五章正弦穩(wěn)態(tài)電路

第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路第一節(jié)正弦量的基本概念第二節(jié)正弦量的相量表示法第三節(jié)電阻元件伏安關(guān)系的相量形式第四節(jié)電感元件伏安關(guān)系的相量形式第五節(jié)電容元件伏安關(guān)系的相量形式第六節(jié)基爾霍夫定律的相量形式第七節(jié)R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗第八節(jié)R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納第九節(jié)無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納第十一節(jié)正弦電流電路的分析計算第十二節(jié)正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率第十三節(jié)二端網(wǎng)絡(luò)的功率第十四節(jié)功率因數(shù)的提高及有功功率的測量第十五節(jié)串聯(lián)電路的諧振第十六節(jié)并聯(lián)電路的諧振一、交流電的概念如果電流或電壓每經(jīng)過一定時間（T）就重復(fù)變化一次，則此種電流、電壓稱為周期性交流電流或電壓。如正弦波、方波、三角波、鋸齒波等。記做：u(t)=u(t+T)TutuTt§5.1正弦量的基本概念二、正弦交流電路:

如果在電路中電動勢的大小與方向均隨時間按正弦規(guī)律變化，由此產(chǎn)生的電流、電壓大小和方向也是正弦的，這樣的電路稱為正弦交流電路。正弦交流電的優(yōu)越性：便于傳輸；便于運算；有利于電器設(shè)備的運行；

.....1、正弦交流電的方向:

正弦交流電也有正方向,一般按正半周方向假設(shè)。iuR實際方向和假設(shè)方向一致實際方向和假設(shè)方向相反ti

交流電路進行計算時，首先也要規(guī)定物理量的正方向，然后才能用數(shù)字表達式來描述。2、正弦波的特征量:i ：

電流幅值（最大值）

：

角頻率（弧度/秒）：

初相角特征量:正弦波特征量之一——幅度為正弦電流的最大值最大值電量名稱必須大寫,下標加m。如：Um、Im

在工程應(yīng)用中常用有效值表示幅度。常用交流電表指示的電壓、電流讀數(shù)，就是被測物理量的有效值。標準電壓220V，也是指供電電壓的有效值。交流直流熱效應(yīng)相當有效值概念電量必須大寫如：U、I有效值則有（均方根值）可得當

時，問題與討論

若購得一臺耐壓為300V的電器，是否可用于220V的線路上?

電器~220V最高耐壓=300V有效值U=220V最大值Um

=220V=311V

電源電壓

該用電器最高耐壓低于電源電壓的最大值，所以不能用。正弦波特征量之二——角頻率

iT描述變化周期的幾種方法：

1.周期T：變化一周所需的時間單位：秒，毫秒..2.頻率f：每秒變化的次數(shù)單位：赫茲，千赫茲...3.角頻率ω：每秒變化的弧度單位：弧度/秒小常識*電網(wǎng)頻率：中國50Hz

美國、日本60Hz*有線通訊頻率：300-5000Hz

*無線通訊頻率：

30kHz-3×104MHz正弦波特征量之三——初相位：正弦波的相位角或相位。：t=0時的相位，稱為初相位或初相角。i說明：給出了觀察正弦波的起點或參考點，常用于描述多個正弦波相互間的關(guān)系。

兩個同頻率正弦量間的相位差(初相差)

ti

概念

：一個正弦量的瞬時值可以用一個旋轉(zhuǎn)的有向線段在縱軸上的投影值來表示。矢量長度

=

矢量與橫軸夾角=

初相位ω矢量以角速度

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)ωu§5.2正弦量的相量表示法

3.相量符號包含幅度與相位信息。有效值1.描述正弦量的有向線段稱為相量(phasor)。若其幅度用最大值表示，則用符號：最大值相量的書寫方式2.在實際應(yīng)用中，幅度更多采用有效值，則用符號：

