量子6薛定諤方程

§2-1薛定諤方程

薛定諤提出波函數(shù)所滿足的微分方程，用來處理低速實(shí)物粒子的運(yùn)動(dòng)問題。以薛定諤方程為基礎(chǔ)建立起來的理論體系，稱為量子力學(xué)。一、薛定諤方程的引入●一維運(yùn)動(dòng)自由粒子含時(shí)的薛定諤方程：非相對論動(dòng)能和動(dòng)量的關(guān)系即是一維運(yùn)動(dòng)自由粒子含時(shí)的薛定諤方程●勢場中一維運(yùn)動(dòng)非自由粒子含時(shí)的薛定諤方程：勢場中粒子的能量即為勢場中一維運(yùn)動(dòng)非自由粒子含時(shí)的薛定諤方程●粒子三維空間運(yùn)動(dòng)的一般薛定諤方程：將勢場中一維運(yùn)動(dòng)非自由粒子含時(shí)的薛定諤方程推廣到三維情況。其中，梯度符號拉普拉斯算符令：哈密頓算符一般的薛定諤方程：量子力學(xué)處理微觀粒子運(yùn)動(dòng)問題的一般方法：

只要知道粒子的質(zhì)量和它在勢場中的勢能函數(shù)的具體形式，就可寫出其薛定諤方程，再根據(jù)初值條件和邊值條件求解，得到描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，其絕對值的平方就給出粒子在不同時(shí)刻不同位置處出現(xiàn)的概率密度。二、定態(tài)不含時(shí)間的薛定諤方程所謂定態(tài)，即原子系統(tǒng)處于一系列不連續(xù)的能量狀態(tài)，此狀態(tài)下，電子能量狀態(tài)穩(wěn)定，不輻射能量，此原子系統(tǒng)處于定態(tài)。穩(wěn)定原子內(nèi)部的電子一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)都是定態(tài)，粒子在空間分布一定，各種平均值一定。顯然，E具有能量的量綱波函數(shù)可以寫成定態(tài)：能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。定態(tài)薛定諤方程解得波函數(shù)為概率密度：與時(shí)間無關(guān)，這樣的態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)波函數(shù)描述的粒子具有的性質(zhì)：1、粒子在空間各處的概率密度不隨時(shí)間變化。即分布一定。2、一切力學(xué)量（不含時(shí)間t）的平均值不變。一般，只有當(dāng)薛定諤方程中總能量E具有某些特定值時(shí)才有解。這些E值叫做能量的本征值。相應(yīng)的波函數(shù)稱為本征解或本征函數(shù)。顯然，穩(wěn)定原子內(nèi)部的電子、一維自由粒子都是定態(tài)?！?-2勢阱中的粒子一維定態(tài)一維無限深勢阱問題——理想模型V(x)xoa設(shè)粒子質(zhì)量為m。勢函數(shù)：定態(tài)薛定諤方程：～（1）

x<0,x>a時(shí)～～～通解：令：一維定態(tài)當(dāng)x≥a時(shí)，V

當(dāng)

時(shí)，要求A=0當(dāng)x≤0時(shí)，V

當(dāng)

時(shí)，要求B=0結(jié)論：

x<0，x>a的區(qū)域粒子出現(xiàn)的概率為零。邊值條件：（2）～0<x<a時(shí),V=0～～通解：由波函數(shù)連續(xù)性要求：～～～歸一化條件：

En稱為本問題中能量E的本征值。n相當(dāng)于玻爾理論中的量子數(shù)?！玍(x)xoaE1E3E2E4本征函數(shù)：本征值：V(x)xoaE1E3E2E4V(x)xoaE1E3E2E4一維勢阱中粒子運(yùn)動(dòng)的特征：1、粒子能量是量子化的。稱n為粒子能量的量子數(shù)。2、粒子的最小能量不等于零。

經(jīng)典認(rèn)為粒子的能量可以為零。3、粒子在勢阱中出現(xiàn)的概率不均勻。經(jīng)典認(rèn)為勻速運(yùn)動(dòng)粒子應(yīng)該在各處均勻出現(xiàn)。4、薛定諤方程的解為駐波形式，即粒子的物質(zhì)波在勢阱中形成駐波。阱壁處為波節(jié)，粒子概率為零?！?-3

勢壘和隧道效應(yīng)一、粒子進(jìn)入勢壘二、有限寬勢壘和隧道效應(yīng)三、隧道效應(yīng)的應(yīng)用ψ2ψ1透射?反射入射1.勢函數(shù)

討論入射能量E<U0情況xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

一、粒子進(jìn)入勢壘

U(x)=

U0íì?0x<0x>

0I區(qū)令2.定態(tài)薛定諤方程xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

方程為II區(qū)令>3.薛定諤方程通解通解通解波動(dòng)形式指數(shù)增加和衰減考慮物理上的要求當(dāng)x

時(shí)2(x)應(yīng)有限所以D

=0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0

4.概率密度

(x

>0區(qū))x>0區(qū)(E<U0)粒子出現(xiàn)的概率

0U0

x

概率

本征波函數(shù)概率密度經(jīng)典：電子不能進(jìn)入E<U的區(qū)域(因動(dòng)能

0)量子：電子可透入勢壘

若勢壘寬度不大則電子可逸出金屬表面在金屬表面形成一層電子氣EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0二、有限寬勢壘和隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)EΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)x=aΨ3隧道效應(yīng)EΨ1Ψ20aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)Ψ3振幅為

波穿過勢壘后將以平面波的形式繼續(xù)前進(jìn)()稱為勢壘穿透或隧道效應(yīng)經(jīng)典量子隧道效應(yīng)1.穿透系數(shù)穿透系數(shù)會(huì)下降6個(gè)數(shù)量級以上當(dāng)勢壘寬度

a約50nm以上時(shí)此時(shí)量子概念過渡到經(jīng)典量子物理：粒子有波動(dòng)性遵從不確定原理粒子經(jīng)過II區(qū)和能量守恒并不矛盾只要?jiǎng)輭緟^(qū)寬度x=a不是無限大粒子能量就有不確定量Ex=a很小時(shí)

P和E很大2.怎樣理解粒子通過勢壘區(qū)經(jīng)典物理：從能量守恒的角度看是不可能的三、隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道二極管金屬場致發(fā)射核的衰變…1.核的衰變UTh+He2382344粒子怎么過去的呢?通過隧道效應(yīng)出來的對不同的核算出的衰變概率和實(shí)驗(yàn)一致rRU35MeV4.25MeV0<<勢壘高度2.掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明

用于觀察表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）原理：利用量子力學(xué)的隧道效應(yīng)1986.Nob：魯斯卡（E.Ruska）

1932發(fā)明電子顯微鏡賓尼（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STMU0U0U0ABdE電子云重疊隧道電流iABUd探針樣品A——常量——樣品表面平均勢

壘高度（~eV）d~10A。d變

i變反映表面情況隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖某種型號的掃描隧道顯微鏡基于STM工作原理或掃描成像方法的派生顯微鏡系列原子力(AFM)磁力分子力顯微鏡等等

用AFM得到的癌細(xì)胞的表面圖象“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮P.98圖4-8操縱原子不是夢“原子書法”

1994年中國科學(xué)院科學(xué)家“寫”出的平均每個(gè)字的面積僅百萬分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮插頁彩圖13