北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊關(guān)于線段中點(diǎn)的解題策略

專題5：線段中點(diǎn)的解題策略一、學(xué)生知識(shí)狀況分析線段的中點(diǎn)是一個(gè)常見且重要的幾何對(duì)象，它在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)專題課特意把中點(diǎn)作為專題研究對(duì)象，通過從軸對(duì)稱、中心對(duì)稱和三角形的中位線三個(gè)層次去尋找解題策略。這節(jié)課是學(xué)生學(xué)完八下平行四邊形內(nèi)容后所進(jìn)行，剛好線段的垂直平分線、等腰三角形的三線合一和三角形的中位線等這些知識(shí)點(diǎn)中都的中點(diǎn)產(chǎn)生，學(xué)生具有一定的綜合能力，老師可以在此基礎(chǔ)是幫助學(xué)生提升，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題策略。二、教學(xué)任務(wù)分析基于教科知識(shí)書①軸對(duì)稱的性質(zhì)：左右對(duì)稱被對(duì)稱軸垂直平分，而線段的垂直平分線和等腰三角形的三線合一都與軸對(duì)稱有關(guān)；②中心對(duì)稱的性質(zhì)：圖形關(guān)于對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度與原圖形重合，而倍長中線正滿足此特點(diǎn)；③三角形的中位線，是特殊圖形中的中點(diǎn)性質(zhì)。在解題時(shí)，我們往往發(fā)現(xiàn)的中點(diǎn)這個(gè)條件，但是不知道怎樣使用，特別是需要作輔助線時(shí)，不知道如何出手。綜上所述，本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)為：1.利用軸對(duì)稱性質(zhì)解題（線段垂直平分線和等腰三角形三線合一）。2.利用中心對(duì)稱性質(zhì)解題（倍長中線）。3.利用三角形中位線定理解題。三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：熱身助學(xué)；第二環(huán)節(jié)：例題研學(xué)；第三環(huán)節(jié)：感悟促學(xué)；第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第五環(huán)節(jié)：課堂檢學(xué)；第六環(huán)節(jié)：家庭作業(yè)。第一環(huán)節(jié)熱身助學(xué)教師：同學(xué)們，線段的中點(diǎn)是一個(gè)常見且重要的幾何對(duì)象，它在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，今天我們一起來學(xué)習(xí)線段中點(diǎn)的解題策略，先請(qǐng)大家做熱身助學(xué)4道題，時(shí)間4分鐘。1、如圖1，在?ABC中，已知AC=27，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB交AC于點(diǎn)E，?BCE的周長等于50，則BC=。2、如圖2，等邊三角形ABC的邊長是6cm，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD，連接DE，則DE的長是cm.圖1圖2圖3圖43、（2020寶安）如圖3，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，連接CD，若S△DEC=1，則△ABC的面積是（）A．4B.5C.6D.74、如圖4，在?ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若AC=3,AD=4，則AB的長不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9設(shè)計(jì)意圖：通過這4道題的熱身練習(xí)，讓學(xué)生從1、2題中領(lǐng)悟到線段的垂直平分線和等腰三角形的三線合一其實(shí)就是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)應(yīng)用，從而讓學(xué)生明白此題的解題策略就是過線段中點(diǎn)作垂直平分線和過等腰三角形底邊的中點(diǎn)作中線（或高或頂角平分線）。第3題要讓學(xué)生明白看到三角形一邊上的中點(diǎn)就要想到中位線，那就要找另一邊的中點(diǎn)，然后畫出中位線，再利用三角形中位線性質(zhì)來計(jì)算和證明。第4題最難，很多同學(xué)想不到解題方向，我們要引導(dǎo)學(xué)生去思考，一邊上的中點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上可以看成中心對(duì)稱，我們把一個(gè)圖形繞著中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o后，發(fā)現(xiàn)就出現(xiàn)中心對(duì)稱圖象，如果是三角形繞著中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o后，就會(huì)產(chǎn)生三角形全等。教師：請(qǐng)同學(xué)們回答你的答案？問1：請(qǐng)問第2題你是怎樣想的？問2：請(qǐng)問第4題你是怎樣想的？為什么要這樣畫輔助線？你的根據(jù)是什么？問3：第4題還能怎樣畫輔助線？你的根據(jù)是什么？與前面同學(xué)的解法有什么不一樣嗎？問4：以后遇到中點(diǎn)時(shí)，我們有哪些解題策略？第二環(huán)節(jié)例題研學(xué)【教學(xué)內(nèi)容】例1：如圖5，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長AC于點(diǎn)F，AF=EF。求證：AC=BE。圖5圖5教師：同學(xué)們，請(qǐng)認(rèn)真讀題，你能發(fā)現(xiàn)例1與剛才我們熱身助學(xué)中哪題接近？大家先思考1分鐘，再討論交流1分鐘后，老師再請(qǐng)一位同學(xué)來說題。請(qǐng)一位同學(xué)去黑板上板書解法，如果發(fā)現(xiàn)有不同的解法，也可以請(qǐng)第二種解法的同學(xué)上黑板板書解法。