<eq\f(1,k＋2x－x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍．【思維引導】求參數(shù)k的取值范圍，常用的方法是將參數(shù)進行分離，然后將問題轉(zhuǎn)化為求相應的函數(shù)的最值．例2已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋1)．(1)若對任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋eq\f(a,ex)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y＝g(x)上任意的兩點，若對任意的a≤－1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍．利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的兩種常用方法：(1)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求求得取值范圍．對于恒成立問題：①k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；②k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.對于存在性問題：①存在x使得k≥f(x)k≥f(x)min；②存在x使得k≤f(x)k≤f(x)max.(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為含某待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解．1.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋(2a－1)x＋3在[1，2]上的值恒為正，那么a的取值范圍是________．2.若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在[－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，則b的取值范圍是________．3.若不等式eq\f(t,t2＋2)≤a≤eq\f(t＋2,t2)在t∈(0，2]上恒成立，則a的取值范圍是________．4.若不等式2x－1>m(x2－1)對一切m∈[－2，2]都成立，則實數(shù)x的取值范圍為________．5.已知函數(shù)f(x)＝ex－1－1－alnx，若對任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．6.若不等式logax>sin2x(a>0且a≠1)對于任意的x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))都成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．7.已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)若對任意的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：對任意的x∈(0，＋∞)，lnx＞eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)恒成立．8.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對于任意的s，t∈eq