北師大版數(shù)學八年級下冊關于線段中點的解題策略

專題5：線段中點的解題策略一、學生知識狀況分析線段的中點是一個常見且重要的幾何對象，它在解決數(shù)學問題中有廣泛的應用，本節(jié)專題課特意把中點作為專題研究對象，通過從軸對稱、中心對稱和三角形的中位線三個層次去尋找解題策略。這節(jié)課是學生學完八下平行四邊形內容后所進行，剛好線段的垂直平分線、等腰三角形的三線合一和三角形的中位線等這些知識點中都的中點產(chǎn)生，學生具有一定的綜合能力，老師可以在此基礎是幫助學生提升，從而培養(yǎng)學生的解題策略。二、教學任務分析基于教科知識書①軸對稱的性質：左右對稱被對稱軸垂直平分，而線段的垂直平分線和等腰三角形的三線合一都與軸對稱有關；②中心對稱的性質：圖形關于對稱中心旋轉180度與原圖形重合，而倍長中線正滿足此特點；③三角形的中位線，是特殊圖形中的中點性質。在解題時，我們往往發(fā)現(xiàn)的中點這個條件，但是不知道怎樣使用，特別是需要作輔助線時，不知道如何出手。綜上所述，本節(jié)的教學目標為：1.利用軸對稱性質解題（線段垂直平分線和等腰三角形三線合一）。2.利用中心對稱性質解題（倍長中線）。3.利用三角形中位線定理解題。三、教學過程設計本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：熱身助學；第二環(huán)節(jié)：例題研學；第三環(huán)節(jié)：感悟促學；第四環(huán)節(jié)：課堂小結；第五環(huán)節(jié)：課堂檢學；第六環(huán)節(jié)：家庭作業(yè)。第一環(huán)節(jié)熱身助學教師：同學們，線段的中點是一個常見且重要的幾何對象，它在解決數(shù)學問題中有著廣泛的應用，今天我們一起來學習線段中點的解題策略，先請大家做熱身助學4道題，時間4分鐘。1、如圖1，在?ABC中，已知AC=27，點D為AB的中點，且DE⊥AB交AC于點E，?BCE的周長等于50，則BC=。2、如圖2，等邊三角形ABC的邊長是6cm，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD，連接DE，則DE的長是cm.圖1圖2圖3圖43、（2020寶安）如圖3，△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，連接CD，若S△DEC=1，則△ABC的面積是（）A．4B.5C.6D.74、如圖4，在?ABC中，D為BC的中點，若AC=3,AD=4，則AB的長不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9設計意圖：通過這4道題的熱身練習，讓學生從1、2題中領悟到線段的垂直平分線和等腰三角形的三線合一其實就是軸對稱圖形的性質應用，從而讓學生明白此題的解題策略就是過線段中點作垂直平分線和過等腰三角形底邊的中點作中線（或高或頂角平分線）。第3題要讓學生明白看到三角形一邊上的中點就要想到中位線，那就要找另一邊的中點，然后畫出中位線，再利用三角形中位線性質來計算和證明。第4題最難，很多同學想不到解題方向，我們要引導學生去思考，一邊上的中點，實質上可以看成中心對稱，我們把一個圖形繞著中點旋轉180o后，發(fā)現(xiàn)就出現(xiàn)中心對稱圖象，如果是三角形繞著中點旋轉180o后，就會產(chǎn)生三角形全等。教師：請同學們回答你的答案？問1：請問第2題你是怎樣想的？問2：請問第4題你是怎樣想的？為什么要這樣畫輔助線？你的根據(jù)是什么？問3：第4題還能怎樣畫輔助線？你的根據(jù)是什么？與前面同學的解法有什么不一樣嗎？問4：以后遇到中點時，我們有哪些解題策略？第二環(huán)節(jié)例題研學【教學內容】例1：如圖5，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長AC于點F，AF=EF。求證：AC=BE。圖5圖5教師：同學們，請認真讀題，你能發(fā)現(xiàn)例1與剛才我們熱身助學中哪題接近？大家先思考1分鐘，再討論交流1分鐘后，老師再請一位同學來說題。請一位同學去黑板上板書解法，如果發(fā)現(xiàn)有不同的解法，也可以請第二種解法的同學上黑板板書解法。設計意圖：通過此例題的研學，讓學生明白此題中點的解題重點就是畫出全等三角形，我們是把線段繞著中點旋轉180o（中心對稱）得出全等圖形的，其本質就是中心對稱。證法一：如圖，延長AD到G，使得DG=AD．在△ADC和△GDB中，AD＝GD∠ADC＝∠GDBCD＝BD，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠AEF=∠CAD，∵∠AEF=∠BEG，∴∠CAD=∠BEG，∴∠G=∠BEG，∴BG=BE，∵AC=BG，∴AC=BE．