設(shè)計(jì)意圖：通過此例題的研學(xué)，讓學(xué)生明白此題中點(diǎn)的解題重點(diǎn)就是畫出全等三角形，我們是把線段繞著中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o（中心對(duì)稱）得出全等圖形的，其本質(zhì)就是中心對(duì)稱。證法一：如圖，延長AD到G，使得DG=AD．在△ADC和△GDB中，AD＝GD∠ADC＝∠GDBCD＝BD，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠AEF=∠CAD，∵∠AEF=∠BEG，∴∠CAD=∠BEG，∴∠G=∠BEG，∴BG=BE，∵AC=BG，∴AC=BE．證法二：如圖，延長ED到H，使得DH=ED．在△BDE和△CDH中，ED＝HD∠BDE＝∠CDHBD＝CD，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH且∠BED=∠H∵∠AEF=∠BED，∴∠G=∠AEF，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AC=CH，∵BE=CH，∴AC=BE．把兩種常見的解法板書出來，讓學(xué)生對(duì)比后，更加理解解法的實(shí)質(zhì)就是中心對(duì)稱。例2：如圖6，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于點(diǎn)D，E是AB中點(diǎn)，AC=15，BC=27，則DE=。解：如圖，延長AD交BC于F，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC，在△ACD和△FCD中，∠ACD＝∠FCDCD＝CD∠ADC＝∠FDC∴△ACD≌△FCD（ASA）∴AC=CF，AD=DF，∵BC=27，AC=15，∴BF=27-15=12，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABF的中位線，∴DE=BF=×12=6．【教學(xué)目的】通過這個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和對(duì)比分析能力。上課時(shí)讓學(xué)生觀察圖形，從熱身助學(xué)中尋找解題策略，要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵點(diǎn)——中點(diǎn)，對(duì)比中點(diǎn)策略中哪種方式能解決問題，從而讓學(xué)生體驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題的樂趣，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。第三環(huán)節(jié)感悟促學(xué)【教學(xué)內(nèi)容】練習(xí)1.如圖7，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，DG是△BCF的中位線，求證：AF＝FC．圖7圖7練習(xí)2．如圖8，在△ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延長線交AC于點(diǎn)E，AB＝12，AC＝20．則DM=．圖8圖8【教學(xué)目的】通過感悟促學(xué)這個(gè)環(huán)節(jié)來鞏固例題的解法，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握中線倍長和三角形中位線的解法，實(shí)現(xiàn)了從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華。第四環(huán)節(jié)課堂小結(jié)本節(jié)課我們探討了線段中點(diǎn)的解題策略，我們來共同總結(jié)一下：【教學(xué)目的】教師鼓勵(lì)學(xué)生交流課堂實(shí)踐的經(jīng)歷、感受和收獲；培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，使學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的自我評(píng)價(jià)能力、反思意識(shí)及總結(jié)能力?！咀⒁馐马?xiàng)】學(xué)生們暢所欲言自己的收獲，老師對(duì)學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵(lì)，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)的知識(shí)。第五環(huán)節(jié)課堂檢學(xué)【教學(xué)內(nèi)容】1．（2019年寶安）如圖9，在?ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接OE，OE＝，則?ABCD的周長為。圖9圖10圖112．（2019年寶安）如圖10，在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于點(diǎn)E，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．△ABD≌△ECD B．連接BE，四邊形ABEC為平行四邊形C．DA＝DE D．CE＝CA3．（2018年寶安）如圖11，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若AC＝3，BC＝4，則BE=?！窘虒W(xué)目的】通過課堂檢學(xué)了解本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，要注意有些同學(xué)第3題因?yàn)橐褂萌切喂垂啥ɡ淼挠?jì)算，可能計(jì)算能力差會(huì)算錯(cuò)，或者由于計(jì)算原因而影響正確答案。第六環(huán)節(jié)家庭作業(yè):如圖11，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則△EBC的周長為厘米．2、如圖12，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，若△AED的面積為3，則△ABC的面積為。圖11圖12圖133、如圖13，等腰△ABC的底邊長為5，面積是15．腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于