統(tǒng)計(jì)學(xué) 參數(shù)估計(jì)

第6章參數(shù)估計(jì)劉廷蘭大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時(shí)間？為了解學(xué)生每周上網(wǎng)花費(fèi)的時(shí)間，有同學(xué)調(diào)查了某校在校本科生的上網(wǎng)情況，調(diào)查內(nèi)容包括上網(wǎng)時(shí)間、頻率、途徑、目的、關(guān)心的校園網(wǎng)內(nèi)容，以及學(xué)生對(duì)收費(fèi)的態(tài)度，包括收費(fèi)方式、價(jià)格等。問卷調(diào)查由調(diào)查員在校園內(nèi)發(fā)放并當(dāng)場(chǎng)回收。對(duì)四個(gè)年級(jí)中每年級(jí)各發(fā)60份問卷，其中男、女生各30份。共收回有效問卷共200份。其中有關(guān)上網(wǎng)時(shí)間方面的數(shù)據(jù)經(jīng)整理如下表所示大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時(shí)間？回答類別人數(shù)（人）頻率（%）3小時(shí)以下32163～6小時(shí)3517.56～9小時(shí)3316.59～12小時(shí)2914.512小時(shí)以上7135.5合計(jì)200100平均上網(wǎng)時(shí)間為8.58小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為0.69小時(shí)。全校學(xué)生每周的平均上網(wǎng)時(shí)間是多少？每周上網(wǎng)時(shí)間在12小時(shí)以上的學(xué)生比例是多少？你做出估計(jì)的理論依據(jù)是什么？本章主要內(nèi)容一、參數(shù)估計(jì)的一般問題二、總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)三、樣本容量的確定四Excel在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解參數(shù)估計(jì)的概念與特點(diǎn)2.理解參數(shù)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)3.掌握參數(shù)估計(jì)的方法4.重點(diǎn)掌握單一總體均值、比例的區(qū)間估計(jì)5.掌握估計(jì)單一總體的均值、比例時(shí)樣本容量的確定6.掌握Excel在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用一、參數(shù)估計(jì)的一般問題（一）參數(shù)估計(jì)的概念與特點(diǎn)（二）估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（三）參數(shù)估計(jì)的方法（一）參數(shù)估計(jì)的概念與特點(diǎn)也叫抽樣估計(jì)，就是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)

參數(shù)估計(jì)特點(diǎn)1、以非全面調(diào)查為基礎(chǔ)

2、以隨機(jī)抽樣為前提3、以概率估計(jì)推斷總體參數(shù)4、抽樣估計(jì)存在抽樣誤差，但可以計(jì)算和控制估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值x=80，則80就是估計(jì)量樣本均值的估計(jì)值（二）估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

點(diǎn)估計(jì)從總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，計(jì)算與總體參數(shù)相應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量，然后把該統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值視為總體參數(shù)的估計(jì)值，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。簡(jiǎn)單，具體明確優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)無法控制誤差，僅適用于對(duì)推斷的準(zhǔn)確程度與可靠程度要求不高的情況點(diǎn)估計(jì)的抽樣分布點(diǎn)估計(jì)的最大好處：給出確定的值點(diǎn)估計(jì)的最大問題：無法控制誤差根據(jù)樣本估計(jì)量以一定的可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍。在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x0.6827包含在范圍內(nèi)的概率為68.27%樣本抽樣分布曲線原總體分布曲線0.9545

包含在范圍內(nèi)的概率為95.45%樣本抽樣分布曲線原總體分布曲線0.9973包含在范圍內(nèi)的概率為99.73%樣本抽樣分布曲線總體分布曲線將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例，也稱置信度表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

第一，我們?yōu)槭裁匆赃@一個(gè)而不是那一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)某個(gè)總體參數(shù)？

第二，如果有兩個(gè)以上的統(tǒng)計(jì)量可以用來估計(jì)某個(gè)總體參數(shù)，其估計(jì)結(jié)果是否一致？是否一個(gè)統(tǒng)計(jì)量要優(yōu)于另一個(gè)？估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

無偏性、有效性、一致性問題的提出二、一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

（一）總體均值的區(qū)間估計(jì)（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏無偏性學(xué)生ＡＢＣＤ成績(jī)60708090均值＝75方差２＝125從中按重復(fù)抽樣方式抽取２人，計(jì)算樣本的均值及方差S２

。方差的抽樣分布A60B70C80D90A60606060006070652550608070100200609075225450B707060652550707070007080752550709080100200C808060701002008070752550808080008090852550D90906075225450907080100200908085255090909000無偏性有偏無偏有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)有效性學(xué)生ＡＢＣＤＥＦＧ成績(jī)30405060708090按隨機(jī)原則抽選出４名學(xué)生，并計(jì)算平均分?jǐn)?shù)和中位分?jǐn)?shù)。樣本均值4547.55052.55557.560出現(xiàn)次數(shù)1123445樣本均值62.56567.57072.575出現(xiàn)次數(shù)443211樣本中位數(shù)45505560657075出現(xiàn)次數(shù)

4385834有效性中位數(shù)的抽樣分布平均數(shù)的抽樣分布一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)為的無偏、有效、一致估計(jì)量；為的無偏、有效、一致估計(jì)量；為的無偏、有效、一致估計(jì)量。結(jié)論：估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)（三）參數(shù)估計(jì)的方法