證法二：如圖，延長ED到H，使得DH=ED．在△BDE和△CDH中，ED＝HD∠BDE＝∠CDHBD＝CD，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH且∠BED=∠H∵∠AEF=∠BED，∴∠G=∠AEF，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AC=CH，∵BE=CH，∴AC=BE．把兩種常見的解法板書出來，讓學生對比后，更加理解解法的實質就是中心對稱。例2：如圖6，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于點D，E是AB中點，AC=15，BC=27，則DE=。解：如圖，延長AD交BC于F，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC，在△ACD和△FCD中，∠ACD＝∠FCDCD＝CD∠ADC＝∠FDC∴△ACD≌△FCD（ASA）∴AC=CF，AD=DF，∵BC=27，AC=15，∴BF=27-15=12，∵E是AB的中點，∴DE是△ABF的中位線，∴DE=BF=×12=6．【教學目的】通過這個環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了學生的觀察和對比分析能力。上課時讓學生觀察圖形，從熱身助學中尋找解題策略，要讓學生體會數(shù)學解題的關鍵點——中點，對比中點策略中哪種方式能解決問題，從而讓學生體驗解決數(shù)學問題的樂趣，從而提高學生學習數(shù)學的興趣。第三環(huán)節(jié)感悟促學【教學內容】練習1.如圖7，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，連接BE并延長交AC于點F，DG是△BCF的中位線，求證：AF＝FC．圖7圖7練習2．如圖8，在△ABC中，點M是邊BC的中點，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延長線交AC于點E，AB＝12，AC＝20．則DM=．圖8圖8【教學目的】通過感悟促學這個環(huán)節(jié)來鞏固例題的解法，讓學生進一步掌握中線倍長和三角形中位線的解法，實現(xiàn)了從感性認識到理性認識的升華。第四環(huán)節(jié)課堂小結本節(jié)課我們探討了線段中點的解題策略，我們來共同總結一下：【教學目的】教師鼓勵學生交流課堂實踐的經(jīng)歷、感受和收獲；培養(yǎng)學生的歸納能力，使學生形成完整的知識結構，培養(yǎng)學生的自我評價能力、反思意識及總結能力?！咀⒁馐马棥繉W生們暢所欲言自己的收獲，老師對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵，及時引導學生歸納總結本節(jié)的知識。第五環(huán)節(jié)課堂檢學【教學內容】1．（2019年寶安）如圖9，在?ABCD中，AC⊥BD于點O，點E為BC中點，連接OE，OE＝，則?ABCD的周長為。圖9圖10圖112．（2019年寶安）如圖10，在△ABC中，點D為BC的中點，連接AD，過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，下列說法錯誤的是（）A．△ABD≌△ECD B．連接BE，四邊形ABEC為平行四邊形C．DA＝DE D．CE＝CA3．（2018年寶安）如圖11，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和點B為圓心以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N點，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，若AC＝3，BC＝4，則BE=?！窘虒W目的】通過課堂檢學了解本節(jié)課的學習效果，要注意有些同學第3題因為要使用三角形勾股定理的計算，可能計算能力差會算錯，或者由于計算原因而影響正確答案。第六環(huán)節(jié)家庭作業(yè):如圖11，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則△EBC的周長為厘米．2、如圖12，在△ABC中，點D、E分別是BC、AB的中點，若△AED的面積為3，則△ABC的面積為。圖11圖12圖133、如圖13，等腰△ABC的底邊長為5，面積是15．腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于