數(shù)字測(cè)圖-測(cè)量誤差基本知識(shí)

第3章測(cè)量誤差基本知識(shí)3.1

測(cè)量誤差概述一、測(cè)量誤差1.測(cè)量誤差（ObservationMagementError）觀測(cè)量的觀測(cè)值與其真值之差，包括觀測(cè)誤差和模型誤差。

觀測(cè)誤差：觀測(cè)值發(fā)生的偏差。

模型誤差：數(shù)學(xué)模型不恰當(dāng)而導(dǎo)致待求量發(fā)生的偏差。如：二、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因1.儀器的原因（InstrumentalErrors）每一種測(cè)量?jī)x器具有一定的精確度，使測(cè)量結(jié)果受到一定的影響。另外，儀器結(jié)構(gòu)的不完善，也會(huì)引起觀測(cè)誤差。2.觀測(cè)者的原因（PersonalErrors）由于觀測(cè)者的感覺(jué)器官的辨別能力存在局限性，在儀器對(duì)中、整平、瞄準(zhǔn)、讀數(shù)等操作時(shí)都會(huì)產(chǎn)生誤差。3.外界環(huán)境的影響（NaturalErrors）

測(cè)量作業(yè)環(huán)境的溫度、氣壓、濕度、風(fēng)力、日光照射、大氣折光、煙霧等客觀情況時(shí)刻在變化，使測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生誤差。例如，溫度變化使鋼尺產(chǎn)生伸縮，風(fēng)吹和日光照射使儀器的安置不穩(wěn)定，大氣折光使望遠(yuǎn)鏡的瞄準(zhǔn)產(chǎn)生偏差等。

三、測(cè)量誤差的分類與處理原則

1.

系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。如：測(cè)距儀的固定誤差和比例誤差等。系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響具有累積性，因而對(duì)成果質(zhì)量的影響也特別顯著。但由于它具有規(guī)律性，可采用下列方法消除或削弱其影響：計(jì)算改正數(shù)。采用一定的觀測(cè)方法。2.

偶然誤差（AccidentError，&RandomError）

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個(gè)誤差看，其大小和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。如讀數(shù)誤差、照準(zhǔn)誤差等。

偶然誤差是不可避免的，且具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，可應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法加以處理。

3.

粗差（Blunder,&GrossError）

觀測(cè)數(shù)據(jù)中存在的錯(cuò)誤，稱為粗差。是由于作業(yè)人員的粗心大意或各種因素的干擾造成的，如瞄錯(cuò)目標(biāo)、讀錯(cuò)大數(shù)，光電測(cè)距、GPS測(cè)量中對(duì)載波信號(hào)的干擾等。

粗差必須剔除，而且也是可以剔除的。

4.

誤差處理原則

在進(jìn)行觀測(cè)數(shù)據(jù)處理時(shí)，按照現(xiàn)代測(cè)量誤差理論和測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法，可以消除或減弱系統(tǒng)誤差的影響；探測(cè)粗差的存在并剔除之；對(duì)偶然誤差進(jìn)行適當(dāng)處理，求以得被觀測(cè)量的最可靠值。四、偶然誤差的特性

設(shè)某一量的真值為X，在相同的觀測(cè)條件下對(duì)此量進(jìn)行n次觀測(cè)，得到的觀測(cè)值為l1，l2，…，ln

，在每次觀測(cè)中產(chǎn)生的誤差（又稱“真誤差”）為Δ1，Δ2，…Δn，則定義

單個(gè)偶然誤差：其符號(hào)和數(shù)值沒(méi)有任何規(guī)律性。大量偶然誤差：就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶然性下面的必然規(guī)律。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的數(shù)量越大，規(guī)律性也越明顯。實(shí)例

在某一測(cè)區(qū)，在相同的觀測(cè)條件下共觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，觀測(cè)值為。

將它們分為負(fù)誤差和正誤差，按誤差絕對(duì)值由小到大排列次序。以誤差區(qū)間dΔ=3″進(jìn)行誤差個(gè)數(shù)k的統(tǒng)計(jì)，并計(jì)算其相對(duì)個(gè)數(shù)k／n（n＝358），k／n稱為誤差出現(xiàn)的頻率。

誤差區(qū)間dΔ"負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000

由此，可以歸納出偶然誤差的特性如下：界限性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。聚中性：絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差具有大致相等的出現(xiàn)頻率。抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值趨近于零，即：由上圖可以看出：偶然誤差的出現(xiàn)符合正態(tài)分布，其分布曲線的方程式為：

