任意角同步練習（含答案）

任意角和弧度制任意角1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)角的始邊、終邊確定的角的大小是確定的．(×)(2)第一象限的角一定是銳角．(×)(3)終邊相同的角是相等的角．(×)題型1任意角和象限角的概念2．給出下列四個命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有(D)A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：①－90°<－75°<0°，②180°<225°<270°，③360°＋90°<475°<360°＋180°，④－360°＋0°<－315°<－360°＋90°，所以這四個命題都是正確的．3．關于60°與－60°的說法正確的是(C)A．旋轉的角度都是60°，且旋轉方向相同B．旋轉的角度都是60°，60°角是沿順時針方向旋轉，－60°角是沿逆時針方向旋轉C．旋轉的角度都是60°，60°角是沿逆時針方向旋轉，－60°角是沿順時針方向旋轉D．以上都不對4．在－330°，－885°，1351°，2012°這四個角中，其中第四象限角的個數為(B)A．0 B．1C．2 D．3解析：－330°為第一象限角；－885°＝－165°－720°，是第三象限角；1351°＝271°＋3×360°，是第四象限角；2012°＝212°＋5×360°，是第三象限角．所以第四象限角的個數為1.5．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，則α的終邊在(A)A．第一或第三象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：α＝45°＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在一、三象限的角平分線上的角，是第一或第三象限角．題型2終邊相同的角6．與－457°角終邊相同的角的集合是(C)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：因為－457°＝－2×360°＋263°，所以與－457°角終邊相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．7．已知－990°＜α＜－630°，且α與120°角的終邊相同，則α＝__－960°__.解析：因為α與120°角終邊相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°＜α＜－630°，所以－990°＜k·360°＋120°＜－630°，即－1110°＜k·360°＜－750°.所以－3eq\f(1,12)<k<－2eq\f(1,12).所以k＝－3，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.8．2021°是第__三__象限角．解析：因為2021°＝5×360°＋221°，221°在第三象限，故2021°是第三象限角．題型3象限角及其應用9．角α與β的終邊關于y軸對稱，則有(D)A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)解析：因為α，β關于y軸對稱，所以α＝360°·k＋180°－β，所以α＋β＝360°·k＋180°(k∈Z)．10．如果α是第三象限的角，那么eq\f(α,3)必然不是下列哪個象限的角(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：α是第三象限的角，則α∈(180°＋k·360°，270°＋k·360°)，k∈Z，所以eq\f(α,3)∈(60°＋k·120°，90°＋k·120°)，k∈Z，所以eq\f(α,3)可以是第一、第三、或第四象限角．11．如圖，終邊在陰影部分內的角的集合為{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}.解析：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區(qū)域角，則得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．12．已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(不包括邊界)，那么α∈{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}.解析：在0°～360°范圍內，終邊落在陰影內的角為30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．易錯點1忽視終邊相同的角之間的關系13．若α與β終邊相同，則α－β的終邊落在(A)A．x軸的非負半軸上 B．x軸的非正半軸上C．y軸的非負半軸上 D．y軸的非正半軸上解析：因為α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其終邊在x軸的非負半軸上．[誤區(qū)警示]終邊相同的角的差為k·360°，k∈Z.易錯點2忽視區(qū)域邊界是否取到14．終邊落在如圖所示陰影部分的角的集合為{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}.解析：與30°角終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．與180°－75°＝105°角終邊在同一條直線上的角的集合為{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，結合圖形可知，陰影部分的角的集合為{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．[誤區(qū)警示]本題易忽略區(qū)域邊界線是實線還是虛線，邊界線是虛線時不等式的“≥”或“≤”應變?yōu)椤?gt;”或“<”．(限時30分鐘)一、選擇題1．如果角α的終邊上有一個點P(0，－1)，那么α(D)A．是第三象限角 B．是第四象限角C．是第三或第四象限角 D．不是任何象限角解析：因為點P落在y軸的非正半軸上，即α的終邊落在y軸的非正半軸上，因此α不是任何象限角．2．在0°到360°范圍內，與角－120°終邊相同的角是(D)A．120° B．60°C．180° D．240°解析：因為與－120°終邊相同的角的集合為{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范圍內，與角－120°終邊相同的角是240°.3．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(B)A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°解析：－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°.4．(多選題)若α＝－30°＋k·180°(k∈Z)，則α的終邊在(BD)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：α＝－30°＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在第二、四象限上的角，是第二或第四象限．5．如果α是第三象限角，則－eq\f(α,2)是(C)A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角解析：因為α是第三象限角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，所以k·180°＋90°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋135°(k∈Z)，所以當k＝2n(n∈Z)時，n·360°＋90°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋135°；當k＝2n＋1(n∈Z)時，n·360°＋270°＜eq\f(α,2)＜n·360°＋315°.所以eq\f(α,2)為第二或第四象限角，所以－eq\f(α,2)是第一或第三象限角．6．已知集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，則A∩B等于(C)A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：根據集合B確定集合A中的k的值．當k＝－1,0,1,2時，求得相應α的值為－126°，－36°，54°，144°.故A∩B等于{－126°，－36°，54°，144°}．二、填空題7．已知角α＝－3000°，則與α終邊相同的最小的正角是__240°__.解析：與α角終邊相同的角為β＝k·360°－3000°(k∈Z)．由題意，令k·360°－3000°>0°，則k>eq\f(25,3)，故取k＝9，得與α終邊相同的最小正角為240°.8．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝__270°__.解析：由于角5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應是360°的整數倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.9．角α，β的終邊關于y＝x對稱，若α＝30°，則β＝60°＋k·360°，k∈Z.解析：因為30°與60°的終邊關于y＝x對稱，所以β的終邊與60°角的終邊相同．所以β＝60°＋k·360°，k∈Z.10．如果將鐘表撥快10分鐘，則時針所轉成的角度是__－5__度，分針所轉成的角度是__－60__度．解析：由題意結合任意角的定義可知，鐘表撥快10分鐘，則時針所轉成的角度是－eq\f(10,60)×eq\f(360°,12)＝－5°，分針所轉成的角度是－eq\f(10,60)×360°＝－60°.三、解答題11．已知角β的終邊在直線eq\r(3)x－y＝0上．(1)寫出角β的集合S；(2)寫出S中適合不等式－360°<β<720°的元素．解：(1)如題圖，直線eq\r(3)x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－eq\f(7,3)<n<eq\f(11,3)，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中適合不等式－360°<β<720°的元素為60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.12．已知，如圖所示．(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.解：(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由題圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集