計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述

第6講計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述一差分方程的一般形式二差分方程的解三脈沖傳遞函數(shù)的定義四差分方程與脈沖傳遞函數(shù)五開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)六閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)七計算機控制系統(tǒng)的響應九離散狀態(tài)空間描述一差分方程的一般形式

對計算機控制系統(tǒng)，其輸出y(k)

不僅取決于當前的輸入r(k)，還取決于過去的輸入r(k-1)，r(k-2)，…以及過去的輸出y(k-1)，y(k-2)，…。其后向差分方程的一般形式為： 其前向差分方程一般形式為： 其中，a1,a2,…,an;b0,b1,…,bm為常系數(shù)，且n

m二差分方程的解 差分方程的解法有多種，其中，常用的包括迭代法與Z

變換法等。1差分方程的迭代解法

根據(jù)差分方程的初始條件或邊界條件，逐步求出后面的未知項?！纠?】已知差分方程為

【解】：2Z變換法

利用Z變換將線性定常的差分方程變換成以z

為變量的代數(shù)方程，求此代數(shù)方程的解，再取Z

反變換，即為差分方程的解。 【例2】差分方程同【例1】【解】：對差分方程求Z

變換此時，需要求得y(－1)，令原方程中k=0，則可得因此有即驗證：查表可得因此有將其展開為部分分式有查表求Z

反變換三脈沖傳遞函數(shù)的定義

離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)定義為：在零初始條件下，離散系統(tǒng)輸出量的Z

變換與輸入量的Z

變換之比，也稱為Z傳遞函數(shù)，即G(z)R(z)Y(z)r*(t)y*(t)Y(z)G(s)R(z)r*(t)y*(t)R(s)r(t)y(t)Y(s)G(z)

對于采樣系統(tǒng)，其輸入為采樣信號，但輸出一般仍為連續(xù)信號，此時便假想在輸出端虛設一個采樣開關，從而變成離散系統(tǒng)。關于脈沖傳遞函數(shù)的說明【1】離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是其單位脈沖響應的Z變換，反之，脈沖傳遞函數(shù)的Z反變換即為相應的脈沖響應；【2】對于采樣系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)是其單位脈沖響應經(jīng)采樣之后的Z

變換，其相應的Z

反變換則只反映采樣點上的響應；四差分方程與脈沖傳遞函數(shù) 反之，通過對脈沖傳遞函數(shù)取Z反變換，則可得差分方程。差分方程與脈沖傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換差分方程為設初始條件為零，兩端取Z變換，得由此可得脈沖傳遞函數(shù)五開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

1采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式G(s)R(s)Y(s)G(s)R(s)Y(s)Y(z)G(s)R(s)Y(s)Y(z)R(z)G(z)G(s)R(s)Y(s)Y(z)R(z)G(z)R*(s)2串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)G1G1(z)G2G2(z)G(z)G1G2G(z)3含零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Go(s)G(z)R(s)R(z)C(s)C(z)4并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)R(s)G1(s)y1(z)R(z)G2(s)y2(z)R(z)Y(z)R(s)G1(s)R(z)G2(s)Y(z)六閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)獨立環(huán)節(jié)

在采樣系統(tǒng)或計算機控制系統(tǒng)中，兩個相鄰采樣開關之間的環(huán)節(jié)只稱為一個獨立環(huán)節(jié)。若閉環(huán)系統(tǒng)的輸入信號未被采樣，則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)將寫不出來。

【注】

若誤差信號被采樣，則認為輸入、輸出均被采樣G(s)H(s)B(s)(s)R(s)Y(s)Y(z)R(z)E(z)由此可得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導上述結(jié)構(gòu)圖誤差通道有采樣開關，即輸入與反饋信號均被采樣其中由以上閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導結(jié)果可知，系統(tǒng)輸出的Z

變換的分子是前向通道（包括輸入R(s)）所有獨立環(huán)節(jié)的Z

變換的乘積，分母是閉環(huán)回路所有獨立環(huán)節(jié)的Z變換加1；在計算采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時，必須以獨立環(huán)節(jié)為計算傳遞函數(shù)的最小單位。閉環(huán)系統(tǒng)的輸出Z

變換的一般表達式【結(jié)論】：【注】上式中，輸入R(s)也被看作一個連續(xù)環(huán)節(jié)； 若R(z)存在，則可寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，否則，不能寫出。

七計算機控制系統(tǒng)的響應書P48

八

離散狀態(tài)空間描述1、線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立(1)由差分方程建立離散狀態(tài)方程a)差分方程不含輸入函數(shù)的高階差分，即差分方程的形式為選擇狀態(tài)變量，令可得以及寫成矩陣形式的狀態(tài)空間描述為b)差分方程包含輸入函數(shù)的高階差分，即對于如下的單輸入單輸出n階差分方程描述的線性離散系統(tǒng)選擇狀態(tài)變量，令且有其中待定系數(shù)的計算公式為由上面的式子可得寫成狀態(tài)方程描述，有

設

分別用串行法、并行法、直接法、嵌套法等建立其相應的狀態(tài)方程。（1）串行法 將G(z)

寫成2．由z傳遞函數(shù)建立離散狀態(tài)方程由上式可得狀態(tài)方程框圖可得狀態(tài)方程：輸出方程：寫成矩陣形式(2)并行法將G(z)

展開為部分分式則有狀態(tài)空間描述為矩陣形式為（3）直接法將G(z)

寫成令進一步可得：選取狀態(tài)變量則有狀態(tài)描述矩陣形式為（4）嵌套法則選擇狀態(tài)變量，令因此有進一步可得對應的框圖所對應的差分方程為輸出方程為寫成矩陣形式為(1)連續(xù)對象的離散狀態(tài)方程

設連續(xù)過程的狀態(tài)方程為

在輸入端加零階保持器，即2、連續(xù)狀態(tài)方程的離散化

對連續(xù)狀態(tài)方程求解可得

令t0=kT,t=(k+1)T,此時有u()≡u(kT)（即ZOH）,可得 對于定常系統(tǒng)，可寫為

其中作變量代換可得（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A(T)的求解◆級數(shù)展開法

其中L可由計算精度確定。

◆拉氏變換法已知從而可得由拉普拉斯反變換得

所以求以下連續(xù)系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程：解：離散狀態(tài)方程為◆方法：分別求得系統(tǒng)的數(shù)字部分、廣義對象部分以及反饋部分的狀態(tài)方程，消去中間變量，整理得到閉環(huán)狀態(tài)方程。例7

閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示，T=0.1s,，連續(xù)對象為