+3+6+9+12+15+18+21+24X=Δ-24-21-18-15-12-9-6-30式中，參數(shù)σ為觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。從中可以看出正態(tài)分布具有偶然誤差的特性。即

f(△)是偶函數(shù)，即絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差求得的f(△)相等，故曲線對(duì)稱于縱軸。

△越小，f(△)越大；△越大，f(△)越小。當(dāng)△=0時(shí)，f(△)最大，其值為當(dāng)次序第一組觀測(cè)第二組觀測(cè)

觀測(cè)值

(°ˊ")真誤差Δ"觀測(cè)值(°ˊ")真誤差Δ"１1800003-318000000２1800002-21795959+1３1795958+21800007-7４1795956+41800002-2５1800001-11800001-1６180000001795959+1７1800004-41795952+8８1795957+318000000９1795958+21795957+3１０1800003-31800001-13.2

衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)

一、精度（Precision）

測(cè)量值與其真值的接近程度準(zhǔn)確度（Accuracy）：表示測(cè)量結(jié)果與其真值接近程度的量。反映系統(tǒng)誤差的大小。精密度（Precision

）：表示測(cè)量結(jié)果的離散程度。反映偶然誤差的大小量。二、衡量精度的指標(biāo)

1.中誤差（rootmeansquareerror）

根據(jù)偶然誤差概率分布規(guī)律，以標(biāo)準(zhǔn)差σ為標(biāo)準(zhǔn)衡量在一定觀測(cè)條件下觀測(cè)結(jié)果的精度是比較合適的。在測(cè)量中定義：按有限次觀測(cè)的偶然誤差求得的標(biāo)準(zhǔn)差為中誤差，用m表示，即兩組觀測(cè)值的誤差之和絕對(duì)值相等m1<m2，第一組的觀測(cè)成果的精度高于第二組觀測(cè)成果的精度次序第一組觀測(cè)第二組觀測(cè)

觀測(cè)值真誤差Δ"Δ２觀測(cè)值真誤差Δ"Δ２１180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"00２180°00ˊ02"-24179°59ˊ59"+11３179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-749４179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-24５180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-11６180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+11７180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+864８179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"00９179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01"-11Σ|

|247224130中誤差

-σ2-σ1

+σ1+σ2XY不同中誤差的正態(tài)分布曲線2.相對(duì)誤差（relativeerror）

觀測(cè)值的中誤差與觀測(cè)值之比，一般用分子為1的分式表示。前者的相對(duì)中誤差為0.02／200

＝1／10000，而后者則為0.02／40＝l／2000，顯然前者的量距精度高于后者。

例如：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm,可見其精度相同。3.極限誤差（limiterror）

根據(jù)正態(tài)分布曲線，可以表示出偶然誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ中的概率：根據(jù)上式的積分，可得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率為：

分別以k＝1，2，3代入上式，可得到偶然誤差的絕對(duì)值不大于中誤差、2倍中誤差和3倍中誤差的概率：

由此可見，偶然誤差的絕對(duì)值大于2倍中誤差的約占誤差總數(shù)的5%，而大于3倍中誤差的僅占誤差總數(shù)的0.3%。一般進(jìn)行的測(cè)量次數(shù)有限，2倍中誤差應(yīng)該很少遇到，因此，以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為允許誤差，簡(jiǎn)稱“限差”，即

Δ允＝2m

現(xiàn)行測(cè)量規(guī)范中通常取2倍中誤差作為限差。3.3

誤差傳播定律一、誤差傳播定律觀測(cè)值的誤差對(duì)觀測(cè)值函數(shù)的影響。用觀測(cè)值的中誤差去表征待求量中誤差的數(shù)學(xué)模型，則為中誤差傳播定律。二、線性函數(shù)的中誤差傳播定律設(shè)Xi（i=1,2,

…,n）是一組獨(dú)立觀測(cè)量，而Y是Xi的函數(shù)，即：

式中，系數(shù)ai已知，且假定無(wú)誤差。設(shè)xij是第i個(gè)觀測(cè)量的第j次觀測(cè)值，則按上式求出待定量的計(jì)算值yj為：將（1）式減去（2）式得：

當(dāng)對(duì)Xi各觀測(cè)k次時(shí)，上式將共有k個(gè)，分別將各式兩邊平方，并對(duì)k個(gè)式求其和，再除以觀測(cè)次數(shù)k，考慮到偶然誤差的抵償性，可得：顧及中誤差的定義公式，并設(shè)Xi的中誤差為mi，則可得：三、非線性函數(shù)的中誤差傳播定律

