自旋與全同粒子

§1電子的自旋§2電子的自旋算符和自旋波函數(shù)§3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)§4

兩個(gè)角動(dòng)量耦合§5

光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)§6全同粒子的特性§7全同粒子體系波函數(shù) Pauli原理§8兩電子自旋波函數(shù)第八章自旋與全同粒子（一）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)

（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)（三）電子自旋假設(shè)

（四）回轉(zhuǎn)磁比率§1電子的自旋（1）實(shí)驗(yàn)描述Z處于S態(tài)的氫原子（2）結(jié)論I。氫原子有磁矩 因在非均勻磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)II。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的 S態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場(chǎng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。NS（一）Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（3）討論磁矩與磁場(chǎng)之夾角原子Z向受力分析若原子磁矩可任意取向， 則cos

可在（-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶

但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對(duì)應(yīng)cos=-1和+1，處于S態(tài)的氫原子=0，沒(méi)有軌道磁矩，所以原子磁矩來(lái)自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3p3s5893?3p3/23p1/23s1/2D1D25896?5890?

鈉原子光譜中的一條亮黃線

5893?，用高分辨率的光譜儀觀測(cè)，可以看到該譜線其實(shí)是由靠的很近的兩條譜線組成。

其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)Uhlenbeck和Goudsmit1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè)（1）每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：（2）每個(gè)電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為：自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：Bohr磁子（三）電子自旋假設(shè)（1）電子回轉(zhuǎn)磁比率我們知道，軌道角動(dòng)量與軌道磁矩的關(guān)系是：（2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：可見(jiàn)電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍（四）回轉(zhuǎn)磁比率§2電子的自旋算符和自旋波函數(shù)（一）自旋算符（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（三）自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度（五）自旋波函數(shù)（六）力學(xué)量平均值自旋角動(dòng)量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來(lái)解釋。自旋角動(dòng)量也是一個(gè)力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)而自旋角動(dòng)量則與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無(wú)關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個(gè)自由度（第四個(gè)變量）。與其他力學(xué)量一樣，自旋角動(dòng)量也是用一個(gè)算符描寫，記為自旋角動(dòng)量軌道角動(dòng)量異同點(diǎn)與坐標(biāo)、動(dòng)量無(wú)關(guān)不適用同是角動(dòng)量滿足同樣的角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系（一）自旋算符由于自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取

±/2兩個(gè)值所以的本征值都是±/2，其平方為[/2]2算符的本征值是仿照自旋量子數(shù)s只有一個(gè)數(shù)值因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動(dòng)自由度，所以描寫電子運(yùn)動(dòng)除了用(x,y,z)三個(gè)坐標(biāo)變量外，還需要一個(gè)自旋變量(SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：由于SZ只取±/2兩個(gè)值，所以上式可寫為兩個(gè)分量：寫成列矩陣規(guī)定列矩陣第一行對(duì)應(yīng)于Sz=/2，第二行對(duì)應(yīng)于Sz=-/2。若已知電子處于Sz=/2或Sz=-/2的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù)（1）