落后于領(lǐng)先

落后？正弦波的相量表示法舉例例1：將u1、u2

用相量表示。相位：幅度：相量大小設(shè)：同頻率正弦波的相量畫在一起，構(gòu)成相量圖。例2：同頻率正弦波相加

--平行四邊形法則注意：

1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同頻率的正弦量才能畫在一張相量圖上，不同頻率不行。新問題提出：

平行四邊形法則可以用于相量運算，但不方便。故引入相量的復(fù)數(shù)運算法。

相量復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)運算相量的復(fù)數(shù)表示ab+1將復(fù)數(shù)放到復(fù)平面上，可如下表示：歐拉公式代數(shù)式

指數(shù)式

極坐標形式ab在第一象限設(shè)a、b為正實數(shù)在第二象限在第三象限在第四象限相量的復(fù)數(shù)運算1.加、減運算設(shè)：則：2.乘法運算設(shè)：則：設(shè)：任一相量則：90°旋轉(zhuǎn)因子。+j逆時針轉(zhuǎn)90°，-j順時針轉(zhuǎn)90°說明：3.除法運算設(shè)：則：復(fù)數(shù)符號法應(yīng)用舉例解：例1：已知瞬時值，求相量。已知:

求：i、u

的相量

220100求：例2：已知相量，求瞬時值。

已知兩個頻率都為1000Hz的正弦電流其相量形式為：解：波形圖瞬時值相量圖復(fù)數(shù)符號法小結(jié)：正弦波的四種表示法

Ti提示計算相量的相位角時，要注意所在象限。如：符號說明瞬時值

---小寫u、i有效值

---大寫U、I復(fù)數(shù)、相量

---大寫+“.”最大值

---大寫+下標正誤判斷？瞬時值復(fù)數(shù)瞬時值復(fù)數(shù)已知：正誤判斷？？有效值j45則：已知：正誤判斷？？則：已知：？正誤判斷最大值一、電阻電路uiR根據(jù)

歐姆定律

設(shè)則§5.3電阻元件伏安關(guān)系的相量形式1.頻率相同2.相位相同3.

有效值關(guān)系：二、電阻電路中電流、電壓的關(guān)系4.

相量關(guān)系：設(shè)

則

或2.平均功率（有功功率）P：一個周期內(nèi)的平均值

大寫

uiR一、電感電路

基本關(guān)系式：iuL設(shè)則§5.4電感元件伏安關(guān)系的相量形式二、電感電路中電流、電壓的關(guān)系

1.頻率相同

2.相位相差

90°

（u

領(lǐng)先

i

90

°）iu設(shè)：3.有效值感抗（Ω）定義：則：4.相量關(guān)系設(shè)：則：u、i相位不一致！三、電感電路中復(fù)數(shù)形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息？領(lǐng)先！感抗（XL=ωL

）是頻率的函數(shù)，

表示電感電路中電壓、電流有效值之間的關(guān)系，且只對正弦波有效。ωXLω=0時XL=0四、關(guān)于感抗的討論u+_LR直流U+_R基本關(guān)系式:設(shè)：一、電容電路uiC則：§5.5電容元件伏安關(guān)系的相量形式

1.頻率相同2.相位相差90°（u落后

i

90°

）二、電容電路中電流、電壓的關(guān)系iu3.有效值或容抗（Ω）定義：則：I

4.相量關(guān)系設(shè)：則：三、電容電路中復(fù)數(shù)形式的歐姆定律其中含有幅度和相位信息領(lǐng)先！U+-ωu+-四、關(guān)于容抗的討論直流

是頻率的函數(shù)，

表示電容電路中電壓、電流有效值之間的關(guān)系，且只對正弦波有效。容抗ω＝0時已知：

C＝1μF求：I、i例uiC解：電流有效值求電容電路中的電流瞬時值i領(lǐng)先于u90°電流有效值電路參數(shù)基本關(guān)系復(fù)阻抗L復(fù)阻抗電路參數(shù)基本關(guān)系C電路參數(shù)R基本關(guān)系復(fù)阻抗小結(jié)電壓、電流瞬時值的關(guān)系符合歐姆定律、基爾霍夫定律

