2022衡水中學(xué)地理內(nèi)部學(xué)習(xí)資料專題04 數(shù)列（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題04數(shù)列技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律二．單一條件口算結(jié)果-----實(shí)質(zhì)考查等比或等差中項(xiàng)1.無論是等差還是等比數(shù)列，如果只知道一個條件是取法確定具體的數(shù)列，那么可以處理為非0的常數(shù)數(shù)列，因?yàn)榉?的常數(shù)數(shù)列即是等差也是等比數(shù)列。（常數(shù)數(shù)列：每一項(xiàng)都是相同的）三．公式法口算通項(xiàng)----an=Sn-Sn-1(n≥2)四．口算錯位相減法的結(jié)果五．斐波那數(shù)列---黃金分割數(shù)列---數(shù)列特點(diǎn)：0112358132134...三個數(shù)據(jù)為一組，第一數(shù)據(jù)為偶數(shù)，第二、三個數(shù)據(jù)為奇數(shù)技巧舉證技巧舉證技巧1等比數(shù)列前n項(xiàng)和規(guī)律【例1】（2020·福建省廈門第六中學(xué)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】技巧法：常規(guī)法：∵等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），∴，，

成等比數(shù)列，∴，解得或∵時，是常數(shù)，不成立，故舍去.故選：C【舉一反三】1．（2020·安徽含山（理））已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【答案】C【解析】技巧法：Sn＝3nx9+3t,3t+9=0,t＝﹣3常規(guī)法：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n+2+3t，則a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，則有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，故選：C.2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】技巧法：常規(guī)法：，，，故選C.技巧2單一條件口算結(jié)果【例2-1】（1）（2020·寧夏高三其他（文））為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）.A．-1 B．0 C．1 D．2（2）（2020·山西省長治市第二中學(xué)校高三月考（理））已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足﹐則的值為（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）技巧法：常規(guī)法：因?yàn)?，所以，故選：B.技巧法：由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，常規(guī)法：已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.故選：D.【例2-2】（2020·河南）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】技巧法：常規(guī)法：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，所以可設(shè)，，所以，，所以.故選：A【舉一反三】1．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，選A.2．（2020·廣東云浮·）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則（）．A．5 B．6 C．10 D．11【答案】D【解析】技巧法：常規(guī)法：因?yàn)椋覟榈缺葦?shù)列，所以，所以.故選：D.3．（2020·浙江寧波）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，，因此，.故選：C.4．（2020·全國高三其他（理））已知數(shù)列，為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，，則（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】技巧法：常規(guī)法：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以可設(shè)，.則，，所以.故選:D.技巧3公式法口算通項(xiàng)【例3】（2020·南京市秦淮中學(xué)高三其他）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】技巧法：常規(guī)法：當(dāng)時，，當(dāng)時，，又適合上式，所以，故答案為：【舉一反三】1．（2020·湖南湘潭·高考模擬（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___．【答案】【解析】技巧法：常規(guī)法：由題意，可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.又因?yàn)椴粷M足，所以.2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】常規(guī)法：為數(shù)列的前項(xiàng)和，①時，②①②，得：，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.技巧4錯位相減法口算結(jié)果【例4】（2020·江西東湖·南昌二中高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（2）數(shù)列滿足，整理得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．常規(guī)法：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，所以，①當(dāng)時，，當(dāng)時，，②，①②得（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．故．（2）數(shù)列滿足，整理得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．【舉一反三】1．（2020·河南高三其他（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）如果數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且①．所以：②②①得：．（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）（2）數(shù)列，所以，所以①，②①②得：，整理得：．（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）2．（2019·甘肅天水·高考模擬（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列{}中，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{}滿足，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為(，∵∴，所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.（用技巧法口算結(jié)果，減少計(jì)算量）.技巧5斐波那數(shù)列【例5】（2020·吉林前郭爾羅斯縣第五中學(xué)）“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個數(shù)字都等于前兩個相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】常規(guī)法：因?yàn)閿?shù)列為“斐波那契”數(shù)列，所以，，所以，，，，，將以上2017個等式相加可得，，即，所以，所以，所以.故選：C.【舉一反三】1．（2020·河北高三月考）數(shù)列、、、、、、、、、稱為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契于年在他撰寫的《算盤全書》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前項(xiàng)中，偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，可得此數(shù)列只有第項(xiàng)為偶數(shù)，由于，所以前項(xiàng)中偶數(shù)的個數(shù)為．