《高等數(shù)學(xué)(微積分學(xué))》筆記

高等數(shù)學(xué)（微積分學(xué)）主講：王飛燕教授、柳重堪教授、蔡高廳教授宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。（華羅庚，1910—1985）數(shù)學(xué)處于人類智能的中心領(lǐng)域。（馮﹒諾依曼，1903—1957）數(shù)學(xué)是調(diào)節(jié)理論和實(shí)踐、思想和經(jīng)驗(yàn)之間差異的工具。它架起了一座連通雙方的橋梁，并在不斷地加固它。事實(shí)上，全部現(xiàn)代文明中有關(guān)理性認(rèn)識(shí)和征服自然的部分都有賴于數(shù)學(xué)。（希爾伯特，1863—1943）前言《高等數(shù)學(xué)》主要包括：一元和多元函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分學(xué)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不定積分、定積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)（包括傅里葉級(jí)數(shù)）、微分方程、矢量代數(shù)、空間解析幾何。教學(xué)目標(biāo)：掌握高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本理論，基本計(jì)算方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力，辯證的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力；為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下一定的基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)專業(yè)的后繼課程準(zhǔn)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第一章函數(shù)一、實(shí)數(shù)：1、數(shù)的擴(kuò)展：自然數(shù)集（N）、整數(shù)集（Z，自然數(shù)+零+負(fù)整數(shù)）、有理數(shù)集（Q，整數(shù)+分?jǐn)?shù)）、實(shí)數(shù)集（R，有理數(shù)+無(wú)理數(shù)）、復(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)+虛數(shù)）……在高等數(shù)學(xué)研究中的數(shù)基本上都是實(shí)數(shù)，若用到虛數(shù)都會(huì)特別的說明。2、數(shù)的幾何表示——數(shù)軸：數(shù)軸的特點(diǎn)：有正負(fù)方向、有零點(diǎn)、有刻度。它的作用是：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。3、區(qū)間：某一實(shí)數(shù)集A與數(shù)軸上的某一區(qū)間對(duì)應(yīng)。﹛x:a＜x＜b﹜=﹙a,b﹚——開區(qū)間，﹛x:a≤x≤b﹜=[a，b]——閉區(qū)間。4、鄰域：假設(shè)有兩個(gè)數(shù)，a、δ（δ>0），則稱實(shí)數(shù)集﹛x|a-δ<x<a+δ﹜為點(diǎn)a的δ鄰域，記為N（a，δ），a被稱為N（a，δ）的中心，δ>0被稱為N（a，δ）的半徑。去心鄰域：把N（a，δ）的中心點(diǎn)a去掉，稱為a的去心鄰域，記為N（，δ）=﹛x|0<|x-a|<δ﹜=N（a，δ）﹨﹛a﹜。5、絕對(duì)值：二、函數(shù)：1、常量&變量：常量：在某一過程中，取固定值的量，g、π等。變量：在某一過程當(dāng)中，可以取不同數(shù)值的量，R、t、s等。2、函數(shù)：有兩個(gè)變量，且這兩個(gè)變量之間有依賴關(guān)系，當(dāng)一個(gè)變量在某個(gè)區(qū)間取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量取相應(yīng)的值，如下，其中x稱為這個(gè)函數(shù)的自變量，y稱為這個(gè)函數(shù)的因變量；x的取值范圍稱為定義域，y的取值范圍稱為值域。y=f（x）【注】：（1）f表示了一種自變量和因變量的對(duì)應(yīng)規(guī)則；（2）f表示函數(shù)，f（x）表示函數(shù)值，y=f（x）稱作y是x的函數(shù)；（3）函數(shù)符號(hào)可以用f、g、h……；（4）函數(shù)具有單值性，即一個(gè)x只有一個(gè)唯一的y與其對(duì)應(yīng)；（5）函數(shù)的定義域非常重要；，注意有時(shí)需要考慮它的物理意義；（6）y=f（x），含有n個(gè)自變量的函數(shù)，稱為n元函數(shù)。3、函數(shù)的表示方法：（1）解析法（即公式法）：如y=x3-1。優(yōu)點(diǎn)：可以精確的來研究函數(shù)；缺點(diǎn)：不直觀。（2）圖形法：在直角坐標(biāo)系中，把滿足y=f（x）的點(diǎn)（x，y）的軌跡，即為該函數(shù)的圖形。優(yōu)點(diǎn)：直觀；缺點(diǎn)：不精確。（3）列表法：優(yōu)點(diǎn)：便于查找函數(shù)值；缺點(diǎn)：不完整。4、函數(shù)的屬性：（1）有界性：y=f（x）有界如果存在M>0，使得|f（x）|≤M，其中在定義域內(nèi)的x都成立，則該函數(shù)具有有界性。如正弦函數(shù)|sinx|≤1；相反，為無(wú)界函數(shù)。（2）奇偶性（對(duì)稱性）：若f（x）=f（-x），則稱f（x）為偶函數(shù)，如y=x2，幾何特點(diǎn)是以y軸對(duì)稱。若f（x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù)，如y=x3，幾何特點(diǎn)是以原點(diǎn)為中心對(duì)稱。如：f（x）=（ax+a-x）/2為偶函數(shù)，g（x）=（ax-a-x）/2為奇函數(shù)。（3）周期性（循環(huán)性）：如果y=f（x），x∈D，若存在T>0，使得對(duì)任意x∈D有x+T∈D且f（x+T）=f（x），則該函數(shù)具有周期性。【注】：有些函數(shù)存在最小正周期。（4）單調(diào)性：如果對(duì)于任意的兩點(diǎn)x1<x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）<f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)上升函數(shù)（單調(diào)增加）。如果對(duì)于任意的兩點(diǎn)x1<x2且∈x1、x2（a，b），均有f（x1）>f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)（單調(diào)減?。?。注：說函數(shù)的單調(diào)性一定要注明區(qū)間。三、初等函數(shù)：1、基本初等函數(shù)：基本初等函數(shù)是指下面這些函數(shù)：（1）常值函數(shù)：y=c（2）冪函數(shù)：y=xα（α可以取任意實(shí)數(shù)）（3）指數(shù)函數(shù)：y=ax（其中a>0且a≠1），如y=ex（其中e=2.718……）（4）對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax，如y=logex（5）三角函數(shù)：主要有y=sinx，y=cosx，y=tgx（6）反三角函數(shù)：y=arcsinx，yarccosx，y=arctgx2、函數(shù)的運(yùn)算：基本運(yùn)算：加、減、乘、除；特殊運(yùn)算：符合運(yùn)算。如y=lgsinx，則y=lgu，u=sinx。3、初等函數(shù)：初等函數(shù)是指由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的加、減、乘、除，符合而成的函數(shù)。4、建立函數(shù)關(guān)系舉例：注意：第一，根據(jù)問題分清變量和常量；第二，在變量里面分清自變量和因變量；第三，存在多余變量，要消掉多余變量。四、小結(jié)：1、注意區(qū)間、鄰域的概念和表達(dá)；2、函數(shù)：概念、定義域、值域、表達(dá)、建立函數(shù)關(guān)系等。第二章極限與連續(xù)一、數(shù)列的極限：1、數(shù)列和數(shù)列極限：數(shù)列是指一列有次序的數(shù)，按一定次序排列就構(gòu)成數(shù)列，如X1、X2、X3……Xn。極限研究的是數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列極限是指對(duì)于一個(gè)數(shù)列，當(dāng)n趨于無(wú)限大時(shí)，這個(gè)數(shù)列無(wú)限地接