用向量法解立體幾何綜合練習

高二數(shù)學通用版用向量法解立體幾何綜合練習（答題時間：60分鐘）1.如圖，在直三棱柱中，，，點是的中點。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求點到的距離；（Ⅲ）求二面角的大小。2.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CB＝1，CA＝，AA1＝，M為側棱CC1上一點，。（Ⅰ）求證：AM平面；（Ⅱ）求二面角B－AM－C的大??；（Ⅲ）求點C到平面ABM的距離。3.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，，且交于點。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求證：平面⊥平面。4.如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）在線段上能否存在點

，使得點

到平面

的距離為

？若存在，確立點的地點；若不存在，請說明原因。5.如圖，四棱錐

中，平面

，四邊形

是矩形。

、分別是

、的中點。若

，

。（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求點到平面的距離；（Ⅲ）求直線與平面所成的角的大小。高二數(shù)學通用版用向量法解立體幾何綜合練習參照答案解法一：（Ⅰ）證明：連接，設與的交點為，連接。是的中點，是的中點，（Ⅱ）解：設點到的距離為。在三棱錐中，，且。易求得即點到的距離是（Ⅲ）解：在平面內作于點，過點作于點，連接易證明，進而是在平面內的射影，依據(jù)三垂線定理得是二面角的平面角。易求得，在中，二面角

的大小是解法二：在直三棱柱

中，

，

，兩兩垂直。如圖，以

為原點，直線

分別為

軸，軸，軸成立空間直角坐標系，則（Ⅰ）證明：設與的交點為，則（Ⅱ）解：設點到的距離為在三棱錐中，，且。易求得即點到（Ⅲ）解：在平面內作易證明依據(jù)三垂線定理得是二面角

的距離是于點，過點，進而是的平面角。

作在平面

于點，連接內的射影，易知二面角的大小是2.解法一：（I）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥面ACC1A1，∵面ACC1A1∴BC⊥AM∵，且∴AM平面II）設AM與A1C的交點為O，連接BO，由（I）可知AMOB，且AMOC，因此∠BOC為二面角B－AM－C的平面角，在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠AA1C＝∠MACRt△ACM∽Rt△A1AC∴∴∴在Rt△ACM中，∵∴∴在Rt△BCO中，∴，故所求二面角的大小為45°（Ⅲ）設點C到平面ABM的距離為h，易知，可知∵∴∴∴點C到平面ABM的距離為解法二：（I）同解法一（II）如圖，以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標系，則，設∵。∴即，故，因此設向量為平面AMB的法向量，則，則即，令x＝1，平面AMB的一個法向量為，明顯向量是平面AMC的一個法向量，易知，與所夾的角等于二面角B－AM－C的大小，故所求二面角的大小為45°。（Ⅲ）所求距離為：∴點C到平面ABM的距離為3.方法一：（Ⅰ）證明：連接交于，連接。是正方形，∴是的中點。是的中點，∴是的中位線?！唷Ｓ帧咂矫?，平面，∴平面。（Ⅱ）解：取中點，則。作于，連接。∵底面，∴底面?！酁樵谄矫鎯鹊纳溆啊！摺?/p>

，?！酁槎娼堑钠矫娼恰ＴO，在中，，∴?！喽娼?/p>

的大小為

。又∵

（III）證明：由條件有是的中點，∴

∴

∴平面平面

，∴∴

由已知

∴

平面

又

平面∴平面

平面方法二：（Ⅰ）同方法一（II）如圖，以A為坐標原點，成立空間直角坐標系，由，故設，則。底面，∴是平面

的法向量，

。設平面

的法向量為

，，則

即

∴

令，則

?！?/p>

，∴二面角（III）

的大小為，

。，又

且

。。又

平面∴平面

⊥平面

。4.解法一：（Ⅰ）證明：∵底面為正方形，∴，又，∴平面，∴。同理，∴平面。（Ⅱ）解：設為中點，連接，又為中點，可得，進而底面。過作的垂線，垂足為，連接。由三垂線定理有，∴為二面角的平面角。在中，可求得∴?！喽娼堑拇笮?。（Ⅲ）解：由為中點可知，要使得點到平面的距離為，即重點到平面的距離為。過作的垂線，垂足為，∵平面，∴平面∴

平面，平面，即為點到平面的距離?！?，∴。設，由與相像可得，∴，即?！嘣诰€段上存在點，且為中點，使得點到平面的距離為。解法二：（Ⅰ）證明：同解法一。（Ⅱ）解：成立如圖的空間直角坐標系，則

。設

為平面

的一個法向量，則

，

。又令

則得

。又

是平面

的一個法向量，設二面角

的大小為

，則。∴二面角

的大小為

。（Ⅲ）解：設

為平面

的一個法向量，則，

。又，令

則得又

?！帱c到平面的距離，∴

，解得

，即

?！嘣诰€段上存在點，使得點到平面的距離為，且為中點。5.解法一：（Ⅰ）取的中點，連接，，又由為中點，則。又由已知有，∴?！嗨倪呅问瞧叫兴倪呅??！?。又平面

，

平面

，∴平面

。（Ⅱ）∵平面，∴平面平面。由

是矩形有

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?！?/p>

。又

，是

的中點，∴

?！?/p>

，∴平面

。由，∴平面

?！嗥矫?/p>

平面

。在平面內，過

作

于，因為平面

平面

，則

的長就是點

到平面

的距離。由已知可得

，

，

。因為平面

，∴

?！唷！帱c到平面的距離為。（Ⅲ）由（Ⅱ）知為直線與平面所成的角。在中，，，∴?！啵?。∴直線與平面所成的