統(tǒng)計(jì)學(xué)計(jì)算題

2005年北京市職工平均工資為32808元，標(biāo)準(zhǔn)差為3820元?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，測(cè)定2006年樣本平均工資為33400元。按照5%的顯著性水平判斷該市2006年的職工平均工資與2005有無顯著差異？示例2管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics解答管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics在本例題中，我們關(guān)心的是前后兩年職工的平均工資有沒有顯著的差異，不涉及差異的方向，因此，本題屬于雙側(cè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：H0:m=32808；H1:m≠32808；（2）總體標(biāo)準(zhǔn)差s已知，大樣本抽樣，故選用Z統(tǒng)計(jì)量；（3）顯著性水平a=0.05，由雙側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值：。判斷規(guī)則為：若z>1.96或z<-1.96，則拒絕H0；若-1.96≤z≤1.96，則不能拒絕H0。（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的值（5）檢驗(yàn)判斷：由于，落在拒絕域，故拒絕原假設(shè)H0。結(jié)論：以5%的顯著性水平可以認(rèn)為該市2006年的職工平均工資比2005年有明顯的差異。已知某電子產(chǎn)品的使用壽命服從正態(tài)分布，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，其平均使用壽命為8000小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為370小時(shí)?，F(xiàn)采用新的機(jī)器設(shè)備進(jìn)行生產(chǎn)，隨機(jī)抽取了100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，得到樣本均值為7910小時(shí)。試問在5%的顯著性水平下，新的機(jī)器是否合格？示例3北京理工大學(xué)Beijinginstituteoftechnology管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics解答管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics這是一個(gè)左單側(cè)檢驗(yàn)問題。抽樣的目的是為了檢測(cè)新機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品的使用壽命是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，我們比較關(guān)心的是使用壽命的下限，如果新產(chǎn)品的使用壽命與過去相比沒有明顯降低，則說明所使用的新機(jī)器合格；反之，則說明新機(jī)器不合格。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：H0:m≥8000；H1:m<8000；（2）總體標(biāo)準(zhǔn)差s已知，大樣本抽樣，故選用Z統(tǒng)計(jì)量；（3）顯著性水平a=0.05，由單側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的值：（5）檢驗(yàn)判斷：由于，落在拒絕域；故拒絕原假設(shè)H0。即認(rèn)為產(chǎn)品的使用壽命有明顯降低，新機(jī)器不合格。某乳制品廠生產(chǎn)的一種盒裝鮮奶的標(biāo)準(zhǔn)重量是495克。為了檢測(cè)產(chǎn)品合格率，隨機(jī)抽取100盒鮮奶，測(cè)得產(chǎn)品的平均重量為494克，標(biāo)準(zhǔn)差為6克，試以5%的顯著性水平判斷這批產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格。示例4管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics解答管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)重量是495克，過輕或者過重都不符合產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：H0:m=495；H1:m≠495；（2）總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知，但是由于大樣本抽樣，故仍選用Z統(tǒng)計(jì)量（3）顯著性水平a=0.05，由雙側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的值，式中用s代替s：（5）檢驗(yàn)判斷：由于，落在接受域；故不能拒絕原假設(shè)H0，即不能說明這批產(chǎn)品的不符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。沿用例4，對(duì)鮮奶產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，隨機(jī)抽取10盒產(chǎn)品，測(cè)得每盒重量數(shù)據(jù)如下（單位：克）：496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。試以5%的顯著性水平判斷這批產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格。示例5管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics解答根據(jù)前面的分析，本例題為雙側(cè)檢驗(yàn)問題。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：H0:m=495；H1:m≠495；（2）總體標(biāo)準(zhǔn)差s未知，小樣本抽樣，故仍選用t統(tǒng)計(jì)量；（3）當(dāng)a=0.05，自由度n-1=9時(shí)，由雙側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值：；計(jì)算得：。（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的值：（5）檢驗(yàn)判斷：由于，落在接受域；故不能拒絕原假設(shè)H0，即不能說明這批產(chǎn)品不符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。瑜伽和舍賓是近年來流行的休閑健身方式，某健身俱樂部對(duì)這兩種方式的減肥瘦身效果進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示：在參加為期一個(gè)月的健身班后，瑜伽班成員的減重量標(biāo)準(zhǔn)差為0.75千克；舍賓班的減重量標(biāo)準(zhǔn)差為0.95千克?，F(xiàn)從兩個(gè)健身班中各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，樣本量分別為n1=40，n2=35，瑜伽班的平均減重量為=2.35千克，舍賓班的平均減重量為=2.70千克。試以5%的顯著性水平判斷兩種健身方式在減肥瘦身效果上是否有顯著差別？示例10管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics解答管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics由于檢驗(yàn)兩種健身方式在減肥效果上是否有顯著差別，沒有涉及方向，故本例是雙側(cè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：（2）兩個(gè)總體標(biāo)準(zhǔn)差s均已知，大樣本抽樣，選用Z統(tǒng)計(jì)量；（3）顯著性水平a=0.05，由雙側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值：（4）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：（5）檢驗(yàn)判斷：由于，落在接受域，故不能拒絕原假設(shè)；即不能認(rèn)為兩種健身方式在減肥效果上有顯著差別。從瑜伽班和舍賓班中分別隨機(jī)抽取10名和15名成員進(jìn)行體重減輕量的調(diào)查，得到如下結(jié)果（單位：千克）。示例11管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics瑜伽2.153.252.21.051.452.753.51.9522.05舍賓2.753.251.953.252.853.452.51.9532.23.54.252.053.80.5試以5%的顯著性水平，判斷兩種健身方式在減肥瘦身效果上是否有顯著差別？解答管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics本例是雙側(cè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：（2）由于是小樣本，兩個(gè)總體方差未知，且無法判斷是否成立，故選用t統(tǒng)計(jì)量，其自由度為f；（3）計(jì)算得：（4）由t分布表可查知：（5）樣本統(tǒng)計(jì)量t值：（6）檢驗(yàn)判斷：由于，落在接受域，故不能拒絕原假設(shè)；即不能認(rèn)為兩種健身方式在減肥效果上有顯著差別。沿用引例。主管經(jīng)理估計(jì)25-35歲的會(huì)員占總?cè)藬?shù)的70%，隨機(jī)抽取40人，調(diào)查得知其中25-35歲的會(huì)員占74%。試以5%的顯著性水平判斷主管經(jīng)理的估計(jì)是否準(zhǔn)確？示例6（雙側(cè)）解答管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics根據(jù)前面的分析，本例題為雙側(cè)檢驗(yàn)問題。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：（2）樣本比例p=0.74；（3）顯著性水平a=0.05，由雙側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值：Za/2=1.96；（4）由于是大樣本抽樣，樣本統(tǒng)計(jì)量Z值為：（5）檢驗(yàn)判斷：由于，即Z

