2023 年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 相似三角形-8字形相似 專題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《相似三角形—8字形相似》專題訓(xùn)練（附答案）一．選擇題1．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且BD＝2CD，連接AD，將△ABD沿AD翻折，得到△ADE，DE與AC交于點(diǎn)F．若△DCF，△AEF的面積分別為1和16，則＝（）A． B．3 C． D．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC＝4：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：4 B．9：16 C．16：25 D．3：53．如圖，E是?ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，連接BF，CD＝3CF，則S△ADF：S△BEF等于（）A．4：1 B．3：1 C．4：3 D．9：44．如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE于點(diǎn)G，若BG＝8，則△CEF的周長為（）A．16 B．17 C．24 D．255．如圖，已知△ABC和△ABD都是⊙O的內(nèi)接三角形，AC和BD相交于點(diǎn)E，則與△ADE相似的三角形是（）A．△BCE B．△ABC C．△ABD D．△ABE6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CE和BD交于點(diǎn)O，設(shè)△OCD的面積為m，△OEB的面積為，則下列結(jié)論中正確的是（）A．m＝5 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝10二．填空題7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，＝，AD與BE相交于點(diǎn)F，若BF＝4，則EF的長是．8．已知，?ABCD面積為40，點(diǎn)M為AD的三等分點(diǎn)，且AM＝AD，N為BC的中點(diǎn)，MN交對角線BD于點(diǎn)O，則陰影部分的面積為．9．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，，E為CD的中點(diǎn)，連接AE，BD交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，則PB：PD＝，PQ＝．10．如圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B＝∠C＝90°，BD＝12cm，DC＝8cm，EC＝6cm，則AB的長為．11．如圖，在每個(gè)邊長均為1的方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，若C是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則AC的長為．12．如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，BM分別交AC和CD于點(diǎn)P，Q．若△ABC的面積為6，則圖中陰影部分的面積為．13．已知菱形ABCD的邊長是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE＝3，連接BE與對角線AC相交于點(diǎn)M．則的值是．14．已知菱形ABCD的邊長是8，點(diǎn)E在直線AD上，若DE＝3，連接BE與對角線AC相交于點(diǎn)F，則FC：AF＝．15．如圖所示，S矩形ABCD＝36，在邊AB，AD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE＝3EB，DF＝2AF．DE與CF的交點(diǎn)為O，則S△FOD＝．16．如圖，A，B兩處被池塘隔開，為了測量A，B兩處的距離，在AB外選一適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)O，連接AO，BO，并延長至點(diǎn)C，D；使得OD＝OA，OC＝OB，測得CD＝20m，則AB＝m．17．如圖，點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使FC＝EC，連接DF交BE的延長線于點(diǎn)H，連接OH交DC于點(diǎn)G，連接HC．則以下四個(gè)結(jié)論：①GH＝CF；②S△CHF＝2S△DGH；③∠CHF＝45°；④GH?BE＝2HE?OG中正確結(jié)論為．（填序號）18．如圖，正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC中點(diǎn)，AF分別交線段DE、DB于點(diǎn)M、N，則S△DMN＝．19．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝4，則△CEF的周長為．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝，則△CEF的周長為．21．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，如果，那么＝．22．如圖，直線y＝kx﹣4（k＞0）與雙曲線y＝在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)R，與x，y軸的交點(diǎn)分別為P，Q；過R作RM⊥x軸，M為垂足，若△OPQ與△PRM的面積相等，則k的值等于．三．解答題23．《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D點(diǎn)觀察井內(nèi)水岸C點(diǎn)，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E．如果測得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．請求出井深A(yù)C的長．24．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)E在AC延長線上，且∠E＝∠ABC．（1）求證：AB2＝AC?AE；（2）如圖2，D在BC上且BD＝3CD，延長AD交BE于F，若，求；（3）如圖3，若∠CAB＝90°，tan∠E＝，BD＝5CD，過A作AQ⊥AD交EB延長線于Q，直接寫出．25．