設(shè)有非線性函數(shù)Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,

…,n）為獨(dú)立觀測(cè)量，并設(shè)Xi的中誤差為mi，為此，可先將非線性函數(shù)線性化，然后再按線性函數(shù)處理。

四、誤差傳播定律的應(yīng)用

1.步驟：列出正確的函數(shù)模型注意：模型符合測(cè)量事實(shí)；觀測(cè)量各自獨(dú)立非線性函數(shù)線性化運(yùn)用誤差傳播定律

2.應(yīng)用舉例例1：用尺長(zhǎng)為l的鋼尺丈量距離S，共丈量4個(gè)尺段，設(shè)丈量一個(gè)尺段的中誤差為m，試求S的中誤差。解一：應(yīng)用誤差傳播定律得：

解二：應(yīng)用誤差傳播定律得：由兩種解算方法的結(jié)果可以看出：距離S的中誤差不相等，顯然，解二的數(shù)學(xué)模型是錯(cuò)誤的。例2：設(shè)有函數(shù)。若X、Y為獨(dú)立觀測(cè)量，其觀測(cè)值中誤差為mx、my

，試求U的中誤差。解一：由線性中誤差傳播定律，顯然有：則有：解二：由于應(yīng)用線性函數(shù)中誤差傳播定律，得：即：顯然，這兩種解法中至少有一種解法是錯(cuò)誤的。解法一中由于未考慮觀測(cè)量的獨(dú)立性，顯然是錯(cuò)誤的。例3：設(shè)有函數(shù)若觀測(cè)值d=180.23m，中誤差md=±5cm；δ=61°22′10″，其中誤差為mδ=±20″，試求y的中誤差。解：故有：思考題例4、（1）設(shè)自已知點(diǎn)A向待定點(diǎn)B進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，共觀測(cè)n站。設(shè)每站的觀測(cè)精度相同，其中誤差為m站，試求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。

（2）設(shè)自已知點(diǎn)A向待定點(diǎn)B進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，觀測(cè)路線長(zhǎng)度為S米。設(shè)每千米觀測(cè)高差的中誤差為mkm，試求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。例5、（1）水平角觀測(cè)限差的制定

水平角觀測(cè)的精度與其誤差的綜合影響有關(guān)，對(duì)于J6光學(xué)經(jīng)緯儀來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)時(shí)考慮了有關(guān)誤差的影響，保證室外一測(cè)回的方向中誤差為±6″。實(shí)際上，顧及到儀器使用期間軸系的磨損及其它不利因素的影響，設(shè)計(jì)精度一般小于±6″，新出廠的儀器，其野外一測(cè)回的方向中誤差小于±6″，在精度上有所富裕。

對(duì)于水平角觀測(cè)的精度，通常以某級(jí)經(jīng)緯儀的標(biāo)稱精度作為基礎(chǔ)，應(yīng)用誤差傳播定律進(jìn)行分析，求得必要的數(shù)據(jù)，再結(jié)合由大量實(shí)測(cè)資料經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析求得的數(shù)據(jù)，考慮系統(tǒng)誤差的影響來(lái)確定。下面僅以標(biāo)稱精度為基礎(chǔ)進(jìn)行分析。設(shè)J6經(jīng)緯儀室外一測(cè)回的方向中誤差為：（1）一測(cè)回角值的中誤差（2）半測(cè)回方向值的中誤差（3）歸零差的限差（4）同一方向值各測(cè)回較差的限差（2）設(shè)等精度觀測(cè)n個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，試求測(cè)角中誤差。設(shè)測(cè)角中誤差為m，則根據(jù)誤差傳播定律得：根據(jù)中誤差定義公式可知：上述兩式聯(lián)立求解：3.4等精度觀測(cè)值平差一、等精度觀測(cè)與非等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)

在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的觀測(cè)。由等精度觀測(cè)而獲得的觀測(cè)值稱為等精度觀測(cè)值。非等精度觀測(cè)在不同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的觀測(cè)。由非等精度觀測(cè)而獲得的觀測(cè)值稱為非等精度觀測(cè)值。二、測(cè)量平差由于觀測(cè)結(jié)果不可避免地存在偶然誤差的影響，因此，在實(shí)際工作中，為提高成果質(zhì)量，同時(shí)也為了檢查和及時(shí)發(fā)現(xiàn)觀測(cè)值中的粗差，通常進(jìn)行多余觀測(cè)。（例如：一個(gè)平面三角形，只要觀測(cè)其中的兩個(gè)內(nèi)角，即可確定其形狀，但通常是觀測(cè)三個(gè)內(nèi)角）。

