第9章 彎曲變形mc

第9章

梁的彎曲變形與剛度計算

§9–2梁的撓曲線近似微分方程§9-3積分法計算梁的變形§9-5梁的剛度計算及提高梁剛度的措施第9章梁的彎曲變形與剛度計算

§9-1工程中的彎曲變形問題§9-6簡單超靜定梁§9-7梁的彎曲應(yīng)變能§9-4疊加法計算梁的變形彎曲構(gòu)件除了要滿足強度條件外,還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。1.工程中的彎曲變形問題第一節(jié)工程中的彎曲變形問題7-19.1工程實際中的彎曲變形問題度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量:撓度和轉(zhuǎn)角撓度(w):橫截面形心(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度(Deflection)

。yxABCw(撓度)C1轉(zhuǎn)角():橫截面繞中性軸(即Z軸)轉(zhuǎn)過的角度（或角位移）,稱為該截面的轉(zhuǎn)角(Sloperotationangle)

。q(轉(zhuǎn)角)取梁的左端點為坐標(biāo)原點,梁變形前的軸線為x軸,橫截面的鉛垂對稱軸為y軸,xy平面為縱向?qū)ΨQ平面。F第二節(jié)撓曲線的近似微分方程撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定：撓度：在圖示坐標(biāo)系中,向上為正,向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角：

逆時針轉(zhuǎn)向為正,順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)F撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程:式中,x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標(biāo),w為該點的撓度。yxABCw(撓度)C1q(轉(zhuǎn)角)撓曲線F撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：yxABCw(撓度)C1qq(轉(zhuǎn)角)F橫力彎曲時,M和都是x的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為由數(shù)學(xué)關(guān)系知,平面曲線的曲率可寫作由于撓曲線是一條非常平坦的曲線,w'2遠比1小,可以略去不計,于是上式可寫成此式稱為梁的撓曲線近似微分方程。(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve)稱為近似的原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了w'2項。曲線向上凸時：w’’<0,M＜0因此,M與w’’的正負(fù)號相同。MMM＜0w’’<0OxyM＞0w’’>0MM曲線向下凸時：w’’>0,M＞0Oxy再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量,上式可改寫成式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的邊界條件和變形的連續(xù)性條件來確定。第三節(jié)積分法求彎曲變形簡支梁懸臂梁邊界條件(boundarycondition)ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB連續(xù)性條件(Continuitycondition)在撓曲線的任一點上,有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。如:不可能不可能c例1：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角max。ABlxxy解：以梁左端A為原點,取直角坐標(biāo)系,令x軸向右,y軸向上為正。(1)列彎矩方程F(2)列撓曲線近似微分方程并積分

(3)確定積分常數(shù)代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0處,w＝0

在x＝0處,q＝0

ABlxxyF(4)建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程

將求得的積分常數(shù)C1和C2代入式(a)和(b),得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：(5)求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度

自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對值最大。wmaxqmax所得的撓度為負(fù)值,說明B點向下移動;轉(zhuǎn)角為負(fù)值,說明橫截面B沿順時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動。xlABqFAFB例2:圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角max。xy解:

由對稱性可知,梁的兩個支反力為梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為積分兩次xlABqFAFBxy簡支梁的邊界條件是在x＝0處,w＝0

在x＝l處,w＝0

代入(c)、(d)式確定出積分常數(shù)xlABqFAFBxyABqxyqAqBwmaxl/2由對稱性可知,在兩端支座x＝0和x＝l處,轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值在梁跨中點l/2處有最大撓度值例3：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。xlABFabFAFBD解:

求出梁的支反力為將梁分為I和II兩段,其彎矩方程分別為III梁段I(0x

a)梁段II(a

x

l)兩段梁的撓曲線方程分別為積分一次得轉(zhuǎn)角方程再積分一次得撓曲線方程撓曲線方程注意：在對梁段II進行積分運算時,對含有(x-a)的彎矩項不要展開,而以(x-a)作為自變量進行積分,這樣可使下面確定積分常數(shù)的工作得到簡化。D點的連續(xù)條件：在x=a處,q1＝q2,w1＝w2邊界條件:在x=0處,w1＝0在x=l處,w2＝0代入方程可解得:xlABFabFAFBDIII梁段I(0x

