郭中珍 232等腰三角形的判定

三角形本章內(nèi)容第2章

等腰三角形的判定本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.3

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關系嗎？學習目標：1、知識與技能目標：進一步熟悉等腰三角形的判定定理及其應用;能綜合應用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理解決問題;歸納出遇有角平分線和平行線這一類題的解題規(guī)律;培養(yǎng)學生多題歸一，善于思考本質(zhì)的能力.2、過程與方法目標：通過學生的分析問題，引導學生歸納出遇有角平分線和平行線這一類題的思考方向;使學生在游泳中學會游泳，在解題中學會解題.3、情感與態(tài)度目標：學生通過積極參與分析，使學生體驗到學習知識的樂趣，思考的魅力.學習重點：等腰三角形的判定的應用;對一類數(shù)學問題的解題方法歸納.學習難點：培養(yǎng)善于歸納這類問題的意識。閱讀課本P63-64的內(nèi)容:1.通過完成探究的內(nèi)容,感性認識等腰三角形的判定定理.2.結合P64的例2，掌握用等腰三角形判定定理做證明題.閱讀課本P64-65的內(nèi)容:1.結合三角形內(nèi)角和定理,正確理解等邊三角形的判定定理.2.結合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,正確說明等邊三角形的判定定理.閱讀課本P65例3的內(nèi)容:1．運用等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理來解決幾何問題.2.在例3證明過程中補上每一步的依據(jù).在一般的三角形中,如果有兩個角相等,那么它們所對的邊有什么關系?即：若△ABC中,∠B=∠C,則AB與AC有什么關系？數(shù)學符號表示：探究閱讀課本P63-64的內(nèi)容:1.通過完成探究的內(nèi)容,感性認識等腰三角形的判定定理.2.結合P64的例2，掌握用等腰三角形判定定理做證明題.一自主解讀探究：我測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm猜測，如果一個三角形有兩個角相等，則這兩個角所對的邊也相等.量一量如圖，在△ABC中，∠B＝∠C作∠BAC的平分線l交BC于D，則∠1＝∠2，又∠B＝∠C，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得∠ADB＝∠ADC，有兩個角相等的三角形是等腰三角形．在一個三角形中，相等的角所對的邊相等，相等的邊所對的角也相等，簡稱為“等角對等邊，等邊對等角”.ABCD12沿直線AD折疊，由于∠ADB＝∠ADC，∠1＝∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合，從而點B與點C重合，因此AB＝AC．證一證求證：如果一個三角形有兩個角相等，則這兩個角所對的邊也相等.學生代表上臺展示結論有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）.舉例例1

已知：如圖,在△ABC中,

AB=AC,點D,

E分別是AB,AC上的點,且DE∥BC.求證：△ADE為等腰三角形.證明∵AB=AC，（）∴∠B=∠C.（）又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.（

）∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.（）二學以致用合作解讀探究：練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，（）又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.（）練習2、已知：如圖,在等邊三角形ABC的AC邊上的取中點D,BC的延長線上取一點E,使得CE=CD.求證：BD=DE.證明：

∵△ABC是等邊三角形,D是AC中點

∴∠ACB=60°,∠CBD=30°∵CD=CE∴∠E=∠CDE

∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°∴∠E=30°=∠CBD

∴BD=DE等邊對等角一、基礎回顧1.（2008年沈陽市）若等腰三角形中有一個外角等于70°，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為

.35°2.（2008年甘肅省白銀市）已知等腰三角形的一條腰長是5，底邊長是6，則它底邊上的高為

．43.（2008年龍巖市）如圖，∠A=36°，∠DBC=36°,∠C=72°,找出圖中的一個等腰三角形，并給予證明.我找的等腰三角形是

.△ABC,△BCD,△DABBCDAD┓三線合一（36°36°（（72°等角對等邊┓E4.（2008年新泰市）下面給出的幾種三角形，不一定是等邊三角形的是（）A.有2個角為60°的三角形B.三個外角都相等的三角形C.一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形D.有一個角為60°的等腰三角形C等邊三角形的判定二、拓展提高1.已知一個等腰三角形腰上的高與另一腰的夾角為45°，頂角的度數(shù)為