由于偶然誤差的存在，通過(guò)多余觀測(cè)必然會(huì)發(fā)現(xiàn)觀測(cè)結(jié)果不一致。因此，必須對(duì)帶有偶然誤差的觀測(cè)值進(jìn)行處理，使得消除不符值后的結(jié)果，可認(rèn)為是觀測(cè)值的最可靠結(jié)果。由此可知，測(cè)量平差的任務(wù)是：（1）對(duì)一系列帶有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)消除它們之間的不符值，求出未知量的最可靠值。（2）評(píng)定測(cè)量成果的精度測(cè)量平差方法嚴(yán)密平差：所依據(jù)的準(zhǔn)則是建立在嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上。如：間接平差法等（見《測(cè)量平差基礎(chǔ)》）近似平差：所依據(jù)的準(zhǔn)則是建立在近似的理論基礎(chǔ)之上，亦稱簡(jiǎn)易平差。

根據(jù)某一待求量的一系列觀測(cè)值，求出其最佳估值（或最或是值）稱為直接觀測(cè)平差，分為等精度直接觀測(cè)平差和不等精度直接觀測(cè)平差。三、等精度直接觀測(cè)值平差1.算術(shù)平均值原理

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)行n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1，l2,

…，ln，將這些觀測(cè)值取算術(shù)平均值，作為該量的最或是值，即：現(xiàn)用偶然誤差的特性來(lái)證明:設(shè)某一量的真值為X，各次觀測(cè)值為l1，l2,

…，ln

，其相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn，則將上列等式相加，并除以n，得到等式兩端取極限，則由偶然誤差的抵償性，有故可得：2.觀測(cè)值的改正數(shù)及其性質(zhì)觀測(cè)值的最或是值與觀測(cè)值之差，即：將上列等式相加，得

即：一組觀測(cè)值的改正值之和恒等于零。這一特性可以作為計(jì)算中的校核。3.等精度觀測(cè)值的中誤差根據(jù)真誤差計(jì)算等精度觀測(cè)值中誤差由于真值的不可知，導(dǎo)致真誤差的不可知。但是，有時(shí)可將理論值視為真值，例如：三角形內(nèi)角和為180°等。例4：設(shè)等精度觀測(cè)n個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，試根據(jù)三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差。解：三角形閉合差：

根據(jù)中誤差的定義公式得三角形閉合差的中誤差為：

而根據(jù)中誤差傳播定律，可得三角形閉合差的中誤差為：

其中，m為測(cè)角中誤差。將此式代入上式得：

此式即著名的菲列羅公式，通常用于計(jì)算三角測(cè)量的測(cè)角中誤差。但當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)大于20時(shí)，由此公式算出的測(cè)角中誤差才比較可靠。

根據(jù)觀測(cè)值的改正數(shù)計(jì)算其中誤差

設(shè)某量的n個(gè)等精度觀測(cè)值為l1，l2,

…，ln

，其真誤差和改正數(shù)為：于是有：將上列n個(gè)等式兩邊分別平方，并求其和，再除以n，則有：上式中，，考慮到中誤差的定義公式，可得：4.算術(shù)平均值的中誤差

設(shè)觀測(cè)值的中誤差為m，算術(shù)平均值的中誤差為M，則應(yīng)用誤差傳播定律于算術(shù)平均值的計(jì)算公式，則有：

故算術(shù)平均值的中誤差為：例題

對(duì)某一距離，在相同的條件下進(jìn)行6次觀測(cè)，其觀測(cè)值為：120.031m120.025m120.031m119.983m120.047m120.040m試求其最可靠值，并評(píng)定測(cè)量成果的精度。解算見下表:次序觀測(cè)值l（M）Δl（cm）改正值v(cm)vv(mm)計(jì)算x,m1120.031+3.1-1.41.962120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(l0=120.000)10.20.045.26思考題:

今有四個(gè)觀測(cè)小組對(duì)同一個(gè)水平角進(jìn)行觀測(cè)，第一組觀測(cè)2個(gè)測(cè)回，水平角值為l1，第二小組觀測(cè)4個(gè)測(cè)回，水平角值為l2