SZ的矩陣形式電子自旋算符（如SZ）是作用與電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了2×1的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是2×2矩陣。因?yàn)棣?/2描寫的態(tài)，SZ有確定值/2，所以Φ1/2是SZ的本征態(tài)，本征值為/2，即有：矩陣形式同理對(duì)Φ–1/2處理，有最后得SZ的矩陣形式SZ是對(duì)角矩陣，對(duì)角矩陣元是其本征值±/2。（三）自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣（2）Pauli算符1.Pauli算符的引進(jìn)分量形式因?yàn)镾x,Sy,Sz的本征值都是±/2，所以σx,σy,σz的本征值都是±1；σx2,σy2,σZ2的本征值都是。即：2.反對(duì)易關(guān)系基于σ的對(duì)易關(guān)系，可以證明σ各分量之間滿足反對(duì)易關(guān)系:證：我們從對(duì)易關(guān)系:出發(fā)左乘σy右乘σy二式相加同理可證:x,y分量的反對(duì)易關(guān)系亦成立.[證畢]或由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于Pauli算符的如下非常有用性質(zhì)：σy2=13.Pauli算符的矩陣形式根據(jù)定義求Pauli算符的其他兩個(gè)分量令利用反對(duì)易關(guān)系σX簡(jiǎn)化為：令：c=exp[iα](α為實(shí)），則由力學(xué)量算符厄密性得：b=c*(或c=b*)σx2=I求σy的矩陣形式這里有一個(gè)相位不定性，習(xí)慣上取α=0，于是得到Pauli算符的矩陣形式為：從自旋算符與Pauli矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：寫成矩陣形式（1）歸一化電子波函數(shù)表示成矩陣形式后，波函數(shù)的歸一化時(shí)必須同時(shí)對(duì)自旋求和和對(duì)空間坐標(biāo)積分，即（2）幾率密度表示t時(shí)刻在r點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到電子的幾率表示t時(shí)刻r點(diǎn)處單位體積內(nèi)找到自旋Sz=/2的電子的幾率表示t時(shí)刻

r點(diǎn)處單位體積內(nèi)找到自旋Sz=–/2的電子的幾率在全空間找到Sz=/2的電子的幾率在全空間找到Sz=–/2的電子的幾率（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度波函數(shù)這是因?yàn)椋ǔＷ孕蛙壍肋\(yùn)動(dòng)之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)有影響。但是，當(dāng)這種相互作用很小時(shí)，可以將其忽略，則ψ1,ψ2

對(duì)(x,y,z)的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時(shí)Φ可以寫成如下形式：求：自旋波函數(shù)χ(Sz)SZ的本征方程令

一般情況下，ψ1≠ψ2，二者對(duì)(x,y,z)的依賴是不一樣的。（五）自旋波函數(shù)因?yàn)镾z是2×2矩陣，所以在S2,Sz為對(duì)角矩陣的表象內(nèi)，χ1/2,χ-1/2都應(yīng)是2×1的列矩陣。代入本征方程得：由歸一化條件確定a1所以二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交引進(jìn)自旋后，任一自旋算符的函數(shù)

G在

Sz表象表示為2×2矩陣算符G在任意態(tài)Φ中對(duì)自旋求平均的平均值算符G在Φ態(tài)中對(duì)坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均的平均值是：（六）力學(xué)量平均值§3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（二）氫、類氫原子在外場(chǎng)中的附加能（三）求解Schrodinger方程（四）簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場(chǎng)中，其光譜線發(fā)生分 裂的現(xiàn)象。 該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先觀察到（1）簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，光譜線的分裂 現(xiàn)象。（2）復(fù)雜塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場(chǎng)較弱，軌道-自旋相互作 用不能忽略時(shí)，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象取外磁場(chǎng)方向沿Z向，則磁場(chǎng)引起的附加能（CGS制）為：磁場(chǎng)沿Z向（二）Schrodinger方程考慮強(qiáng)磁場(chǎng)忽略自旋-軌道相互作用，體系Schrodinger方程：（二）氫、類氫原子在外場(chǎng)中的附加能根據(jù)上節(jié)分析，沒(méi)有自旋-軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：代入S—方程最后得1

滿足的方程同理得2

滿足的方程（1）當(dāng)B=0時(shí)（無(wú)外場(chǎng)），是有心力場(chǎng)問(wèn)題，方程退化為不考慮自旋時(shí)的情況。其解為：I。對(duì)氫原子情況II。對(duì)類氫原子情況如Li，Na，……等堿金屬原子，核外電子對(duì)核庫(kù)侖場(chǎng)有屏蔽作用，此時(shí)能級(jí)不僅與n有關(guān)，而且與有關(guān)，記為En則有心力場(chǎng)方程可寫為：（三）求解Schrodinger方程由于（2）當(dāng)B0時(shí)（有外場(chǎng)）時(shí)所以在外磁場(chǎng)下，nm