二、總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

（一）總體均值的區(qū)間估計(jì)（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)總體均值區(qū)間的一般表達(dá)式總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值加減估計(jì)誤差得到的估計(jì)誤差由兩部分組成：一是點(diǎn)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它取決于樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。二是估計(jì)時(shí)所要的求置信水平為時(shí)，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積為的分位數(shù)值，它取決于事先所要求的可靠程度總體均值在置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為樣本均值±分位數(shù)值×樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（一）總體均值的區(qū)間估計(jì)總體分布樣本容量（重復(fù)抽樣）正態(tài)總體大樣本當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，采用：小樣本非正態(tài)總體大樣本小樣本——【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。

即：該食品平均重量的置信區(qū)間在101.44—109.28克之間?！纠磕称髽I(yè)生產(chǎn)的燈泡，根據(jù)其積累的歷史資料，燈泡使用壽命的方差為625小時(shí)2。該企業(yè)某一天生產(chǎn)燈泡18000只，從中以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式抽取60只檢測(cè)，其平均壽命為2000小時(shí)。試以95%的置信度估計(jì)該天生產(chǎn)的全部燈泡的平均壽命范圍。

分析：在總體方差已知的情況下，雖然不知道燈泡壽命是否服從正態(tài)分布，但由于抽取的樣本容量為60，是一個(gè)大樣本，根據(jù)中心極限定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布，即

解：即可以用95%的概率保證該天生產(chǎn)燈泡的平均壽命介于1993.685～2006.315小時(shí)之間?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)

(小樣本的估計(jì))1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(小樣本的估計(jì))【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

(小樣本的估計(jì))解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知。總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g總體方差未知時(shí)總體均值的估計(jì)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布如果是非正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)樣本均值服從t分布，如：重復(fù)抽樣條件下，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為抽樣極限誤差【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為即：該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)總體是否接近正態(tài)分布N≥30總體是否接近正態(tài)分布？N≥30用s代替N≥30yesNoyesNoyesyesNoNoσ是否已知用s代替用s代替總體均值區(qū)間估計(jì)小結(jié)（二）總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于10使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為樣本比例±分位數(shù)值×樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差總體比例的區(qū)間估計(jì)

(例題分析—傳統(tǒng)方法)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

一幾機(jī)構(gòu)對(duì)369名有工作的父母的一項(xiàng)調(diào)查表明，他們當(dāng)中有200名承認(rèn)由于工作有約而使得與其子女相處時(shí)間過少。

A.求總體中由于工作有約而使得與其子女相處時(shí)間過少父母所占的比率的點(diǎn)估計(jì)。B.當(dāng)置信水平為95％時(shí)，邊界誤差為多大？C.求總體中由于工作有約而使得與其子女相處時(shí)間過少父母所占比率的95％置信區(qū)間估計(jì)。樣本容量調(diào)查誤差調(diào)查費(fèi)用小樣本容量節(jié)省費(fèi)用但調(diào)查誤差大大樣本容量調(diào)查精度高但費(fèi)用較大找出在規(guī)定誤差范圍內(nèi)的最小樣本容量找出在限定費(fèi)用范圍內(nèi)的最大樣本容量確定樣本容量的意義三、樣本容量的確定

確定方法1.重復(fù)抽樣條件下：通常的做法是先確定置信水平，查找相應(yīng)的臨界值z(mì)或t,然后限定邊際誤差，又稱極限誤差。

①2未知時(shí)，一般采用過去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)；②如果經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)未知，則應(yīng)考慮s2代替2來計(jì)算。但s2通常也是個(gè)未知數(shù)，解決方法有：第一，利用歷史的樣本資料進(jìn)行計(jì)算；第二，利用同類型的調(diào)查資料計(jì)算求得；第三，組織試驗(yàn)性調(diào)查取得數(shù)據(jù)；第四，若有多個(gè)不同的值，則取其最大值。

計(jì)算結(jié)果通常向上進(jìn)位估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定

2.不重復(fù)抽樣條件下：確定方法注意2未知，用s2代替時(shí)，應(yīng)根據(jù)置信度確定t臨界值【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？解:

已知=2000，

=400,1-=95%，z/2=1.96即應(yīng)抽取97人作為樣本【例】某藥廠為了檢查瓶裝藥品數(shù)量，從成品庫(kù)隨機(jī)抽檢100瓶，結(jié)果平均每瓶101.5片，標(biāo)準(zhǔn)差為3片。是以99.73%的把握程度推斷成品庫(kù)該種藥平均每瓶數(shù)量的置信區(qū)間，如果允許誤差減少到原來1／2，其他條件不變，問需要抽取多少瓶？總體方差的大?。辉试S誤差（邊際誤差）的大??；置信度（概率保證程度）；抽樣方法；抽樣的組織方式。重復(fù)抽樣條件下：不重復(fù)抽樣條件下：影響樣本容量的因素

EXCEL中與參數(shù)估計(jì)有關(guān)的常用函數(shù)1.COUNT(number1,number2,……)函數(shù)——計(jì)算樣本容量2.AVERAGE(number1,number2,……)函數(shù)