勾股定理難題精選

勾股定理一、選擇題1、直角三角形的兩直角邊分別為5厘米、12厘米，則斜邊上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、80厘米R(shí)60厘米TOC\o"1-5"\h\z2、若等腰三角形腰長(zhǎng)為10cm,底邊長(zhǎng)為16cm,那么它的面積為（）A.48cm2B.36cm2C.24cm2cm23、Rt△一直角邊的長(zhǎng)為11,另兩邊為自然數(shù)，則Rt△的周長(zhǎng)為（）A、121B、120C、132D、不能確定解：設(shè)該Rt△的三邊分別為a、b、c，a、b為直角邊，c為斜邊由勾股定理知：a2+b2=c2，即：112+b2=c2所以（b+c）（c—b）=121因?yàn)閎、c都為自然數(shù)，所以b+c,c—b,都為正自然數(shù)。又因?yàn)?21只有1、11、121這三個(gè)正整數(shù)因式，所以b+c=121,c—b=1。所以b=60,c=61評(píng)論，本題以直角三角形為載體，同過勾股定理將初中幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)很好地串聯(lián)起來考察學(xué)生的能力。4、如圖，由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，若大正方形面積是9,小正方形面積是1,直角三角形較長(zhǎng)直角邊為a,較短直角邊為b,則ab的值是（）A．4B．6C．8D．105、4ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則4ABC的周長(zhǎng)為（）A．42B．32C．42或32D．37或3310、某市在舊城改造中,計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要（）450a元225a元c、150a元D、300a元20m450a元225a元c、150a元D、300a元20m150°30m第10題圖F11南第1211.已知，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則4ABE的面積為A、6cm2BA、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm212.已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里8、直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)為12另外兩條邊長(zhǎng)均為自然數(shù)，則其周長(zhǎng)可以A.36B.28C.56D.不能確9、已知a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng),如果滿足（i）2+1+1。=0，則三角形的形狀是（）A.底與邊不相等的等腰三角形A.底與邊不相等的等腰三角形B、等邊三角形C、鈍角三角形D、直角三角形10、2002C、鈍角三角形D、直角三角形10、2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1所示），如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么m+b）2的值為（）.A.13B.19C.25A.13B.19C.25D.169二、填空題TOC\o"1-5"\h\z15、如圖，從電線桿離地面3米處向地面拉一條長(zhǎng)為5米的拉線，這條拉線在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有米。16、如圖，沿傾斜角為30的山坡植樹，要求相鄰倆棵樹的水平距離AC為2m,那么相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為m。（精確到，可能用到的數(shù)據(jù)2x1.41，3x1.73）。17、已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是12cm，16cm，20cm，則這個(gè)三角形的面積為。18、在高5m，長(zhǎng)13m的一段臺(tái)階上鋪上地毯，臺(tái)階的剖面圖如圖所示，地毯的長(zhǎng)度至少需要m.18、若正方形的面積為18cm2,則正方形對(duì)角線長(zhǎng)為cm。［來19、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）.已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4=..有一長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根細(xì)木條（木條的粗細(xì)、形變忽略不計(jì)），要求木條不能露出木箱，請(qǐng)你算一算，能放入的細(xì)木條的最大長(zhǎng)度是cm.21、已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2cm,則面積為。22、“對(duì)頂角相等?！钡哪婷}是。23、如圖，4ABC為一鐵板零件，AB=AC=15厘米，底邊BC=24厘米，則做成這樣的10個(gè)零件共需平方厘米的材料.24、已知△ABC的三邊a、b、c滿足等式|a-b-1|+|2a-b-14|二-|c-5|,則AABC的面積為.三、解答題1、如圖：A、B兩點(diǎn)與建筑物底部D在一直線上，從建筑物頂部C點(diǎn)測(cè)得A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、60°,且AB=20,求建筑物CD的高。2、如圖，海中有一小島A,在該島周圍10海里內(nèi)有暗礁，今有貨船由西向東航行，開始在A島南偏西45°的B處，往東航行20海里后達(dá)到該島南偏西30°的C處，之后繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨船繼續(xù)向東航行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？計(jì)算后說明理由。3、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是多少？4、如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？分析：（1）點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，若AC>200則A城不受影響，否則受影響；（2）點(diǎn)A到直線BF的長(zhǎng)為200千米的點(diǎn)有兩點(diǎn)，分別設(shè)為D、G，則^ADG是等腰三角形，由于ACXBF，則C是DG的中點(diǎn)，在Rt^ADC中，解出CD的長(zhǎng)，則可求DG長(zhǎng)，在DG長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間．解答：解：（1）由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，在Rt^ABC中，NABC=30°，AB=320km，則AC=160km，因?yàn)?60<200，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；(2)設(shè)BF上點(diǎn)D,DA=200千米，則還有一點(diǎn)G,有AG=200千米.因?yàn)镈A二AG,所以4ADG是等腰三角形，因?yàn)锳CLBF,所以AC是DG的垂直平分線，CD二GC，在Rt^ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，則DG=2DC=240千米，遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：t=240：40=6(小時(shí)).點(diǎn)評(píng)：此題主要考查輔助線在題目中的應(yīng)用,勾股定理,點(diǎn)到直線的距離及速度與時(shí)間的關(guān)系等,較為復(fù)雜．5、一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B’點(diǎn)，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)2cm、寬為1cm、高為4cm.考點(diǎn)：平面展開-最短路徑問題．分析：要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑,最直接的作法,就是將正方體展開,然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答.解答：解：如圖：根據(jù)題意,如上圖所示,最短路徑有以下三種情況：(1)沿AA/,A’C‘,C‘B‘,B‘B剪開，得圖(1)AB,2=AB2+BB′2=(2+1)2+42=25；(2)沿AC,CC',C’B‘,B‘D‘,D‘A‘,A‘A剪開，得圖(2)AB,2=AC2+B/C2=22+(4+1)2=4+25=29；(3)沿AD,DD',B’D‘,C‘B‘,C‘A‘,AA’剪開，得圖(3)AB,2=AD2+B‘D2="+(4+2)2=1+36=37；綜上所述，最短路徑應(yīng)為(1)所示，所以AB,2=25,即AB,=5cm.點(diǎn)評(píng)：此題考查最短路徑問題,將長(zhǎng)方體從不同角度展開,是解決此類問題的關(guān)鍵,注意不要漏解.