故選：B.2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”.如圖，矩形是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分.在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由圖可知各正方形的邊長為：1，1，2，3，5，8，矩形的面積為：，陰影部分面積為：，所求概率為：故選:B技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1．（2020·湖北黃州·黃岡中學(xué)高三其他（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.2．（2020·甘肅高三其他（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則a=（）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】技巧法：a=-1因?yàn)椋?，，，，求?故選：C．3．（2020·遼源市田家炳高級中學(xué)校高二期末（理））斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，畫出來的螺旋曲線.如圖，白色小圓內(nèi)切于邊長為1的正方形，黑色曲線就是斐波那契螺旋線，它是依次在以1，2，3，5為邊長的正方形中畫一個圓心角為的扇形，將其圓弧連接起來得到的.若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榫匦蔚倪呴L為和5，故矩形面積；又陰影部分的面積為；故在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.故選：D.4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)閿?shù)學(xué)家列昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足：，，現(xiàn)從該數(shù)列的前40項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】裴波那契數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，觀察發(fā)現(xiàn)前12項(xiàng)中，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第12項(xiàng)都能被3整除.以此類推前40項(xiàng)中，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第12項(xiàng)，第16項(xiàng)，第20項(xiàng)，第24項(xiàng)，第28項(xiàng)，第32項(xiàng)，第36項(xiàng)，第40項(xiàng)，共10項(xiàng)，能被3整除.所以能被3整除的概率為.故選A5．（2020·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對數(shù)依次為：，，，，，，，，，，，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列第1個，第2個為奇數(shù)，故第3個為偶數(shù)，第4個，第5個為奇數(shù)，第6個為偶數(shù).根據(jù)規(guī)律：共有偶數(shù)個，故.故選：.8．（2020·江西高三（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題：已知一對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，那么兔子對數(shù)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，.若從該數(shù)列的前120項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，該數(shù)列依次每3項(xiàng)中，有2項(xiàng)是奇數(shù)，另外1項(xiàng)是偶數(shù)所以前120項(xiàng)中有80項(xiàng)是奇數(shù)所以這個數(shù)是奇數(shù)的概率為故選：B7．（2020·嘉祥縣第一中學(xué)高三其他）設(shè)數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列，均為等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，..故選：.8．（2020·合肥一六八中學(xué)高三其他（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，則數(shù)列的前11項(xiàng)和為（）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故等價于，故可得.又根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì).故選：D.9．（2019·河南高二月考）兩等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則A． B． C． D．2【答案】C【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和，依題意有，所以,所以，故選C.10．(多選）（2020·福建省永泰縣第一中學(xué)高三月考）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．【答案】BC【解析】技巧法：可知選BC常規(guī)法：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC12．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則__________.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，解?故答案為：13．（2020·陜西渭南·（理））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)+2,其中,則an=_____.【答案】【解析】技巧法：略常規(guī)法：當(dāng)n=1時，S1=a1=4，當(dāng)n≥2時，由Sn=n(n+1)+2，①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②①﹣②，得an=2n，其中n≥2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.故答案為：.14．（2020·湖北高三月考（理））設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則____【答案】【解析】技巧法：略常規(guī)法：當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，即，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：15．（2020·浙江高三其他）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則____________；數(shù)列的通項(xiàng)公式為____________．【答案】2【解析】由題意易得，當(dāng)時，，而，所以．故答案為：2；．16．（2020·浙江高三月考）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項(xiàng)和為，設(shè)(為常數(shù))，則______；______.【答案】【解析】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足，，，∴；；；…；所以，因?yàn)椋蚀鸢笧椋?，?7．（2020·陜西西安中學(xué)）斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence)，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.它是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，記其前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)a2019=t(t為常數(shù))，則________(用t表示)，________(用常數(shù)表示).【答案】