的值落入接受域，故不能拒絕原假設(shè)；即不能認(rèn)為主管經(jīng)理的估計(jì)錯(cuò)誤。某電子產(chǎn)品廠商對(duì)兩條流水線上生產(chǎn)的同種產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如下： A流水線：抽樣檢測(cè)產(chǎn)品100個(gè)，合格92個(gè)； B流水線：抽樣檢測(cè)產(chǎn)品80個(gè)，合格76個(gè)；能否根據(jù)上述檢測(cè)結(jié)果，以5%的顯著性水平判斷流水線B的合格率比流水線A的合格率高？示例7（單側(cè)）管理統(tǒng)計(jì)學(xué)Managementstatistics解答根據(jù)前面的分析，本例題為單側(cè)檢驗(yàn)問題。檢驗(yàn)過程如下：（1）提出假設(shè)：（2）樣本比例p1=0.92，p2=0.95；（3）顯著性水平a=0.05，由左單側(cè)檢驗(yàn)，查表可以得出臨界值：Za=-1.645；（4）樣本統(tǒng)計(jì)量Z值為：（5）檢驗(yàn)判斷：由于，即Z的值落入接受域，故不能拒絕原假設(shè)；即不能認(rèn)為流水線B的產(chǎn)品合格率高于流水線A的?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)

（正態(tài)總體：實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，82)，x＝78,n=10,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證2000級(jí)同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)在73.04～82.96分之間【例】假定2000級(jí)“統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用”考試成績(jī)服從正態(tài)分布，從2000級(jí)同學(xué)中隨機(jī)抽取10個(gè)同學(xué)，計(jì)算其平均成績(jī)?yōu)?8分。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差

=8分，試估計(jì)全部2000級(jí)同學(xué)的平均成績(jī)，給定置信水平為0.95?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)

（實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以95％的概率保證總體均值在46.69～53.30之間【例】從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，n=25

，其均值`x=

50

，標(biāo)準(zhǔn)差s=8。建立總體均值m

的95%的置信區(qū)間?？傮w比例的置信區(qū)間

（實(shí)例）解：已知n=200，＝0.7,n=140>5,n(1-)=60>5，=0.95，Ｚ/2=1.96p

p

p

我們可以95％的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在63.6%~76.4%之間【例】某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選取了200人組成一個(gè)樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪問時(shí)，有140人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對(duì)由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。樣本容量的確定

（實(shí)例）解:已知2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，=500

應(yīng)抽取的樣本容量為【例】一家廣告公想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計(jì)處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？總體均值的區(qū)間估計(jì)

（正態(tài)總體：實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，82)，x＝78,n=10,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證2000級(jí)同學(xué)的平均分?jǐn)?shù)在73.04～82.96分之間【例】假定2000級(jí)“統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)與應(yīng)用”考試成績(jī)服從正態(tài)分布，從2000級(jí)同學(xué)中隨機(jī)抽取10個(gè)同學(xué)，計(jì)算其平均成績(jī)?yōu)?8分。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差

=8分，試估計(jì)全部2000級(jí)同學(xué)的平均成績(jī)，給定置信水平為0.95。樣本容量的確定

（實(shí)例）【例】一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有彩色電視機(jī)的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)比例p的估計(jì)誤差不超過0.05，要求的可靠程度為95%，應(yīng)抽多大容量的樣本（沒有可利用的p估計(jì)值）。解:

已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，當(dāng)p未知時(shí)用最大方差0.25代替^

應(yīng)抽取的樣本容量為兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】某飲料公司對(duì)其所做的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行了比較，它們從兩個(gè)城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個(gè)成年人，其中看過廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過廣告的比例之差的95%的置信區(qū)間。^^綠色健康飲品1. 假定條件兩個(gè)總體是獨(dú)立的兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似2. 兩個(gè)總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）P1-P2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

p1=0.18，p2=0.14，1-=0.95，n1=n2=1000^