，第三小組觀測(cè)6個(gè)測(cè)回，水平角值為l3

，第四小組觀測(cè)8個(gè)測(cè)回，水平角值為l4，試計(jì)算其最可靠值，并評(píng)定測(cè)量成果精度。3.5

權(quán)及權(quán)倒數(shù)傳播律一、權(quán)的概念1.權(quán)（weight）

衡量觀測(cè)值（或估值）及其函數(shù)的相對(duì)可靠程度的一種指標(biāo)。通常用P表示。

權(quán)的定義公式為：上式表明：在一組觀測(cè)值中，某觀測(cè)值的權(quán)與其中誤差的平方成反比，而μ2為比例系數(shù)，可任意選取，但對(duì)于同一個(gè)觀測(cè)問(wèn)題，應(yīng)在數(shù)據(jù)處理前確定，并在計(jì)算過(guò)程中保持不變。2.單位權(quán)（unit

weight）

數(shù)值等于1的權(quán)。此時(shí)，有，當(dāng)二者單位相同時(shí)，稱μ為單位權(quán)中誤差。此時(shí)的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值。3.權(quán)的特性權(quán)只能反映觀測(cè)值之間的相對(duì)精度，在反映觀測(cè)值精度時(shí)，起作用的不是權(quán)本身的大小，而是權(quán)之間的比例關(guān)系。權(quán)既可反映同一類量的若干個(gè)觀測(cè)值之間的精度高低，也可反映不同類量的觀測(cè)值之間的精度高低。4.權(quán)的確定根據(jù)權(quán)的定義公式確定權(quán)例1：已知一組角量觀測(cè)值X1、X2、X3的中誤差m1=±2″；m2=±4″；m3=±8″，試求各觀測(cè)值之權(quán)。解一：解二：

由上例可以看出，系數(shù)μ改變，各觀測(cè)值的權(quán)亦改變，但觀測(cè)值之間的權(quán)之比并未改變。

距離測(cè)量中根據(jù)邊長(zhǎng)確定權(quán)例2：按同等精度丈量三條邊長(zhǎng)，得S1，S2，S3，相應(yīng)的長(zhǎng)度為3km，4km，6km。試確定三條邊邊長(zhǎng)觀測(cè)值的權(quán)。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中誤差相同。設(shè)每千米丈量中誤差為mkm，則邊長(zhǎng)Si的中誤差為：將其代入權(quán)的定義公式得：

本例中，取C為12km，則得S1，S2，S3的權(quán)分別為4，3，2。此時(shí)S為12km時(shí)的權(quán)為1。也就意味著，以12km的觀測(cè)為單位權(quán)觀測(cè)，相應(yīng)的權(quán)為單位權(quán)，相應(yīng)的中誤差為單位權(quán)中誤差。由此還可以看出，上式中C的含義就是單位權(quán)觀測(cè)。

水準(zhǔn)測(cè)量中根據(jù)水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度或測(cè)站數(shù)定權(quán)例3：設(shè)一個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)由四條同一等級(jí)的水準(zhǔn)路線所構(gòu)成。設(shè)四條水準(zhǔn)路線的路線長(zhǎng)度為S1=4km，S2=2km，S3=1km，S4=3km，相應(yīng)的測(cè)站數(shù)為n1=50，n2=25，n3=10，n4=40。試分別按路線長(zhǎng)度和測(cè)站數(shù)來(lái)確定這四條水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)。解：由于這四條水準(zhǔn)路線是按同一等級(jí)觀測(cè)的，所以它們每千米觀測(cè)高差中誤差mkm和每測(cè)站觀測(cè)高差中誤差m站均是相同的，則第i條路線觀測(cè)高差的中誤差為：將其代入權(quán)的定義公式得：令則，第i條水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)為：

本例中，當(dāng)按各水準(zhǔn)按路線長(zhǎng)度定權(quán)時(shí)，若取C為12km，則各水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)分別為3，6，12，4；當(dāng)按各水準(zhǔn)路線的測(cè)站數(shù)定權(quán)時(shí)，若取C為100，則各水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)分別為2，4，10，2.5。三、權(quán)倒數(shù)傳播律設(shè)有非線性函數(shù)Y=f（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1,2,

…,n）為獨(dú)立觀測(cè)量，并設(shè)各觀測(cè)值的中誤差及其權(quán)為m1，m2，m3，…，mn和P1，P2，P3，…，Pn。由一般函數(shù)中誤差傳播定律可知