a)梁段II(a

x

l)將積分常數(shù)代入得轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b時,右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大xlABFabFAFBDIII簡支梁的最大撓度應(yīng)在w'＝0處。研究第一段梁,令w'1＝0得當(dāng)a>b時,x1<a,最大撓度確實在第一段梁中xlABFabFAFBDIII在極端情況下,當(dāng)b非常小,以致b2與l2項相比可以略去不計時討論1:上例中，梁中點撓度與最大撓度的關(guān)系？xlABFabFAFBDIII則：當(dāng)F從梁中點位置向B支座移動時，b值減小時，x從0.5L向0.577L趨近（F接近B點時）；此時最大撓度的位置離梁中點最遠，梁中點撓度與最大撓度應(yīng)該差距較大。梁中點C處的撓度為結(jié)論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的。略去b2項,得討論2:BD段上有無θ=0的點？xlABFabFAFBDIII條件：由于梁的變形微小,梁變形后其跨長的改變可略去不計,且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作,因而,梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。在這種情況下,梁在幾項載荷(如集中力、集中力偶或分布力)同時作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角,就分別等于每項載荷單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。此即為疊加原理。第四節(jié)按疊加原理計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角例1：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度wC

和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角A

,B。BAqlMeC解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載。例2:試?yán)茂B加法,求圖示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解：該梁上荷載可視為正對稱載荷與反稱對載荷兩種情況的疊加。(1)正對稱載荷作用下(2)反對稱荷載作用下在跨中C截面處,撓度wC2等于零。BACq/2q/2(3)將相應(yīng)的位移進行疊加,即得（）例3用疊加法求梁中點處的撓度。設(shè)b＜l/2。l/2lABqbxdx解：將均布荷載看作許多微集中力dF組成dF=qdxdFC當(dāng)b=l/2時,結(jié)果與例2一致.例4

疊加法（逐段剛化法)抗彎剛度為EI，求B處的撓度與轉(zhuǎn)角、C處的轉(zhuǎn)角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等價等價PL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMw2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1一、梁的剛度條件：、校核剛度：、設(shè)計載荷。其中[]稱為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱為許用撓度。通常依此條件進行如下三種剛度計算：、設(shè)計截面尺寸；第五節(jié)梁的剛度計算例1（類似教材P159例題9-5）下圖為一空心圓梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm，D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[w]=0.00001m，B點的[]=0.001弧度，試校核此梁的剛度。=+解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單載荷變形(P2的計算可利用上節(jié)例4的結(jié)果)。疊加求復(fù)雜載荷下的變形校核剛度所以剛度是足夠的。內(nèi)外徑分別為：d=40mm，D=80mm討論：強度校核問題二、提高梁的剛度的措施由梁的位移表(表9-3)可見,梁的變形(撓度和轉(zhuǎn)角)除了與梁的支承和荷載情況有關(guān)外,還取決于以下三個因素,即材料——梁的變形與材料的彈性模量E成反比；截面——梁的變形與截面的慣性矩I成反比；跨長——梁的變形與跨長l的n次冪成正比(在各種不同荷載形式下,n分別等于1,2,3或4)。由此可見,為了減小梁的位移,可以采取下列措施：1.增大梁的彎曲剛度EI對于鋼材來說,采用高強度鋼可以顯著提高梁的強度,但對剛度的改善并不明顯,因高強度鋼與普通低碳鋼的E值是相近的。因此,為增大梁的剛度,應(yīng)設(shè)法增大I值。在截面面積不變的情況下,采用適當(dāng)形狀的截面使截面面積分布在距中性軸較遠處,以增大截面的慣性矩I,這樣不僅可降低應(yīng)力,而且能增大梁的彎曲剛度以減小位移。所以工程上常采用工字形、箱形等截面。截面形狀截面面積(cm2)

截面尺寸(cm)I(cm4)圓形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a23702．調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)lABq要求解如圖所示的超靜定梁，可以以B端的活動鉸支座為多余約束，將其撤除后而形成的懸臂梁即為原超靜定梁的基本靜定梁。ABqFB為使基本靜定梁的受力及變形情況與原靜不定梁完全一致，還要求基本靜定梁滿足一定的變形協(xié)調(diào)條件。第六節(jié)簡單超靜定梁lABqABqFB由于原靜不定梁在B端有活動鉸支座的約束，因此，還要求基本靜定梁在B端的撓度為零，即此即應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件(或變形相容條件)ABq建立補充方程ABFBwBFwBqABqFB由圖可見，B端的撓度為零，可將其視為均布載荷引起的撓度wBq與未知支座反力FB引起的撓度wBF的疊加結(jié)果，即:ABqABFBwBFwBq由表9.3查得力與變形間的物理關(guān)系：將其代入前式得：