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F、交CD于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE交CD于點(diǎn)H，連接FH；①若FG＝1，F(xiàn)A＝3，求tan∠OEC的值；②若FH∥AC，求．26．如圖，AB是⊙O的直徑，△BCD是⊙O的內(nèi)接三角形，BC＝DC，AB與CD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥BD交DA的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若⊙O半徑為5，BD＝8，求線段AE的長．參考答案一．選擇題1．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，由折疊得：∠B＝∠E，AB＝AE，BD＝DE，∴∠C＝∠E，∵∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∵△DCF，△AEF的面積分別為1和16，∴＝＝＝4，∵BD＝2CD，∴設(shè)CD＝a，BD＝2a，∴AE＝4CD＝4a，DE＝BD＝2a，∴AB＝AC＝4a，設(shè)DF＝x，則AF＝4DF＝4x，∴CF＝AC﹣AF＝4a﹣4x，EF＝DE﹣DF＝2a﹣x，∵EF＝4CF，∴2a﹣x＝4（4a﹣4x），∴x＝a，∴AF＝4x＝a，EF＝2a﹣x＝a，∴＝＝，故選：C．2．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵DE：EC＝4：1，∴，∴，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝，故選：C．3．解：∵E是?ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，∴CE∥AD，∴△ADF∽△ECF，∴，∵CD＝3CF，∴＝，∴S△ADF：S△ECF＝4：1，AD＝2CE，∴BC＝2CE，∴S△BEF：S△ECF＝3：1，∴S△ADF：S△BEF＝4：3，故選：C．4．解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周長等于10+10+12＝32，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10＝1：2，∴△CEF的周長為16．故選：A．5．解：∵∠BCE＝∠BDA，∠CEB＝∠DEA∴△ADE∽△BCE，故選：A．6．解：∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴2EB＝AB＝CD，∴＝（）2，即，解得m＝4，故選：B．二．填空題7．解：∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，∴△CED∽△CAB，∴＝＝，∵DE∥AB，∴∠ABE＝∠DEB，∠BAD＝∠ADE，∴△DEF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴EF＝，故答案為：．8．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴△CDB的面積＝?ABCD的面積＝20，∵N為BC的中點(diǎn)，∴BN＝NC＝BC，∴△DNC的面積＝△BND的面積＝△CBD的面積＝10，∵AM＝AD，∴DM＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DMN＝∠ANB，∴△DMO∽△BNO，∴＝＝＝，∴＝，∴△DON的面積＝△BND的面積＝，∴陰影部分的面積＝△DON的面積+△DNC的面積＝，故答案為：．9．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠BAP＝∠AED，∠ABP＝∠PDE，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵E為CD的中點(diǎn)，∴ED＝DC＝1，∴AB：ED＝2：1，∴PB：PD＝2：1，∴PB：BD＝2：3，∵PQ⊥BC，∴∠BQP＝∠C＝90°，∵∠DBC＝∠PBQ，∴△BPQ∽△BDC，∴＝，∴＝，∴PQ＝，故答案為：2：1，．10．解：∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴，即，∴AB＝9cm，故答案為：9cm．11．解：如圖，在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∵∠BDC＝∠AEC＝90°，∠DCB＝∠ECA，∴△BDC∽△AEC，∴＝，∴，∴∴AC＝，故答案為：．12．解：∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴△BCP∽△BME，△ABP∽△CQP∽△DQM，∴CP：EM＝BC：BE＝1：2，∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，∴CP：DM＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝6，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DM＝1：2，∴S△DQM＝4S△PCQ＝2，∴S陰影＝S△ABP+S△PCQ+S△DQM＝7．故答案為：7．13．解：如圖，點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，AE＝AD﹣DE＝8﹣3＝5，∵菱形對邊AD∥BC，∴△AME∽△CMB，∴＝＝，∴＝；點(diǎn)E不在線段AD上時(shí)，AE＝AD+DE＝8+3＝11，∵菱形對邊AD∥BC，∴△AME∽△CMB，∴＝＝，∴＝，綜上所述，＝或．故答案為：或．14．解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，∵菱形ABCD的邊長為8，∴BC＝AD＝8，BC∥AD，∵DE＝3，∴AE＝5，∵BD∥AF，∴△AEF∽△CBF，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時(shí)，則AE＝11，∵BC∥AE，∴△AEF∽△CBF，∴，故答案為：8：5或8：11．15．解：延長DE，CB相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)O作OH⊥AD，垂足為H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠G，∠GBE＝∠A，∴△ADE∽△BGE，∴＝＝3，設(shè)BG＝x，則AD＝BC＝3x，∵DF＝2AF，∴DF＝AD＝2x，∴＝＝，∵∠DOF＝∠COG，∴△DOF∽△GOC，∴＝＝，∵OH⊥AD，∴∠OHF＝∠ADC＝90°，∵∠OFH＝∠CFD，∴△OFH∽△CFD，∴＝＝，∴OH＝CD，∵S矩形ABCD＝36，∴AD?CD＝36，∴S△FOD＝DF?OH＝?AD?CD＝×36＝4，故答案為：4．