6、如圖2(1),是小紅用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c,如圖2(2)是以c為直角邊的等腰直角三角形，她想將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形，可以嗎？(1)如果能,請(qǐng)你畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖,寫出它是什么圖形？(2)用這個(gè)圖形證明勾股定理．(3)假設(shè)圖2(1)中的圖有若干個(gè),你能運(yùn)用(1)中所示的直角三角形拼出另一個(gè)能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫出拼后的示意圖．(無需證明)解：(1)如圖是直角梯形.11⑵因?yàn)镾11⑵因?yàn)镾梯形=2(a+b)(a+b)=2(a+b)2,1111S=2X2ab+gc2=ab+-2c2,所以-2(a+b)1=ab+—C2,即a2+b2=c2.(3)如圖所示.2評(píng)論：這是一道圖形換的題,具體涉及到圖形的拼湊,解決勾股定理這方面的試題關(guān)鍵是要對(duì)課本勾股定理證明涉及到的幾種常見的圖形以及證明過程和原理要熟練掌握,再利用適當(dāng)?shù)倪w移便可以解答了。7、小明有一根70cm長(zhǎng)的木棒，現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30cm、40cm、50cm的木箱,這個(gè)木箱能夠容下小明的這根木棒嗎？請(qǐng)你說明理由。(8分)6、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心.其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每離臺(tái)風(fēng)中心20km,風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)在正以15km/h的速度沿北偏東30°方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，如圖14-10,若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過4級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.(1)該城市是否會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由；(2)若會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？解：(1)如圖，過點(diǎn)A作ADLBC于D,則AD是該城市離臺(tái)風(fēng)中心最短的距離，在Rt^ABD中，NB=30°,AB=220千米，.?.AD=n0千米，故城市A受到此次臺(tái)風(fēng)影響.(2)在BC上取E、F兩點(diǎn)，使AE=AF=160,當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從E處移到F處時(shí)，該城市都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響.在Rt^ADE中，DE=1602-1102口千米，??.EF?(千米)，故這次臺(tái)風(fēng)影響該城市的連續(xù)時(shí)間約為232538口(小時(shí)).當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心位于D處時(shí)，A市所受這次臺(tái)風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12-110二級(jí).點(diǎn)撥：該城市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響，取決于該城市距臺(tái)風(fēng)中心的最近距離，若大于160km，則不受臺(tái)風(fēng)影響.風(fēng)力達(dá)到或超過4級(jí)稱受臺(tái)風(fēng)影響，故該城市從開始受臺(tái)風(fēng)

影響到結(jié)束受臺(tái)風(fēng)影響之間的距離除以其速度即為影響的時(shí)間，在離臺(tái)風(fēng)中心最近處風(fēng)力最大.25、如圖，在4ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)用學(xué)過的知識(shí)試求PC?PB+PA2的值。26、在Rt^ABC中，NACB=90。，CDLAB于D,設(shè)AC=b,BC=a,AB=c,CD=h。試說明以a+b、h、c+h三邊組成的三角形是直角三角形。25解：過點(diǎn)A作AELBC于E,AB=AC??.BE=CE,PB=BE-PE,PC=EC+PE在RtAAPE中，PA2=PE2+AE2PC?PB+PA2=(EC-PE)(BE+PE)+PA2=(BE-PE)(BE+PE)+PA2=BE2-PE2+PA2=BE2+AE2=AB2=62=3626、由S=—ab=一ch,可得ab=ch△ABC22BCPE在Rt^ABC中，由勾股定理可得：a2+b2=c2.(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+hBCPE=c2+2ch+h2=(c+h)2由勾股定理的逆定理可得：以a+b、h、c+h為邊27、已知a、b、c為AABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷AABC的形狀.28、如圖，4ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求BC邊上的高AD.29、知識(shí)擂臺(tái)：街道的兩旁共有45盞街燈，每?jī)杀K燈之間間隔30米、每一盞燈的位置正好在對(duì)面街道相對(duì)的兩盞