2022衡水中學地理內(nèi)部學習資料專題05 焦點三角形（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題05焦點三角形技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講一．技巧內(nèi)容橢圓雙曲線圖形周長2a+2c22離心率二．技巧推導過程1.2.橢圓中焦點三角形的面積公式橢圓中的離心率4.5.雙曲線中焦點三角形的面積公式6.雙曲線中的離心率例題舉證例題舉證技巧1焦點三角形的周長【例1】（2020·黑龍江）已知點分別是橢圓的左、右焦點,點在此橢圓上,則的周長等于（）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長為，故選C.【舉一反三】1．（2020·西藏南木林縣第一中學高三月考）若橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】橢圓（其中a＞b＞0）的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，可得2a+2c=16，橢圓（其中a＞b＞0）的離心率為，可得，解得a=5，c=3，則b=4，所以橢圓C的方程為：．故選D．2．（2019·廣西南寧）定義：橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是__________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，，所以，故橢圓的方程是.技巧2焦點三角形的面積【例2-1】（2020·安徽省定遠中學）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，若的面積為9，則__________．【答案】3【解析】（技巧法）（常規(guī)法）因為的面積為9，所以因為，所以即故答案為：3【例2-2】（2020·山西大同）已知、為雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則的面積為【答案】【解析】（技巧法）（常規(guī)法）雙曲線，則，所以，則，平方得，且，由余弦定理，即，解得，則.【舉一反三】1．（2020·云南陸良）已知、為雙曲線C：的左、右焦點，點P在C上，∠P=，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】（技巧法）（常規(guī)法）由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．2（2020·廣東汕頭）若橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點、的連線互相垂直，則的面積為()A．36 B．16 C．20 D．24【答案】B【解析】（常規(guī)法）設(shè)則,即,又,故選B.3．（2020·上海普陀·高三三模）設(shè)為雙曲線（）的上一點，，（為左、右焦點），則的面積等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】（技巧法）（常規(guī)法）雙曲線，則不妨設(shè)是雙曲線的右支上一點，則由雙曲線的定義，得則,所以所以，即所以所以故選：C技巧3焦點三角形的離心率【例3-1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,是上的點,,,則的離心率為()A.B.C.D.【答案】D【解析】(技巧法），選D。（常規(guī)法）設(shè)，，則，即，，，選D。【例3-2】（2020·河北衡水中學）已知分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】（常規(guī)法））由橢圓上存在點，使可得以原點為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點，∴，∴，∴∴．由，∴，即橢圓離心率的取值范圍為．選B．【舉一反三】1．（2020·沙坪壩·重慶一中高三月考（理））已知點P在以為左，右焦點的橢圓上，在中，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））記，為橢圓的兩個焦點，若上存在點滿足，則實數(shù)取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A【解析】（常規(guī)法）當焦點在x軸上時，a2＝m，b2＝1，m＞1，由對稱性可知當M為上下頂點時，∠F1MF2最大，因為，∴∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得m≥2；當焦點在y軸上時，a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，當M為左右頂點時，∠F1MF2最大，因為，∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得0＜m，故選：A．技巧強化技巧強化1．（2020·全國高三單元測試）已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】技巧法：△AF1B的周長公式4a=16,第三邊等于16-10=6常規(guī)法：因為根據(jù)已知條件可知，橢圓＋＝1中16>9,說明焦點在x軸上，同時a=4,b=3,而過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，則點A到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8,點B到F2，F(xiàn)1的距離和為2a=8，結(jié)合橢圓的定義可知△AF1B的周長為4a=16.在結(jié)合三角形的周長公式可知，其中兩邊之和為10，則另一邊的長度為16-10=6故選A.2．（2020·廣西欽州一中）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】（技巧法）（常規(guī)法），，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，故選：C.3．（2020·河南高三其他（文））橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上的點滿足：，且，則（）A．1 B．C． D．2【答案】C【解析】設(shè)，，則，又（1），（2），（1）式平方減去（2）式得：，得：.故選：C.4．（2020·黑龍江綏化·高三其他（理））已知對任意正實數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點P，，為其焦點，在中，，，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：，所以，所以，解得.故選：C5．（2020·山西臨汾）已知橢圓的左，右焦點分別為，若上的點到的距離為，則△的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意知，，，所以，因為，且，所以，在△中，，因為，所以，所以△的面積為.故選：C.6．（2020·陸川中學）已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】（常規(guī)法）由題設(shè)可知點在以為直徑端點的圓上，由此可得該圓的半徑，即，也即，故應(yīng)選答案A．7．（2020·全國高三一模（文））設(shè)橢圓的兩焦點為，，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當是橢圓的上下頂點時，最大，∴，∴，∴，，，∴，則橢圓的離心率的最小值為.故選：C.8．（2019·江西南昌十中））已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1和雙曲線C2的公共焦點，e1，e2分別是C1和C2的離心率，點P為C1和C2的一個公共點，且，若，則e1的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的實半軸長為,焦點坐標為，不妨設(shè)P為第一象限的點，做出示意圖如下圖所示，由橢圓與雙曲線的定義得，所以得，又因為，由余弦定理得，所以得所以得即，所以，因為，所以，，，所以，所以，所以，所以，故選：D.9．（2020·伊美區(qū)第二中學）設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A． B．C．24 D．48【答案】C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C10．（2020·四川青羊·樹德中學高二月考（文））設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的定義得，又，，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知點是雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左?右焦點，若的外接圓半徑為4，且為銳角，則（）A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】（技巧法）依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.（常規(guī)法）依題意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于為銳角，所以.根據(jù)雙曲線的定義得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故選：B12．（2020·陜西省丹鳳中學高三一模（理））設(shè)，分別是雙曲線的左右焦點.若點在雙曲線上，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，分別是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，.故選：D13．（2020·陜西高三其他（文））已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，，所以，所以的取值范圍是.（常規(guī)法）設(shè)，，，則由余弦定理得.又，則，解得，所以.因為，所以，，，所以，所以的取值范圍是.故選：B.14．（2020·河北張家口·高三期末（理））已知雙曲線的焦點為，，點為雙曲線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，，解得，，故選D.15．（2020·全國高三一模（理））已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，MF1與軸垂直，sin,則E的離心率為（）A． B．C． D．2【答案】A【解析】由已知可得，故選A.16．（2019·平羅中學高三二模（理））已知，是雙曲線E：的左、右焦點，點M在E上，與x軸垂直，，則雙曲線E的離心率為A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】（常規(guī)法））與x軸垂直，，設(shè)，則，由雙曲線的定義得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，則，則，故選A．17．（2020·陜西西安·高三其他（理））已知橢圓的兩個焦點是、，點是橢圓上一點，且，則的面積是______.【答案】4【解