仍為方程的解，此時(shí)同理（1）分析能級(jí)公式可知：在外磁場(chǎng)下，能級(jí)與n,l,m有關(guān)。原來(lái)m不同能量相同的簡(jiǎn)并現(xiàn)象被外磁場(chǎng)消除了。（2）外磁場(chǎng)存在時(shí)，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于S態(tài)時(shí)，l=0,m=0的原能級(jí)Enl

分裂為二。這正是Stern—Gerlach實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象。（四）簡(jiǎn)單 塞曼效應(yīng)（3）光譜線分裂2p1sSz=/2Sz=-/2m+10-1m+10-100(a)無(wú)外磁場(chǎng)(b)有外磁場(chǎng)I。B=0無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)電子從

En

到

En’’

的躍遷的譜線頻率為：II。B0有外磁場(chǎng)時(shí)

根據(jù)上一章選擇定則可知，所以譜線角頻率可取三值：無(wú)磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線被分裂成三條譜線Sz=/2時(shí)，取+；Sz=/2時(shí)，取。

我們已分別討論過(guò)了只有L和只有S的情況，忽略了二者之間的相互作用，實(shí)際上，在二者都存在的情況下，就必須同時(shí)考慮軌道角動(dòng)量和自旋，也就是說(shuō)，需要研究L與S的耦合問(wèn)題。下面我們普遍討論一下兩個(gè)角動(dòng)量的耦合問(wèn)題。（一）總角動(dòng)量（二）耦合表象和無(wú)耦合表象§4兩個(gè)角動(dòng)量耦合設(shè)有J1,J2兩個(gè)角動(dòng)量，分別滿足如下角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系：因?yàn)槎呤窍嗷オ?dú)立的角動(dòng)量，所以相互對(duì)易，即其分量對(duì)易關(guān)系可寫為證：同理，對(duì)其他分量成立。[證畢]（1）二角動(dòng)量之和構(gòu)成總角動(dòng)量（一）總角動(dòng)量證：同理，對(duì)其他分量亦滿足。事實(shí)上這是意料之中的事，因?yàn)榉彩菨M足角動(dòng)量定義的力學(xué)量都滿足如下對(duì)易關(guān)系：證：上面最后一步證明中，使用了如下對(duì)易關(guān)系：同理可證成立。[證畢]由上面證明過(guò)程可以看出，若對(duì)易括號(hào)將J12用J1代替，顯然有如下關(guān)系：這是因?yàn)樽C：同理亦成立。[證畢]所以這四個(gè)角動(dòng)量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系。記為：綜合上述對(duì)易關(guān)系可知：四個(gè)角動(dòng)量算符兩兩對(duì)易（1）本征函數(shù)也兩兩對(duì)易，故也有共同完備的本征函數(shù)系，記為：耦合表象基矢非耦合表象基矢（二）耦合表象和無(wú)耦合表象由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：稱為矢量耦合系數(shù)或Clebsch-Gorldon系數(shù)因?yàn)樗杂杏谑巧鲜角蠛椭恍鑼?duì)m2進(jìn)行即可?？紤]到m1=m-m2，則上式可改寫為：或：（2）C-G系數(shù)的幺正性我們知道，兩個(gè)表象之間的么正變換有一個(gè)相位不定性，如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使C-G系數(shù)為實(shí)數(shù)。共軛式將上式左乘<j1j2j'm'|，并考慮正交歸一關(guān)系：對(duì)m’=m,m’m=1,于是：將|j1,m1,j2,m2>用耦合表象基矢|j1,j2,j,m>展開(kāi)：C-G系數(shù)實(shí)數(shù)性共軛式左乘上式，并注意非耦合表象基矢的正交歸一性：對(duì)m2’=m2情況,得：考慮到上式兩個(gè)C-G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系：m2=m-m’1和m2=m-m1最后得：上式與關(guān)系式一起反映了C-G系數(shù)的么正性和實(shí)數(shù)性。