.2.等腰三角形中一腰上的中線把三角形的周長分為21cm和12cm兩部分，則腰長為（）.A.8cmB.14cm或15cmC.8cm或14cmD.14cm45°或135°DDCAB┏ABCDB┓ACDxx2x3.如圖，BO平分∠CBA,CO平分∠ABC,且MN//BC,設AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周長.1ABCMNO練習已知：如圖，在△ABC中，點D是BC上的一點，點E是AD上的一點，且EB=EC，∠ABE=∠ACE.求證：∠BAE=∠CAE拓展提升2.如圖，在網(wǎng)格中有一個直角三角形（網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1個單位長度），若以該三角形一邊為公共邊畫一個新三角形與原來的直角三角形一起組成一個等腰三角形，要求新三角形與原來的直角三角形除了有一條公共邊外，沒有其它的公共點，新三角形的頂點不一定在格點上，那么符合要求的新三角形有（）A．4個B．6個C．7個D．9個拓展提升C3.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則（1）θ1=

；（2）θn=

．拓展提升閱讀課本P64-65的內(nèi)容:1.結合三角形內(nèi)角和定理,正確理解等邊三角形的判定定理.2.結合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,正確說明等邊三角形的判定定一自主解讀探究：三個角都是60o的三角形是等邊三角形．三邊相等的三角形，叫作等邊三角形.探究我們知道等腰三角形的兩底角相等，那么等邊三角形的三個內(nèi)角是否相等呢？因為△ABC是等邊三角形，所以AB＝AC＝BC從而∠B＝∠C＝∠A．再由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得：∠A＝∠B＝∠C＝60o因此，等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于60o.反過來，我們?nèi)菀椎贸觯篈BC二合作交流，解讀探究：結論由此并且結合三角形內(nèi)角和定理,還可以得到等邊三角形的判定定理：三個角都是60°的三角形是等邊三角形.有一角等于60o的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？①△ABC

AB=AC如果如果底角∠B=60°由AB=AC

得∠C＝60°由三角形內(nèi)角和得∠A=180°－(∠B+∠C)=60°所以AB=AC=BC②如果頂角∠A=60°因為AB=AC所以∠B=∠C由三角形內(nèi)角和定理得∠A=∠B=∠CABC所以AB=AC=BC二知識延伸合作交流，解讀探究：動腦筋結論有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.圖形性質(zhì)判定等腰三角形等邊三角形B ACDABC兩腰相等等邊對等角三線合一軸對稱圖形兩邊相等等角對等邊三邊相等三角相等三線合一軸對稱圖形三邊相等三角相等有一個角是60°的等腰三角形例2已知：如圖,△ABC

是等邊三角形,點D,

E

分別在BA,CA的延長線上,且AD=AE.求證：△ADE是等邊三角形.舉例∵△ABC是等邊三角形，二學以致用合作解讀探究：證明∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，（）又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（）.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形因此△ADE是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）

變式練習如圖，△ABC是等邊三角形，DE//BC，交AB，AC于D，E，試問△ADE是等邊三角形嗎？為什么？因為△ABC是等邊三角形，所以∠A＝∠B＝∠C（等邊三角形各角相等）因為DE//BC，所以∠1＝∠B，∠2＝∠C（兩直線平行，同位角相等）．所以∠A＝∠1＝∠2.ABCDE12解2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長線于點E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，（）∴∠ACD=∠DCB，（）∴∠ACD=∠DCB=60°（）又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.（）練習3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，練習4、已知，AC=AD,∠ACB=∠ADB,求證：BC=BDABCD練習鞏固與提高2.已知：如圖，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED.求證：△DEC為等邊三角形.

鞏固與提高3.已知：如圖，△ABC是等邊三角形,點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA的中點.求證：△DEF是等邊三角形.鞏固與提高4.上午10時,一艘船從A處出發(fā)以每小時20海里的速度向正北航行,中午12時到達B處.從A,B兩點觀望燈塔C,測得∠DAC=40°,∠DBC=80°,求從B處到燈塔C的距離.鞏固與提高5如圖，⊿ABC中,∠ACB的平分線交AB于點E,過點E作FE//BC,交AC于點O,交∠ACD的平分線于點F,求證：EO=FO.證明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵EF∥BC,∴∠2=∠5，∠3=∠6,∴∠1=∠5，∠4=∠6,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.鞏固與提高已知，如圖在等腰△ABC中，AB=AC，O是底邊BC的中點，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.（1）OD與OE有什么數(shù)量關系；ADCBEO┏┓三、合作探究M┏（2）若BM是一腰上的高，BM與OD，OE有什么數(shù)量關系，請說明理由.證明：變式：已知，如圖（2），（3）在等腰△ABC