立體幾何初步總結(jié)材料(必修2)

實(shí)用文案立體幾何初步總結(jié)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)多面體：棱柱、棱錐、棱臺(tái)1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)：旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球組合體：由簡單幾何體組合而成立中心投影與平行投影2.三視圖和直觀圖:空間幾何體三視圖：正視圖；側(cè)視圖；俯視圖體幾直觀圖：原圖面積：直觀圖面積＝22何3.表面積和體積:V1h(S1S1S2S2)3初步平面的性質(zhì)：公理體系；位置關(guān)系直線與平面：平行與垂直的判定與性質(zhì)點(diǎn)線面位置關(guān) 系平面與平面：平行與垂直的判定與性質(zhì)距離的求法；角度的求法二、基礎(chǔ)知識(shí)精要Ⅰ（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)直棱柱棱柱

正棱柱

D C斜棱柱正棱錐1、多面體 棱錐正棱臺(tái)棱臺(tái)

DBFDFFCAO'CBCE'E'F'D'F'D'A'A'OOC'C'B'B'2、四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體直四棱柱3、定理：平行棱錐底面的截面將棱錐截得的上下兩個(gè)棱錐的S截＝S側(cè)'V截＝相似比的立方（1）S底＝相似比的平方；（2）V底S側(cè)兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，求圓錐分成的三部分的側(cè)面積之比、三部分的體積之比.4、圓柱——側(cè)面展開圖是矩形圓錐——側(cè)面展開圖是扇形旋轉(zhuǎn)體圓臺(tái)——側(cè)面展開圖是扇環(huán)球——5、柱錐臺(tái)之間的關(guān)系

O'O'O Q Q QO O標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案（二）、三視圖和直觀圖1．中心投影：光由一點(diǎn)向外散射形成的投影。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實(shí)形 .2．平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影 . 分正投影、斜投影 .3．三視圖：正視圖（前面向后面正投影） 、側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）4．直觀圖：（表示空間圖形的平面圖）觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫出的圖形。把空間圖形畫在平面內(nèi)，畫得既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形 h D定理：平面圖形的原圖面積：直觀圖面積＝22題型：（1）已知直觀圖畫出三視圖（2）已知三視圖畫出直觀圖（三）、表面積與體積S直棱柱表＝cl＋2S底(c:底面周長；l:側(cè)棱長h：高）S圓柱表＝2rh2r2S圓錐表＝rlr2S圓臺(tái)表＝（r1＋r2)lr12r22側(cè)面展開圖扇形中心角為r3600l側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為Rr3600lVShS1S2SV=1h(S1S1S2S2)S10V1Sh33V圓柱r2hS1S2SV圓臺(tái)=1h(r12r1r2r22)S10V1r2h33V球=4R3；S球面=4R2.（R為球的半徑）3標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案基礎(chǔ)知識(shí)精要Ⅱ（點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系）平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說明共點(diǎn)、共線、共面問題。空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念；會(huì)求簡單的異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法或用判定定理（補(bǔ)充）直線與平面①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì) ,判定定理是證明平行問題的依據(jù)。③直線與平面垂直的證明④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是 [00.900]⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個(gè)定理 . 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量 .如：證明異面直線垂直， 確定二面角的平面角，確定點(diǎn)到直線的垂線 .4.平面與平面位置關(guān)系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。*(4)兩平面間的距離問題→點(diǎn)到面的距離問題→直接法體積法(5)二面角。二面角的平面角的作法及求法：①定義法：一般要利用圖形的對稱性；一般在計(jì)算時(shí)要解斜三角形；②三垂線法：一般要求平面的垂線好找，一般在計(jì)算時(shí)要解一個(gè)直角三角形。③射影面積法： S′=Scosθ三．主要思想與方法：1．計(jì)算問題：計(jì)算步驟：一作、二證、三算（1）空間角異面直線所成的角 范圍：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②補(bǔ)形法 .直線與平面所成的角 范圍：0°≤θ≤90°方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 .二面角——方法：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；④射影面積法：（2）空間距離——①兩點(diǎn)之間的距離.②點(diǎn)到直線的距離.③點(diǎn)到平面的距離.④兩條平行線間的距離.⑤兩條異面直線間的距離.⑥直線與平面之間的距離.⑦平行平面間距離七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離 .七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離 .．．2．平面圖形的翻折，要注意翻折 前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個(gè)三角形中的角度、長度不變3．在解答立體幾何的有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案①利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.②將空間圖形展開是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問題的一種常用方法 .③補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形 .④利用三棱錐體積的自等性，將求點(diǎn)到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高.4．證明問題——求證找判定；已知用性質(zhì)平行轉(zhuǎn)化——思路圖：線||線線||面面||面垂直轉(zhuǎn)化——思路圖：線線線面面面平行的判定方法（請自己配圖）直線與直線直線與平面平面與平面1a,ba||b定義：aa||定義：||||ab2a//ba//ba//,b//a||ba//||b//ca,ba,b,abA3a//,a//a.b,abAa||b//c,d||baa//c,b//d4aA、Blaa//bA、B在平面同側(cè)l//||baA、B到平面等距離5a//||ba||b////垂直的判定方法（請自己配圖）直線與直線直線與平面平面與平面1定義：定義：定義：α與β成a'//a,b'//bb(b任意)90°的二面角aba||a'b'O,O900ab2laab,acaaabb,c,bcAb//aa標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案3aa bb三垂線定理：