（3）j的取值范圍（j與j1,j2的關(guān)系）1.對(duì)給定j1j2，求jmax因?yàn)閙m1m2取值范圍分別是：m=j,j-1,...,-j+1,-j→mmax=j;m1=j1,j1-1,...,-j1+1,-j1→(m1)max=j1;m2=j2,j2-1,...,-j2+1,-j2→(m2)max=j2;再考慮到m=m1+m2，則有：mmax=(m1)max+(m2)max=j=jmax，于是：jmax=j1+j22.求jmin由于基矢|j1m1>,|j2m2>對(duì)給定的j1j2分別有2j1+1和2j2+1個(gè)， 所以非耦合表象的基矢|j1,m1,j2,m2>=|j1,m1>|j2,m2>的數(shù)目為(2j1+1)(2j2+1)個(gè)。另一方面，對(duì)于一個(gè)j值，|j1,j2,j,m>基矢有2j+1個(gè)，那末j從jmin到j(luò)max的所有基矢數(shù)則由下式給出：等差級(jí)數(shù)求和公式Jmax=j1+j2由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨(dú)立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m>的數(shù)亦應(yīng)等于(2j1+1)(2j2+1)個(gè)，從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等于是(j1+j2+1)2-jmin2=(2j1+1)(2j2+1)從而可解得：jmin=|j1-j2|。3.j的取值范圍由于j只取≥0的數(shù)，所以當(dāng)j1j2給定后，j的可能取值由下式給出：j=j1+j2,j1+j2-1,j1+j2-2,......,|j1-j2|.該結(jié)論與舊量子論中角動(dòng)量求和規(guī)則相符合。j1,j2和j所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為Δ(j1,j2,j)。求得j,m后，J2,Jz的本征值問(wèn)題就得到解決。本征矢作為一個(gè)例子下面列出了電子自旋角動(dòng)量j2=1/2情況下幾個(gè)C-G系數(shù)公式。將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得：（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無(wú)自旋軌道作用）（二）有自旋軌道相互作用情況（1）無(wú)耦合表象（2）耦合表象（1）Hamilton量（2）微擾法求解（3）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)（4）零級(jí)近似波函數(shù)本節(jié)討論無(wú)外場(chǎng)作用下，考慮電子自旋對(duì)類氫原子能級(jí)和譜線的影響。§5光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)（1）無(wú)耦合表象類氫原子Hamilton量對(duì)類氫原子在不考慮核外電子對(duì)核電得屏蔽效應(yīng)情況下，勢(shì)場(chǎng)可寫為：因?yàn)镠0,L2,Lz和Sz兩兩對(duì)易，所以它們有共同完備得本征函數(shù)（無(wú)耦合表象基矢）：可見(jiàn)電子狀態(tài)由n,l,ml,ms

四個(gè)量子數(shù)確定，能級(jí)公式只與n有關(guān)能級(jí)簡(jiǎn)并度，不計(jì)電子自旋時(shí)，是n2度簡(jiǎn)并，考慮電子自旋后，因ms有二值，故En是2n2度簡(jiǎn)并。（一）復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無(wú)自旋軌道作用）（2）耦合表象電子總角動(dòng)量因?yàn)長(zhǎng)2,S2,J2,Jz兩兩對(duì)易且與H0對(duì)易，故體系定態(tài)也可寫成它們得共同本征函數(shù)：耦合表象基矢電子狀態(tài)用n,l,j,m四個(gè)量子數(shù)確定。（1）Hamilton量基于相對(duì)論量子力學(xué)和實(shí)驗(yàn)依據(jù)，L-S自旋軌道作用可以表示為：稱為自旋軌道耦合項(xiàng)（二）有自旋軌道相互作用情況于是體系Hamilton量