16．解：∵OD＝OA，OC＝OB，∴＝，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∵CD＝20m，∴AB＝2CD＝40m，故答案為：40．17．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠DCF＝90°，∵FC＝EC，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴∠BEC＝∠DFC，∵∠EBC+∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠DFC＝90°，∴∠BHF＝180°﹣（∠EBC+∠DFC）＝90°，∴∠BHF＝∠BHD＝90°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBH＝∠FBH，∵BH＝BH，∴△BFH≌△BDH（ASA），∴DH＝HF，∵點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，∴OB＝OD，∴OH是△DBF的中位線，∴OH∥BF，OH＝BF，∴＝，∴DG＝GC，∴GH是△DCF的中位線，∴GH＝CF，故①正確；∵∠DCF＝90°，DH＝HF，∴△DHC的面積＝△CHF的面積，∵DG＝CG，∴△DGH的面積＝△GHC的面積＝△DHC的面積，∴S△CHF＝2S△DGH，故②正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DBH＝∠FBH＝22.5°，∵∠BHF＝90°，∴∠BFH＝90°﹣∠HBF＝67.5°，∵∠DCF＝90°，DH＝HF，∴CH＝HF＝DF，∴∠HFC＝∠HCF＝67.5°，∴∠CHF＝45°，故③正確；∵OD＝OB，DG＝GC，∴OG是△DBC的中位線，∴BC＝2OG，OG∥BC，∴∠GHB＝∠HBC，∠HGC＝∠GCB，∴△GHE∽△CBE，∴＝，∴GH?BE＝BC?HE，∴GH?BE＝2HE?OG，故④正確，所以，正確的結(jié)論為：①②③④，故答案為：①②③④．18．解：∵正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝2，AE＝BF＝1，∠EAD＝∠FBA＝90°，∴DE＝AF＝＝，△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，而∠BAF+∠DAM＝90°，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴AM?DE＝AE?AD，即AM×＝1×2，∴AM＝，∴DM＝＝＝，∵AD∥CB，∴AN：NF＝AD：BF＝2：1，∴AN＝AF＝，∴MN＝﹣＝，∴S△DMN＝DM?MN＝××＝．故答案為：．19．解：∵在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAF＝∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF＝∠F，∴∠F＝∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．∴EC＝FC＝9﹣6＝3，∴AB＝BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周長等于16，又∵?ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長為8．故答案為8．20．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠DAE＝∠AEB，BC＝AD＝8，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB∴BE＝AB＝6，EC＝BC﹣BE＝8﹣6＝2在直角三角形BGE中，GE2＝BE2﹣BG2即GE2＝62﹣＝4，∴GE＝2，AE＝2GE＝4，∵△BAE∽△CFE，∴，即，∴CF＝2，EF＝，∴△CEF周長為2+2+＝．故答案為．21．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BEF∽△ADF，∴＝＝＝．故答案為：．22．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝kx﹣4＝﹣4，∴點(diǎn)Q（0，﹣4）；當(dāng)y＝kx﹣4＝0時(shí)，x＝，∴點(diǎn)P（，0）．∵RM⊥x軸，∴∠POQ＝∠PMR＝90°．又∵∠OPQ＝∠MPR，∴△OPQ∽△MPR．∵△OPQ與△PRM的面積相等，∴△OPQ≌△MPR，∴OP＝MP，OQ＝MR，∴點(diǎn)R（，4）．∵點(diǎn)R在雙曲線y＝上，∴4＝，解得：k＝4或k＝﹣4（舍去）．經(jīng)檢驗(yàn)，k＝4是方程4＝的解．故答案為：4．三．解答題23．解：由題意得：BD∥AC，∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，∴△BDE∽△ACE，∴，∴，解得：AC＝8，答：井深A(yù)C的長為8米．24．（1）證明：∵∠E＝∠ABC，∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴，∴AB2＝AC?AE；（2）解：如圖2，設(shè)CD＝m，則BD＝3CD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，由（1）知，△BAE∽△CAB，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝，BE＝6m，過點(diǎn)E作EH∥BC交AF的延長線于H，∴△ACD∽△AEH，∴＝，∴，∴EH＝m，∵EH∥BC，∴△BDF∽△EHF，∴＝，∴＝＝，∴BF＝EF，∵BE＝EF+BF＝EF+EF＝EF＝6m，∴EF＝m，∴＝＝；（3）解：如圖3，設(shè)CD＝x，則BD＝5x，∴BC＝CD+BD＝6x，∵tan∠E＝，∴∠E＝30°，∴∠E＝∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3x，∴AB＝AC＝3x，在CA上截取CP＝CD＝x，∵∠ACB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴△CDP是等邊三角形，∴CP＝DP＝CD＝x，∠APD＝120°，∵∠ABQ＝180°﹣∠E+∠BAC＝120°，∴∠APD＝∠ABQ，∵AQ⊥AD，∴∠DAQ＝90°＝∠CAB，∴∠CAD＝∠BAQ，∴△ADP∽△AQB，∴＝，∵AP＝AC﹣CP＝3x﹣x＝2x，∴，∴BQ＝x，∴＝＝．25．（1）證明：如圖1，連接CF，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