。uLiuRuRL§5.6基爾霍夫定律的相量形式

電流、電壓相量符合相量形式的歐姆定律、基爾霍夫定律。RL在電阻電路中：正誤判斷？？？瞬時值有效值在電感電路中：正誤判斷？？？？？單一參數(shù)正弦交流電路的分析計算小結(jié)電路參數(shù)電路圖（正方向）復(fù)數(shù)阻抗電壓、電流關(guān)系瞬時值有效值相量圖相量式功率有功功率無功功率Riu設(shè)則u、i

同相0LiuCiu設(shè)則設(shè)則u領(lǐng)先i90°u落后i90°00基本關(guān)系若則一、電流、電壓的關(guān)系uRLCi§5.7

R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗總電壓與總電流的關(guān)系式相量方程式：則相量模型RLC設(shè)（參考相量）二、R-L-C串聯(lián)交流電路——相量圖先畫出參考相量相量表達式：RLC電壓三角形Z：復(fù)阻抗實部為阻虛部為抗容抗感抗令則三、R-L-C串聯(lián)交流電路中的復(fù)數(shù)形式歐姆定律復(fù)數(shù)形式的歐姆定律RLC

在正弦交流電路中，只要物理量用相量表示,元件參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示，則電路方程式的形式與直流電路相似。

是一個復(fù)數(shù)，但并不是正弦交流量，上面不能加點。Z在方程式中只是一個運算工具。

Z說明：RLC

在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗（)表示，則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律和直流電路中的形式相似。單一參數(shù)電路中復(fù)數(shù)形式的歐姆定律電阻電路電感電路電容電路復(fù)數(shù)形式的歐姆定律四、關(guān)于復(fù)阻抗Z

的討論由復(fù)數(shù)形式的歐姆定律可得：結(jié)論：Ｚ的模為電路總電壓和總電流有效值之比，而Ｚ的幅角則為總電壓和總電流的相位差。1.

Z和總電流、總電壓的關(guān)系2.

Z

和電路性質(zhì)的關(guān)系

一定時電路性質(zhì)由參數(shù)決定當

時，

表示u

領(lǐng)先i－－電路呈感性當時，

表示u、i同相－－電路呈電阻性當

時，表示u

落后i

－－電路呈容性阻抗角RLC假設(shè)R、L、C已定，電路性質(zhì)能否確定？（阻性？感性？容性？）不能！

當ω不同時，可能出現(xiàn)：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC。3.阻抗（Z）三角形阻抗三角形4.阻抗三角形和電壓三角形的關(guān)系電壓三角形阻抗三角形相似導(dǎo)納的概念設(shè):則:電導(dǎo)電納導(dǎo)納適合于并聯(lián)電路的計算,單位是西門子(s

)。導(dǎo)納§5.8R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納

§5.9無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納一、簡單串并聯(lián)電路Z1Z2iZ1Z2Z1Z2iZ1Z2Y1、Y2

---導(dǎo)納Y1Y21、據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結(jié)構(gòu)不變）2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖3、用復(fù)數(shù)符號法或相量圖求解4、將結(jié)果變換成要求的形式

在正弦交流電路中，若正弦量用相量表示，電路參數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗表示，則直流電路中介紹的基本定律、公式、分析方法都能用。具體步驟如下：

§5.11正弦電流電路的分析計算例1解題方法有兩種：1.利用復(fù)數(shù)進行相量運算2.利用相量圖求結(jié)果下圖中已知：I1=10A、UAB=100V，求：A、UO的讀數(shù)AAB