由于H中包含有自旋--軌道耦合項(xiàng)，所以Lz,Sz與H不再對(duì)易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù)ml,ms都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)。 現(xiàn)在好量子數(shù)是l,j,m，這是因?yàn)槠湎鄳?yīng)的力學(xué)量算符L2,J2,Jz都與H對(duì)易的緣故。證：所以L2,J2,Jz都與H’對(duì)易從而也與H對(duì)易。（2）微擾法求解因?yàn)镠0的本征值是簡(jiǎn)并的，因此需要使用簡(jiǎn)并微擾法求解。 H0的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù)。為方便計(jì)，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級(jí)近似波函數(shù)。之所以方便，是因?yàn)槲_Hamilton量H’在耦合表象矩陣是對(duì)角化的，而簡(jiǎn)并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級(jí)波函數(shù)是H'對(duì)角化。這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟。令：展開(kāi)系數(shù)滿足如下方程：其中矩陣元下面我們計(jì)算此矩陣元其中：代入關(guān)于Cljm的方程得：為書寫簡(jiǎn)捷將l’j’m’用ljm代替由于Cljm≠0，所以能量一級(jí)修正（3）光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)1.簡(jiǎn)并性由上式給出的能量一級(jí)修正可以看出，L-S耦合使原來(lái)簡(jiǎn)并能級(jí)分裂開(kāi)來(lái)，簡(jiǎn)并消除，但是是部分消除。這是因?yàn)镋nlj(1)仍與m無(wú)關(guān)，同一j值，m可取2j+1個(gè)值，所以還有2j+1度簡(jiǎn)并。2.精細(xì)結(jié)構(gòu)對(duì)給定的n,

值，j=±(1/2)有二值=0除外具有相同n,

的能級(jí)有二個(gè)由于ξ(r)通常很小，所以這二個(gè)能級(jí)間距很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因。

例:鈉原子2p項(xiàng)精細(xì)結(jié)構(gòu)

求<ξ(r)>5890?5896?鈉原子2P項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)關(guān)于上式積分具體計(jì)算參見(jiàn)E.U.CondonandG.H.Shortley,"TheTheoryofAtomicSpectra",p.120-125.原能級(jí)分裂為：n,j=+1/2j=–1/2（4）零級(jí)近似波函數(shù)波函數(shù)的零級(jí)近似取為Ψnljm對(duì)不同m的線性組合，也可以就直接取為Ψnljm因?yàn)槲_Hamilton量H'在該態(tài)的矩陣元已是對(duì)角化的了。上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的Dirac符號(hào)后并用非耦合表象基矢表示出來(lái)。上述討論適用于

>0的情況，當(dāng)

=0時(shí)，沒(méi)有自旋軌道耦合作用，因而能級(jí)不發(fā)生移動(dòng)。（一）全同粒子和全同性原理（二）波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)（三）波函數(shù)對(duì)稱性的不隨時(shí)間變化（四）Fermi子和Bose子§6全同粒子的特性（1）全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子，是可以區(qū)分的。因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中，有各自確定的軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度?？膳袛嗄膫€(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子1212（一）全同粒子和全同性原理（3）微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運(yùn)動(dòng)服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。（1）Hamilton算符的對(duì)稱性N個(gè)全同粒子組成的體系，其Hamilton量為：調(diào)換第i和第j粒子，體系Hamilton量不變。即：表明，N個(gè)全同粒子組成的體系的Hamilton量具有交換對(duì)稱性，交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo)（qi,qj)后不變。（二）波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)（2）對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時(shí)Shrodinger方程將方程中（qi,qj)調(diào)換，得：由于Hamilton量對(duì)于（qi,qj)調(diào)換不變表明：（qi,qj)調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger方程的解。根據(jù)全同性原理：描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。再做一次（qi,qj)調(diào)換對(duì)稱波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù)引入粒子坐標(biāo)交換算符全同粒子體系波函數(shù)的這種對(duì)稱性不隨時(shí)間變化，即初始時(shí)刻是對(duì)稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是對(duì)稱的；初始時(shí)刻是反對(duì)稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對(duì)稱的。證方法I設(shè)全同粒子體系波函數(shù)s