a//b //abab'為在內(nèi)的射影//bb'aba,a5'為在內(nèi)的射影ab/,lbb,ab'aa,al6,aa5．"線 面"是立體幾何的核心——思維的突破口6．中點(diǎn)問題——找中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線、平行四邊形等7．“字圖”結(jié)構(gòu)——"線面"是立體幾何的核心——思維的突破口如：最小角定理（三余弦）P在三棱錐P—ABC中，PA面ABC,ACB900則：（1）BC面PAC；（2）PCB900AC3）面PCB面ABC注：模型 7是其典型應(yīng)用 B三．基本結(jié)論（存在性、唯一性問題和常用結(jié)論）1、四邊形中有四個(gè)角是直角則此四邊形為矩形。2、兩條異面直線的公垂線有且只有一條。3、過直線外一點(diǎn)與該直線平行的直線有且只有一條。4、過空間一點(diǎn)與該直線垂直的直線有無數(shù)條。5、過直線外一點(diǎn)與該直線平行的平面有無數(shù)多個(gè)。6、過空間一點(diǎn)與該直線垂直的平面有且只有一個(gè)。7、過平面外一點(diǎn)與該平面平行的直線有無數(shù)條。8、過平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面有且只有一個(gè)。9、過空間一點(diǎn)與該平面垂直的直線有且只有一條。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案10、過空間一點(diǎn)與該平面垂直的直線有且只有一條。11、線在平面內(nèi)的射影有且只有一條 （射影是斜線上所有的點(diǎn)到平面內(nèi)的射影的點(diǎn)集）平面的斜線與其射影所確定的平面與該平面的垂直。12、長方體的對角線與相鄰三棱成角的余弦平方和等于 1；與相鄰三面成角的余弦平方和等于 213、四面體 ABCD中最多有四個(gè)直角三角形。14、過兩條異面直線中的一條能作且只能做一個(gè)平面與另一條直線平行，那么異面直線間的距離等于線面距離。15、平移不改變所成的角（夾角） ，但平移改變距離。16、夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。17、如果四面體中有兩組對棱互相垂直，那么第三組對棱也互相垂直且任一頂點(diǎn)在對面的射影是垂心。四．?dāng)?shù)學(xué)模型題模型1l，A、B，C，求作ABC與的交線。ABABC，設(shè)P為ABC上一點(diǎn)，PABCBPlAlQCABCCPPCABCC模型2已知ABPBCQCAR，求證、、R三點(diǎn)共線。PQ證明：PABPABABCPABClBPQPCQBCABCQABClCAQRQP同理Rl∴、、三點(diǎn)共線PQR模型3(1)三個(gè)平面兩兩相交有三條交線，其中兩條交線交于一點(diǎn)，求證第三條交線必過此點(diǎn)；(2)或這三點(diǎn)交線互相平行。已知acbabP，求證：Pa,Pb,Pc或a∥b∥c(2)a//b時(shí)證明：(1)PabPaPba//ba//標(biāo)準(zhǔn)文檔baa//caca//b//c實(shí)用文案Qa bP P PQc P c模型4 最小角定理：公式： cos cos cos該四面體的四個(gè)面都是 Rt△模型5 （證明平行思路圖的典型例題）如果一條直線與兩相交平面平行，則此直線與它們的交線平行。已知 l a// a// ，求證：a// l證明：過a作 使 ba// a b a//b過a作 使 c，同理a// cb//c Qcc c// a//lb l模型6過兩條異面直線中的一條有且只有一個(gè)平面與另一異面直線平行。證明：在A上任取一點(diǎn) A，過A作b//bQa b A a、b可確定一個(gè)平面∵a、b異面 ∴b Qb//b ∴b//模型7 （證明垂直思路圖的典型例題）平面 內(nèi)有一個(gè)半圓，