C25UOC1解法1:利用復(fù)數(shù)進行相量運算已知：I1=10A、

UAB=100V，則：A讀數(shù)為10安求：A、UO的讀數(shù)即：設(shè)：為參考相量，AAB

C25UOC1UO讀數(shù)為141伏求：A、UO的讀數(shù)已知：I1=10A、

UAB=100V，AAB

C25UOC1解法2:利用相量圖求解設(shè)：45°由已知條件得：、領(lǐng)先90°45°落后于I=10A、UO=141V由圖得：求：A、UO的讀數(shù)已知：I1=10A、UAB=100V，UC1=IXC1=100VuC1落后于

i90°AAB

C25UOC1例2已知：R1、R2、L、C求：各支路電流的大小LC相量模型原始電路LC解法一節(jié)點電位法A已知參數(shù)：節(jié)點方程由節(jié)點電位便求出各支路電流：解法二：疊加定理R1R2R1R2+解法三：戴維南定理求、BAZ§5.12正弦交流電路中電阻、電感、電容元件的功率一、電阻電路中的功率

uiR1.瞬時功率p：瞬時電壓與瞬時電流的乘積小寫1.（耗能元件）結(jié)論：2.隨時間變化3.與

成比例ωtuipωt2.平均功率（有功功率）P：一個周期內(nèi)的平均值

大寫

uiR二、電感電路中的功率1.瞬時功率p

iuL儲存能量p<0釋放能量+p>0p<0可逆的能量轉(zhuǎn)換過程uiuiuiuiiuL+Pp>0ui

2.平均功率P（有功功率）結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進行能量交換。3.無功功率QQ

的單位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定義：電感瞬時功率所能達到的最大值。用以衡量電感電路中能量交換的規(guī)模。三、電容電路中的功率ui1.瞬時功率p充電p放電放電P<0釋放能量充電P>0儲存能量uiuiuiuiiuωt

2.平均功率P瞬時功率達到的最大值（吞吐規(guī)模）3.無功功率Q（電容性無功取負值）1.瞬時功率

2.平均功率

P（有功功率）

uRLCi§5.13二端網(wǎng)絡(luò)的功率總電壓總電流u與i

的夾角平均功率P與總電壓U、總電流

I

間的關(guān)系：

-----功率因數(shù)

其中：

在R、L、C串聯(lián)的電路中，儲能元件R、L、C

雖然不消耗能量，但存在能量吞吐，吞吐的規(guī)模用無功功率來表示。其大小為：

3.無功功率Q：4.視在功率S：

電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：伏安、千伏安PQ（有助記憶）S注：S＝UI

可用來衡量發(fā)電機可能提供的最大功率（額定電壓×額定電流）視在功率5.功率三角形無功功率有功功率_++_p

設(shè)i

領(lǐng)先u，（電容性電路）R、L、C

串聯(lián)電路中的功率關(guān)系iu電壓三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC正誤判斷因為交流物理量除有效值外還有相位。

？RLC在R-L-C串聯(lián)電路中？正誤判斷而復(fù)數(shù)阻抗只是一個運算符號。Z不能加“?”反映的是正弦電壓或電流，正誤判斷在Ｒ－Ｌ－Ｃ正弦交流電路中？？？？？正誤判斷在R-L-C串聯(lián)電路中，假設(shè)？？？正誤判斷在R-L-C串聯(lián)電路中，假設(shè)？？？？問題的提出：日常生活中很多負載為感性的，其等效電路及相量關(guān)系如下圖。

uiRLcosI當U、P

一定時，希望將cos提高P=PR=

UIcos其中消耗的有功功率為：§5.14功率因數(shù)提高及有功功率的測量負載iu說明：

由負載性質(zhì)決定。與電路的參數(shù)和頻率有關(guān)，與電路的電壓、電流無關(guān)。功率因數(shù)和電路參數(shù)的關(guān)系RZ例40W白熾燈40W日光燈發(fā)電與供電設(shè)備的容量要求較大

供電局一般要求用戶的

，否則受處罰。

純電阻電路R-L-C串聯(lián)電路純電感電路或純電容電路電動機空載滿載

日光燈

（R-L-C串聯(lián)電路）常用電路的功率因數(shù)提高功率因數(shù)的原則：

必須保證原負載的工作狀態(tài)不變。即：加至負載上的電壓和負載的有功功率不變。提高功率因數(shù)的措施:uiRL并聯(lián)電容C并聯(lián)電容值的計算uiRLC