在t時(shí)刻是對(duì)稱的，由體系哈密頓量是對(duì)稱的，所以Hs

在t時(shí)刻也是對(duì)稱的。在t+dt時(shí)刻，波函數(shù)變化為對(duì)稱對(duì)稱二對(duì)稱波函數(shù)之和仍是對(duì)稱的依次類推，在以后任何時(shí)刻，波函數(shù)都是對(duì)稱的。同理可證：t時(shí)刻是反對(duì)稱的波函數(shù)a

，在t以后任何時(shí)刻都是反對(duì)稱的。（三）波函數(shù)對(duì)稱性的不隨時(shí)間變化方法II全同粒子體系哈密頓量是對(duì)稱的結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上。實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對(duì)稱性是完 全確定的，而且該對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。（1）Bose子凡自旋為整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換2個(gè)粒子總是對(duì)稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為Bose子如：光子（s=1）；介子（s=0）。（四）Fermi子和Bose子（2）Fermi子凡自旋為半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換2個(gè)粒子總是反對(duì)稱的，遵從Fermi統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi子。例如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。（3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如：粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過(guò)程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自 由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類 全同粒子來(lái)處理。偶數(shù)個(gè)Fermi子組成Bose子組成奇數(shù)個(gè)Fermi子組成奇數(shù)個(gè)Fermi子組成（一）2個(gè)全同粒子波函數(shù)（二）N個(gè)全同粒子體系波函數(shù)（三）Pauli原理§7全同粒子體系波函數(shù) Pauli原理（1）對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)的構(gòu)成I2個(gè)全同粒子Hamilton量II單粒子波函數(shù)（一）2個(gè)全同粒子波函數(shù)III交換簡(jiǎn)并粒子1在i態(tài)，粒子2在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：驗(yàn)證：粒子2在i態(tài)，粒子1在j態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：IV滿足對(duì)稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對(duì)稱性條件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)僅當(dāng)i=j二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對(duì)稱波函數(shù)；當(dāng)ij二態(tài)不同時(shí)，既不是對(duì)稱波函數(shù)，也不是反對(duì)稱波函數(shù)。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用來(lái)描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對(duì)稱性的波函數(shù)C為歸一化系數(shù)顯然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函數(shù)，本征值皆為：VS

和A的歸一化

若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，則

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交歸一化的證：同理：而同理：證畢首先證明然后考慮S

和A歸一化則歸一化的S同理對(duì)A有：上述討論是適用于二粒子間無(wú)相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)，但是下式仍然成立歸一化的

SA依舊因H的對(duì)稱性式2成立（1）Shrodinger方程的解上述對(duì)2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無(wú)互作用，單粒子H0

不顯含時(shí)間，則體系單粒子本征方程：（二）N個(gè)全同粒子體系波函數(shù)（2）Bose子體系和波函數(shù)對(duì)稱化2個(gè)Bose子體系，其對(duì)稱化波函數(shù)是：1，2粒子在i，j態(tài)中的一種排列N個(gè)Bose子體系，其對(duì)稱化波函數(shù)可類推是：N個(gè)粒子在i，j…k態(tài)中的一種排列歸一化系數(shù)對(duì)各種可能排列p求和nk

是單粒子態(tài)k

上的粒子數(shù)例:N=3Bose子體系,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為1、2

、

3

，求：該體系對(duì)稱化的波函數(shù)。I。n1=n2=n3=1II。n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0III。n1=2，n2=1，n3=0。

另外還有5種可能的狀態(tài)，分別是：n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1附注：關(guān)于重復(fù)組合問(wèn)題從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為：（m可大于、等于或小于n）重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為：通常組