caA BbSHNBAM直徑AB，過A作SA，在半圓上任取一點(diǎn)M，連SM，SB且N、H分別是A在、上射影，求證：NHSB，SMSB并思考：（1）互相垂直直線的對數(shù)？ Rt△個(gè)數(shù)？面面垂直對數(shù)？聯(lián)想與拓展：你能自編自導(dǎo)新的問題嗎？模型8 如圖PA是平面 的斜線，以下三個(gè)條件：∠APC=∠APB；(2)A到PB、PC邊的距離相等；PA在內(nèi)的射影是∠BPC垂線，則三個(gè)有一個(gè)成立可推出另兩個(gè)成立。模型9若PABC，O為P在面上的射影(1)若PA=PB=PC，則O為△ABC外心(2)若P到△三邊等距，則O為△ABC內(nèi)或旁心ABC(3)若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為△ABC垂心標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案若△ABC為正三角形，PA=PB=PC，則O為△ABC中心6）若△ABC為直角三角形，PA=PB=PC，則O為△ABC外心模型10(1)找點(diǎn)在面上的射影：AAl已知AAl，則A在上的射影BlBlaBC：已知la，則l在(2)找斜線的射影l(fā)內(nèi)射影為a，則l與所成的角為∠ACB結(jié)論：平面 的斜線與其射影所構(gòu)成的平面與 垂直求點(diǎn)到平面的距離——轉(zhuǎn)化思想1o已知A，則過A可作a//，則A到的距離就是a到的距離。2o已知A，過A可作//，則A到的距離就是到的距離。3o已知線段AB中點(diǎn)，O，則AB到距離相等。4o兩條異面直線的距離轉(zhuǎn)化為兩平行平面。5oOA:OBm:nAA:BBm:nAAAaBBBAA’OO模型11四面體ABCD中，AB=AC，BD=DC(同底等腰的兩個(gè)三角形)∠AEB是二面角A—BC—D的平面角平面AED面BCD，AEDABCBCAD，BC面ADE

ABF過E作EFAD，EF為BC與AD的距離A到平面BCD距離，作AODE交于O，AO為此距離AC與BCD所成角，連OC，為所求注：二面角的平面角所在平面與兩個(gè)半平面均垂直

B DOEC標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案六．經(jīng)典30題1、三個(gè)平面可將空間分成幾部分：2、與同一條直線相交的所有平行線在同一平面內(nèi)。。3、已知異面直線 a與b所成50，P為空間一點(diǎn)，則過點(diǎn) P且與a、b所成的角都是θ，討論θ取不同值時(shí)，該直線有且僅有多少條？4、若一條直線分別平行于兩個(gè)相交平面， 則該直線平行于這兩個(gè)相交平面的交線 （用兩種方法證明）。5、若兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面， 那么這兩個(gè)平面的交線也垂直于這個(gè)平面 （用三種方法證明）。6、正方形ABCD與正方形 ABEF相交于AB，M，N分別為對角線BD與AE上的點(diǎn)，且 DM=AN，求證：MN∥平面BEC7、在空間四邊形PABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，若A在PB、PC上的射影分別為E、F，求證：EF⊥PB。8、已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD，求a的值。9、空間一點(diǎn)到二面角α-L-β的兩個(gè)面的距離分別是1和2，到棱的距離是 2，求這二面角的大小。。 。 。 。（答案：75，15，105，165）10