設(shè)原電路的功率因數(shù)為cosL，要求補償?shù)絚os須并聯(lián)多大電容？（設(shè)U、P

為已知）分析依據(jù)：補償前后P、U不變。由相量圖可知：iuRLC呈電容性。呈電感性問題與討論

功率因數(shù)補償?shù)绞裁闯潭?？理論上可以補償成以下三種情況:功率因素補償問題（一）呈電阻性結(jié)論：在角相同的情況下，補償成容性要求使用的電容容量更大，經(jīng)濟上不合算，所以一般工作在欠補償狀態(tài)。感性（較?。┤菪裕ㄝ^大）C

較大功率因數(shù)補償成感性好，還是容性好？一般情況下很難做到完全補償（即：）過補償欠補償功率因素補償問題（二）并聯(lián)電容補償后，總電路的有功功率是否改變？問題與討論R定性說明：電路中電阻沒有變，所以消耗的功率也不變。<<通過計算可知總功率不變。I、其中功率因素補償問題（三）提高功率因數(shù)除并電容外，用其他方法行不行？補償后RL串電容行否補償前RLC問題與討論

含有電感和電容的電路，如果無功功率得到完全補償，使電路的功率因數(shù)等于1，即：u、i

同相，便稱此電路處于諧振狀態(tài)。諧振串聯(lián)諧振：L與C串聯(lián)時

u、i

同相并聯(lián)諧振：L與C并聯(lián)時

u、i

同相

諧振電路在無線電工程、電子測量技術(shù)等許多電路中應(yīng)用非常廣泛。諧振概念：§5.15串聯(lián)電路的諧振一、串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振的條件RLC串聯(lián)諧振電路、同相若令：則：諧振串聯(lián)諧振的條件是：諧振頻率：

串聯(lián)諧振的特點U、I

同相當時當電源電壓一定時：UC、UL將大于電源電壓U注：串聯(lián)諧振也被稱為電壓諧振當時，諧振時：、品質(zhì)因數(shù)——Q

值

定義：電路處于串聯(lián)諧振時，電感或電容上的電壓和總電壓之比。諧振時:在諧振狀態(tài)下,若R>XL、R>XC，Q

則體現(xiàn)了電容或電感上電壓比電源電壓高出的倍數(shù)。串聯(lián)諧振特性曲線I諧振電流諧振頻率下限截止頻率上限截止頻率通頻帶關(guān)于諧振曲線的討論(a)不變，變化。(c)不變，變化。不變，(b)不變，變化。分以下三種情況：諧振曲線討論（之一）結(jié)論：R的變化引起變化

R愈大愈?。ㄟx擇性差）

R愈小愈大（選擇性好）R小R大不變，變化。（1）不變

即LC不變R改變改變（2）分析：（1）不變即U、R不變（2）改變結(jié)論：LC的變化引起變化

L變小或C變小

變大

L變大或C變大

變小諧振曲線討論（之二）不變，變化。諧振曲線討論（之三）結(jié)論：Q愈大，帶寬愈小，曲線愈尖銳。

Q愈小，帶寬愈大，曲線愈平坦。分析：不變，不變（LC）、R

不變，如何改變或？可以證明：可見與Q

相關(guān)。不變，變化。不變，串聯(lián)諧振時的阻抗特性感性容性串聯(lián)諧振應(yīng)用舉例收音機接收電路接收天線與C：組成諧振電路將選擇的信號送接收電路組成諧振電路，選出所需的電臺。為來自3個不同電臺（不同頻率）的電動勢信號；已知：解：如果要收聽節(jié)目，C應(yīng)配多大？問題（一）：結(jié)論：當C調(diào)到150pF時，可收聽到

的節(jié)目。問題（二）：信號在電路中產(chǎn)生的電流有多大？在C

上產(chǎn)生的電壓是多少？已知：解答：所希望的信號被放大了64倍。當時領(lǐng)先于(容性)諧振當時理想情況：純電感和純電容并聯(lián)。當時落后于(感性)§5.16并聯(lián)電路的諧振或理想情況下并聯(lián)諧振條件非理想情況下的并聯(lián)諧振同相時則諧振虛部實部則、

同相虛部=0。